Вы спросите какое отношение имеет фермер к математике? Да очень прямое!
Как то раз, а может и не раз, в общем, было сё давно и неправда...
Короче, потомки обнаружили во второй "Арифметике" Диофанта на полях, напротив задачи 8 [Заданный квадрат разложить на два квадрата] загадочное утверждение. И нет бы сжечь эту несчастную книженку - так ведь нет же, начали доискиваться и вот что они там узрели:
x² + y² = z²
А еще дальше было накорябанно: "Нельзя разложить ни куб на два куба, ни квадрато-квадрат на два квадрато-квадрата, и вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки".
читать дальше
Нет бы сразу понять, что если человек не в состоянии просто сказать "четвертая степень", а говорит какое-то извращение: "квадрато-квадрат" - то дело нечисто!
Ферма явно был садистом. Написал, что доказательство есть и не написал его. Но ведь не поленился же написать, почему он его не написал. Короче отмазался халявщик.
А в сущности, что он имел ввиду? Он имел ввиду, что вот такое уравнение:
xª+ yª= zª
При a > 2 (а должно быть целым) не имеется рациональных решений уравнения. При этом x,y,z, не должны быть равны нулю. Сразу же можно заметить что x,y,z могут быть равны еденице. Но это частный случай и разбирать его смысле нет.
Ферма даже чуть позже написал:
"Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я доказал ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям..."
Надо заметить - тут он был прав. Ну разве кто из древних знал, как осуществить такую простую вещь, как запуск компьютера или хотя бы отправку СМС?
Докозательство этой теоремы математики искали более 350 лет.
Причем сам Ферма соблаговолил оставить докозательство только для a=4. В 1738 году этот же случай доказал Леонард Эйлер (ну, нравится матиматикам одно и тоже доказывать, нравится). Еще спустя треть века он же доказал для а=3.
Разберем эти муторные докозательства.
Заодно, я может, что пойму...
Итак, мы имеем это уравнение: x²+ y²= z², рад бы его иметь, ан нет. Разбирать нужно.
Тот самый Диофант, который написал кучу книг по Арифметике, предложил для начала взять и выполнить подстановку:
y = kx - a
Где k - произвольное рациональное число.
В результате получаем:
( kx – a )²+ x²= z²
Оттуда можно мне получить, вы уж поверьте мне на слово, х и y:
Вот так при параметре z (т.е. фактически, при данном z) мы можем найти x и y. А можем и не находить - забить на все и пойти смотреть телек.
x²+ y²= z²
Можно записать как:
( x\z )²+ ( y\z )²= 1
Применяя тот же метод получим:
Чтобы найти решения в целых числах, положим k=m\n где m,n - произвольные целые и n не равно нулю.
Тады:
И можно взять x = 2mn, y = m²- n², z = m²+ n² - сё рекут пефагоровыми тройками.
В итоге при а = 2 мы видим - существует множество решений - ( 3,4,5 ), ( 5,12,13 ) и т.д.
-=-
Ферма дал безупречное доказательство для а = 4, но оно муторное и посему решено предложить доказатлество Эйлера.
Предположим невероятное - мы нашли тройку чисел x,y,z для которых
( x² )²+ ( y² )²= z²
Воспользуемся формулами для пифагоровых троек и получим:
x² = m² - n² , y² = 2mn, z = m²+ n²
будем считать, что числа x, y, а так же m, n - взаимно простые
Тогда y² = 2mn - четное x² - нечетное. Но x² = m² - n² - следовательно m и n - числа разной четности, причем m должно быть нечетным, стал быть n уже никто и не спрашивает - четное и баста.
Вновь получилось пифагорово уравнение x² + n² = m², чтоб его.
А с учетом того неоспоримого факта, что n четно, можем рискнуть здоровьем и записать в виде:
x = r² - s², n = 2rs, m = r²+ s²
Поелику x и q взаимно просты, числа r и s также просты, как интеграл втрого рода.
При этом rs( r² + s² ) = mn\2 = y²\4 - квадрат, следовательно оба этих числа и число r² + s² должны быть квадратами: r = d², s = f², r² + s² = w²
Вуаля, у нас новые участники нашей викторины - d, f, w, - удовлетворяющие все тому же несчастному уравнению:
( d² )²+ ( w² )²= f²
Наибольшее число из этого уравнения ясен пень - f. Но при этом если пошевелить остатками серого вещества то f < z: f² = r² + s² = m < m² + n² = z < z²
Тем самым мы осуществили всю эту лабудень.
Здесь мы тормознемся подумаем и скажем - а не пошло бы это все...
И окажемся правы! Ибо именно на этом месте Эйлер заключил что теорема доказана.
