Ответ на вопрос Лямбды

[Amicus Plato]

Гармонический ряд.
Сходимость гармонического ряда.

Пусть у нас есть гармонический ряд (который выглядит следующим образом):

1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n+…

Ясно, что при n стремящемся к бесконечности, слагаемые этой бесконечной суммы стремятся к нулю. Но стремится ли к какому-то определенному значению вся сумма? Иными словами, сходится ли ряд? Существует ли для него конечный предел при n стремящемся к бесконечности? Или сама сумма растет неограниченно и тоже уходит в бесконечность?
Казалось бы, ответ очевиден: слагаемые стремятся к нулю, значит, сумма должна быть ограниченной сверху какой-то константой. Пусть, быть может, очень большой, но конечным конкретным числом. Не тут то было! Ряд расходится. Сумма равна бесконечности и возрастает она со скоростью логарифма.

А доказательство на пальцах сейчас попробую изобразить.

Посмотрим на ряд еще раз.

1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n+…

Сгруппируем члены ряда следующим образом:
первая единица,
потом 3 следующих члена,
потом 9,
потом 27,
потом 81 и. т. д.
Оказывается, что если брать каждый раз количество членов, равное степеням тройки, то сумма членов каждой такой группы будет больше единицы. Поскольку ряд бесконечен, то число таких групп тоже бесконечно. А бесконечное количество слагаемых, бОльших единицы, естественно, в сумме дает бесконечность. То есть, гармонический ряд расходится.

Осталась самая малость: доказать, что любая такая группа слагаемых будет больше единицы. Сейчас попытаюсь это сделать.

Возьмем первую из них:

1/2+1/3+1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (*)

ясно, что можно просто сложить дроби, и получить в результате 13/12, — число, превышающее единицу. Но нас это совсем не устраивает, потому что сосчитать сумму последующих групп будет уже не столь легко.

Поэтому, подойдем к делу с другого бока.
У нас три слагаемых. Среднее из них равно 1/3. Если мы докажем, что эту сумму можно представить в виде трех слагаемых, каждое из которых будет равно 1/3, (плюс еще какое-то положительное число в качестве довеска), это и будет означать, что сумма больше единицы.
Сейчас объясню.
Если выражение (*) можно записать в виде:

S1 = 1/3+1/3+1/3+eps (где eps>0), то получим:

S1 = 1/3+1/3+1/3+eps = 3*(1/3)+eps = 1+eps > 1

Посмотрим, что мы имеем. Разберемся отдельно с каждым слагаемым.
Сперва выразим 1/2 через 1/3.

1/2=1/3+1/6

Теперь 1/4:

1/4=1/3-1/12.

Тогда получим:

S1 = 1/2+1/3+1/4 = (1/3+1/6) + 1/3 + (1/3 -1/12) = (1/3+1/3+1/3) + (1/6 – 1/12) = 1 + 1/12 >1

Здесь у нас eps=1/12

Для следующей суммы S2, у которой девять слагаемых, получим (это просто так – для наглядности):

S2 = 1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13

Здесь слагаемых, как уже сказано, 9, и центральным, пятым по счету, является 1/9.
Если девять раз сложить по 1/9, получим единицу. Значит, как и в предыдущем случае, когда мы всё выражали через 1/3, здесь надо выразить все слагаемые через 1/9, и посчитать остаток. Если он положителен, то сумма будет больше единицы, т.е. надо доказать, что

S2 = 9 * (1/9) + eps (eps>0)

Посмотрим, что собой представляют наши слагаемые. Пойдем от центра: от 1/9 влево и вправо:

1/8 = 1/9 + 1/72, то есть, 1/8 = 1/9 + 1/(8*9)
1/10 = 1/9 – 1/90, то есть, 1/10 = 1/9 – 1/(10*9)

теперь буду лирику опускать, кто захочет, может проверить:

1/7 = 1/9 + 2/(7*9)
1/11 = 1/9 – 2/(11*9)

1/6 = 1/9 + 3/(6*9)
1/12 = 1/9 – 3/(12*9)

1/5 = 1/9 + 4/(5*9)
1/13 = 1/9 – 4/(13*9)

