Числа Фибоначчи и Золотое сечение.

[Amicus Plato]

Постараюсь делать записи максимально короткими.
Помните, как мы получили из приближенных вычислений золотого сечения числа Фибоначчи?
Теперь стало ясно, что числа Фибоначчи и золотая пропорция взаимосвязаны очень тесно. И корни этой связи — не в математике, а в самой природе.
Вернемся к итерационному процессу вычисления φ.

эти картинки уже были раньше

А теперь посмотрим, каким же именно образом отношение соседних чисел Фибоначчи приближает φ.
Оказывается, здесь тоже есть закономерность.
Напомню:

φ = 1.618...

Посмотрим на значения дробей:

1/1 = 1 < φ на 0.618
2/1 = 2 > φ на 0.382

Здесь вскользь замечу, что эти два числа — 0.618 и 0.318 — тоже особенные. Первое из них, назовем его &gamma, число, обратное к золотому сечению φ. Иногда его само называют золотым сечением.

&gamma = 1 / φ

А второе число, 0.382 — это &gamma².
И, при этом, их сумма равна единице:

&gamma + &gamma² = 1

Это свойство очень важно во многих областях, где проявляет себя золотая пропорция.

Но не будем отвлекаться. Итак, продолжим вычислять дроби:

1/1 = 1 < φ на 0.618
2/1 = 2 > φ на 0.382
3/2 = 1.5 < φ на 0.118
5/3 = 1.6667 > φ на 0.0486
8/5 = 1.6 < φ на 0.018
...

Мы видим, что дроби попеременно то превосходят φ, то оказываются меньше него.
Последовательность отношений двух соседних чисел Фибоначчи колеблется возле числа φ.
Колебания затухают с возрастанием членов, но никогда никакая дробь не совпадет с φ полностью.
Иначе говоря, φ представляет собой бесконечную десятичную дробь. Такое число называется иррациональным.

Если мы будем брать обратные отношения: дроби, в числителе которых будет стоять меньшее число Фибоначчи, а в знаменателе — следующее за ним, то есть:

1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, ...

Получим последовательность, сходящуюся к числу
&gamma = 0.618..., обратному φ.
&gamma, как и φ является числом иррациональным, и тоже записывается в виде бесконечной десятичной дроби. Вычисляй мы эти числа хоть миллион лет подряд — всё равно не вычислим точно!
Но это еще не самый страшный подвид иррациональных чисел.
Эти числа — алгебраические. Так они называются потому, что являются корнями уравнений.
А бывают такие иррациональные числа (и их гораздо больше), для которых просто не существует уравнений, корнями которых они могли бы быть!
И примеры нам известны. Самый популярный пример: число π.
Такие числа называются трансцендентными.

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato