Лента Мёбиуса и бутылка Клейна

[Amicus Plato]

Все мы знаем про лист (ленту) Мёбиуса. Но, думаю, немногие слышали о бутылке Клейна. Сейчас расскажу про эти удивительные поверхности.
Лента Мёбиуса получается из обыкновенной бумажной полоски, склеенной концами, но не в обычное кольцо, а в кольцо, перекрученное на пол-оборота. То есть, склеивая кольцо из полосы бумаги, мы просто совмещаем верх одного ее конца с низом другого. Для того чтобы сделать ленту Мёбиуса, нужно перевернуть один конец, и тогда получится, что низ склеится с низом, или, что то же самое, верх с верхом. Иначе говоря, мы должны совместить одноименные стороны обоих концов. Как еще проще? Если одна сторона полоски белая, а другая – черная, то белое должно быть склеено с белым, или черное с черным – лицом к лицу. Тогда на стыке получится переход, граница между двумя цветами. Что мы знаем о такой поверхности?
Мы знаем, что у нее только одна сторона, в то время как у кольца, естественно, две. То есть, как в школе, ставим ручку и проводим, не отрывая ее от бумаги, линию вдоль бумажной полосы, пока эта линия не замкнется. Что будет у кольца? Одна сторона – с линией, другая – пустая. Что будет у ленты Мёбиуса? Линия будет везде! Пустого места не останется. Это и означает, что лента является односторонней поверхностью. Второй стороны просто нет!
Но и это еще не все! Если разрезать обычное кольцо вдоль, получатся всего лишь два таких же кольца потоньше. А если разрезать ленту Мёбиуса – получим ОДНУ новую ленту, но уже с двукратным перегибом.
Но ленту Мёбиуса нельзя разрезать сколько хочешь! При разрезании в первый раз, как я уже говорила, она становится перекрученной дважды. А любое четное скручивание дает две стороны! Дальше уже режь не режь – удвоением можно вновь получить только четное – нечетного не получишь! Хотя, при следующем разрезании получается не одно, четыре раза скрученное кольцо, как следовало бы по логике вещей, а два, скрученных дважды, продетые одно через другое. Это все, может быть, по-своему занимательно, но свойство односторонности утрачено полностью и безвозвратно. То есть, как и все нестабильные искусственные образования, как все особо неустойчивые гибриды, такие поверхности не размножаются себе подобными.

Что такое бутылка Клейна?
«Бутылка Клейна – это односторонняя поверхность. В трехмерном пространстве она имеет линию самопересечения. Без самопересечения может быть построена только в четырехмерном пространстве».
Представьте себе обыкновенную бутылку, которая сделана из «пластичного» стекла, которое можно гнуть и скручивать. И вот мы проделываем в ее боку дырку, берем за горлышко, сгибаем, и вставляем горлышко в эту дырку. Пропускаем его внутри до самого дна. В дне проделываем еще одну дырку. Края горлышка и дырки аккуратно склеиваем. Готово!!!
Получилась тоже ОДНОСТОРОННЯЯ поверхность! Но так как ручкой по ней не повозишь – неудобно, – пустим по ней ползать муху. И вот эта муха будет ползать везде, ни разу не перейдя изнутри наружу (или снаружи вовнутрь). В отличие от любой обычной бутылки, у которой есть внутренняя и внешняя стороны, и граница между ними проходит по горлышку, у этой бутылки нет ничего внешнего и внутреннего. Она как бы ввернута сама в себя.
На картинке это выглядит вот так:




А вот здесь:
http://klein.zen.ru/zen-spirit/salo...ka/klein-01.htm
лежит эта бутылка, которая вращается вслед за мышью, и ее можно рассмотреть со всех сторон.

@темы: Односторонние поверхности, Amicus Plato

Comments

[Шиа Кастл]

Amicus Plato



Ты знаешь, это просто потрясающе!!! Не так давно мы с Dennis Flame и Sir Konrad Weller в трубе на Майдане как раз о вот этой вот самой ленте и говорили... Спасибо. Про эффекты разрезания я не знала. Надо будет попробовать.



А про бутылку я вообще ничего не слышала!!! Так что спасибо вдвойне!!!

[Amicus Plato]

Шиа Кастл

Спасибо и тебе на добром слове )))

Про бутылку, боюсь, знают только люди с очень специальным образованием. Но они забывают, что кроме них никто не знает, и поэтому никому об этом не рассказывают, как о само собой разумеющемся )))

[Шиа Кастл]

Amicus Plato



А давай бросим клич - пусть люди рассказывают о таких интересных и необычных вещах...

[Minority]

забавная бутылка))

[Amicus Plato]

Шиа Кастл Хе-хе ))) Таких вещей не так уж и много ))))

То есть, если вести речь о "занимательной геометрии на практике", типа, что можно сделать с помощью ножниц и листа бумаги, то это - огого сколько всего!

Но "чистых математических" феноменов такого рода не слишком много.



Minority Угу. Это очень хитрое многообразие. Не проходили? Может, еще будете )))

[Шиа Кастл]

Amicus Plato



Хм... а что мжно еще интересного сделать при помощи ножниц и листа бумаги? *в субботу буду показывать мелкому ленту Мебиуса... Интересно, какой будет его реакция?*

[Amicus Plato]

Шиа Кастл Вообще-то есть куча и куча книг по таким занимательным разрезаниям (была в пору моего детства))) Сейчас наверняка есть в и-нете. Просто здешний формат не позволяет... На пальцах же не объяснишь... А резать, фотать, а затем выкладывать фотки — несколько накладно )))

Поищи — в сети точно есть!

[Шиа Кастл]

Amicus Plato



А можно хотя бы названия? Или стандартное "Занимательная математика-геометрия-алгебра?"

[Amicus Plato]

Шиа Кастл Лучше делать самый общий запрос: именно как у тебя: больше шансов зацепить всё интересное! Я так даже бутылку Клейна из бумаги нашла )))

Ее и правда можно сделать! )))

А вот названия... блин, если б я помнила...

[Шиа Кастл]

Amicus Plato

спасибо :-)

[Amicus Plato]

Шиа Кастл да вроде как даже и не за что ))))) ничем толком не помогла...

[Шиа Кастл]

Amicus Plato



А за поговорить?!!!!

[Minority]

Amicus Plato

не уверена, что будем... геометрия вроде уже прошла... и про ленту Мебиуса нам говорили..

[Amicus Plato]

Minority Да это и не геометрия вовсе )))) мы это то ли по ТФКП проходили то ли еще по чему-то такому... Но точно не по геометрии... Да и то: проходили вскользь. Преподаватель на голом энтузиазме нам рассказывал — вне программы ))))



Шиа Кастл За поговорить: на здоровье )))))))

[Паломник Оптимизма!]

Amicus Plato кстати, хотел заметить что этой теме (бутылке и ленте) был у нас в школе урок полностью посвящен.

Так что нифига не специализированное обучение =)

[Amicus Plato]

Паломник Оптимизма хорошие школы встречаются, но, к сожалению, редко ))))

Твоя — исключение, лишь подтверждающее правило (((

А что вам там рассказывали?

[Паломник Оптимизма!]

Amicus Plato Примерно то же что и здесь

Потррясающе=) бутылко на картинке похожа на бонелию, что наводит на мысль что у бонелии тож одна поверхность всего и оччень насыщенная жизнь)
А герр Феликс Клейн, оказакапа, не только биографии великих ваял, но и в бутылочку игрался в свободное от работы и отдыха время...