Я не зря сгруппировала эти члены по парам. В довесках к 1/9 у них стоят одни и те же числители! Посмотрим, как же в таком виде будет выглядеть сумма S2. Пары по-прежнему буду писать рядышком: первое слагаемое: 1/9 – середина ряда, а затем суммы пар, всё удаляющихся от центра:

S2 = 1/9 + (1/8 + 1/10) + (1/7 + 1/11) + (1/6 + 1/12) + (1/5 + 1/13)

Подставим выражения для каждого слагаемого. Все слагаемые «1/9» (их 9 штук) просуммируем сразу. Оставим только попарные довески к ним. Имеем:

S2 = 9* 1/9 +
+ {1/(8*9) – 1/(10*9)} +
+ 2*{1/(7*9) – 1/(11*9)} +
+ 3*{1/(6*9) –1/(12*9)} +
+ 4*{1/(5*9) – 1/(13*9)}

Первое слагаемое: 9*1/9 дает единицу. Посмотрим на хвост:
В каждой фигурной скобке видно, что из большего числа вычитается меньшее, то есть хвост положителен, и S2 > 1.

Можно сказать, что для S3, S4,…Sn… рассуждения аналогичны, но лучше всё же представить общую формулу.

Она такова:

Sn+1= 1 +
+ {1/((3^n – 1)*(3^n)) – 1/((3^n + 1)*(3^n))} +
+ 2* {1/((3^n – 2)*(3^n)) – 1/((3^n + 2)*(3^n))} +
+ 3*{1/((3^n – 3)*(3^n)) – 1/((3^n + 3)*(3^n))} +…
...
+ ((3^n –1)/2)* {1/((3^n – ((3^n –1)/2))*(3^n)) – 1/((3^n + ((3^n –1)/2))*(3^n))}

Формула в таком плоском виде получилась неприглядной, но на самом деле она очень проста.
Каждое слагаемое положительно, т.к. в каждой скобке из большего числа вычитается меньшее.

Сумма гармонического ряда S состоит из бесконечной суммы Sn, каждая из которых больше единицы.
Таким образом, ряд расходится.
Ч.т.д.
УРА!

UPD: Не могу не похвастаться: я сама до этого додумалась! (В смысле: до того, как доказывать, что каждая сумма Sn больше единицы).
Не считая того, что это задачка для школьников, есть, чем гордиться! )))))))))))

@темы: Бесконечность, ответы, Amicus Plato, Вопросы

Comments

[lyambda]

Amicus Plato спасибо! До меня дошло!

[Дилетант]

lyambda )))

А доказательство ты такое знаешь или другое?

[lyambda]

Дилетант классическое, то что приводится в учебниках. Про кирпичи не знаю

[Amicus Plato]

lyambda да там кирпичи ни при чем! )))) Хотя я под большим впечатлением: вот как надо детей учить!

[lyambda]

Amicus Plato мне тоже понравилась интерпритация. Даже подумываю утащить в пособие

[Дилетант]

lyambda Пообщавшись неделю со студентами, я теперь думаю, что для "среднего студика" это сложновато (((((((((

Блин!

Надеюсь, мы были не такими! ((((((((((((((

[lyambda]

Дилетант ты точно нет

[Дилетант]

lyambda похоже, тут речь не о личностях, а о поколении... Хотя вроде бы обобщать мне еще рановато ))))))))

[lyambda]

Дилетант да нормальное сейчас поколение, модет быть не глубокое

[Amicus Plato]

lyambda не знаю... для наглядности я бы на мехмате посмотрела...

Всё остальное (из того, с чем я сталкиваюсь в последнее время), меня не убеждает...

[lyambda]

Amicus Plato думаю что и мехмат другой, но это нормально

[Amicus Plato]

lyambda я вот просто думала: ну, приду я вот на занятия: ни фига не знаю, чего говорить... Наверняка же найдется один умный или парочка, которые будут каверзные вопросы задавать...

Ни фига подобного. У них и в мыслях этого нет. (((

Одни стараются, другие дурью маются, - и всё!.. м-м-м... скучновато

[lyambda]

Amicus Plato это еще хороший вариант

[Amicus Plato]

lyambda я ПОНИМАЮ ))))))))))