Фанфары, звуки труб, барабанный бой, салют и общее рукоплескание.
-
-
16.11.2006 в 13:51Тот самый Диофант, который написал кучу книг по Арифметике, предложил для начала взять и выполнить подстановку:
y = kx - a
Где k - произвольное рациональное число.
В результате получаем:
( kx – a )²+ y²= z²
Получаем, наверно, всё же несколько другое уравнение? )))
Ты же у подставляешь, а не х.
-
-
16.11.2006 в 13:52-
-
16.11.2006 в 14:09А вот это почему?
Предположим невероятное - мы нашли тройку чисел x,y,z для которых
( x² )²+ ( y² )²= z²
Почему зэт в квадрате?
Так и надо?
(Я сейчас детально не могу вчитываться — просто, за что глаз цепляется))))
*Вообще — спасибо тебе за пост ))))
А для всех остальных степеней — будет доказателсьтво? )))
-
-
16.11.2006 в 14:19А на счет квадрата зет.
Некое выражение в квадрате + некое выражение в квадрате = некое выражение в квадрате.
Почему бы певырм двум выражениям не быть самим в квадрате? Например 4 и 9 - 2 в квадрате и 3 в квадрате.
-
-
16.11.2006 в 14:27-
-
16.11.2006 в 14:49-
-
16.11.2006 в 15:42Только не могу понять, ГДЕ справа четвертая степень????
-
-
16.11.2006 в 23:30а зачем по-твоему все эти люди (ну вплоть до физика нашего, или как его там из Омска) пытались доказать эту теорему-то?
ВОт я не могу понять. Ну.. если Ферма был садистом, то они-то все мазохисты, чтоль?
Может она используется где?
-
-
16.11.2006 в 23:41-
-
17.11.2006 в 01:12-
-
17.11.2006 в 09:33chebur12 да... это часто бывает =))
Amicus Plato *делаю вид что ничего не понял* =)
На самом деле меня этот момент тоже малость смущал.. Как я ни пытался дозваться до преподов все технично уходили от темы =)
KrisF хороший вопрос! Я наприер хочу значть чем мне в жизни поможет знание того что предел еденицы деленной на бесконечность будет равно нулю. Разве что как говорила наша учительница по физике (между прочим на полном серьезе говорила): "вот вы придете в магазин спросят у вас продавщица третий закон Ньютона - а вы и не знаете..." =)
-
-
17.11.2006 в 14:27Если не возражаете, я соберусь с духом и в скором времени повешу пост про то, как была доказана теорема Ферма. Всё это очень трагично. Человек, который заложил основы ее доказательства (японец) сделал себе сеппуку, — не только непонятый, а просто оскорбленный математическим сообществом того времени. А потом на его результатах некоторые очень хорошо нагрели руки...
Так что "садизм" Ферма аукнулся на всех стадиях. (А уж сколько людей из-за этой теоремы умом тронулось, и не сосчитать)...
-
-
17.11.2006 в 14:29продавщица, наверное, в это время кроссворд разгадывать будет
-
-
17.11.2006 в 14:31Умом тронулось..
Вот я и спрашиваю - зачем?
-
-
17.11.2006 в 14:50Только вот почему-то никто до тебя не нашел. Но уж ТЫ-ТО обязательно найдешь! (Я ее в детстве тоже доказывала)))))))))
Надеюсь, без особых последствий для психики )))
А у некоторых это перерастает в манию.
"Зачем" — по-моему тут не слишком уместный вопрос....
-
-
17.11.2006 в 14:54-
-
17.11.2006 в 14:56-
-
17.11.2006 в 14:57-
-
17.11.2006 в 14:58ну ты понимаешь - ну если на интерес, то это понятно.. ну я никогда не думала, что смогу быть лучше Гаусса к примеру. Математические способности у меня - это не дар, увы. Я даже сомневаюсь способности ли это.
я думала, есть все таки ее некое практическое применение. Ну хотя бы, к примеру, на основании этого доказывалось что-нибудь еще, понимаешь? Типа все доказано, а этого звена не хватает.
(для меня вопрос "зачем" всегда уместный, я может на него всю жизнь ответы ищу
-
-
17.11.2006 в 14:58-
-
17.11.2006 в 15:00А почему, кстати, нет? =)
-
-
17.11.2006 в 15:06...
Я повешу пост. Просто так своими словами коряво получается: я много помню довольно приблизительно.
-
-
17.11.2006 в 15:06-
-
17.11.2006 в 15:07-
-
17.11.2006 в 15:09-
-
17.11.2006 в 15:10-
-
17.11.2006 в 15:19а...
ну дык я как обычно - все себе на счет, все себе..