Гиперкомплексные числа

[Amicus Plato]

Для людей, совсем далеких от математики, сообщаю, что сами математики тоже не чужды некоторым корпоративным условностям. Это отразилось и на терминологии. В частности, в слове "комплексные", когда речь идет о числах, ударение ставится на второй слог: "комплЕксные". То же самое относится и к гиперкомплЕксным числам.

Гиперкомплексное число — обобщение понятия комплексного числа, возникшее в XIX веке при попытке построить числовую систему в многомерном векторном пространстве.
Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Большая проблема возникла со свойствами умножения этих векторов.
Дело уткнулось в так называемые "делители нуля".
Если для примера взять обычную алгебру действительных чисел, то для нас вполне естественно, что при умножении двух ненулевых чисел, всегда получится число, отличное от нуля. Это и означает, что у нуля нет делителей.
Если рассматривать гиперкомплексные числа, здесь дело обстоит совсем по-иному.
Делитель нуля — это такой ненулевой элемент, произведение которого на некоторый (другой) ненулевой элемент равно нулю.
Существование делителей нуля означает, что однозначно задать операцию умножения НЕЛЬЗЯ!
И алгебра гиперкомплексных чисел с делителями нуля мало для чего может пригодиться.
Было доказано, что размерность действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения 1, 2, 4 или 8.
Размерность 1 — это та самая алгебра вещественных чисел, с которой каждый из нас имел дело.
Размерность 2 задает комплексные числа.
Размерность 4 — это кватернионы.
И, наконец, размерность 8 — октавы, или алгебра Кэли.

Про всё это тоже напишу.

@темы: Amicus Plato, Комплексные числа

Comments

[chebur12]

Размерность 1 — это та самая алгебра вщещественных чисел, с которой каждый из нас имел дело.

Размерность 2 задает комплексные числа.

Размерность 4 — это кватернионы.

И, наконец, размерность 8 — октавы, или алгебра Кэли.



это что получается повышение размерности числа позволяет числу как бы внутрь себя разворачиваться, чтоли?

[Amicus Plato]

chebur12 в каком смысле? Почему внутрь? Не... Здесь сплошное "наружу" ))))

[Щит]

Делитель нуля — это такой ненулевой элемент, произведение которого на некоторый (другой) ненулевой элемент равно нулю.

Занимательно, однако. Честно расписываюсь в своей тупости, мне для понимания нужно более подробное объяснение.

Один мой друг, с которым мы вместе учились в институте, очень удивлялся по такому вопросу. Нуль в степени нуль - нуль или единица? Вроде как нуль в любой степени нулем и останется, но нуль есть число, а любое число в нулевой степени есть единица. До сих пор помню его возмущенные глаза и фразу: "Ну как из нифига в степени нифига получается что-то?!"

[chebur12]

Amicus Plato а почему наружу... на размерности 2 возникают мнимые.... (куда возникают)

допустим в плоскости...... получается мнимая плоскость перпендикулярна вещественной плоскости на которой точка

на размерности 4 у нас уже проекции вектора на 8(или сколька) плоскостей....





оооо!

и правда наружу

[Amicus Plato]

chebur12

Ургон Комментарий к предыдущему посту, полагаю, снят? Насчет "могу сам поискать"? Я, конечно, не сильно подробно, но описала. )))))
Собираюсь написать больше про самую обыкновенную комплексную плоскость.
На нее можно посмотреть с несколько неожиданной стороны.
Но и про то, что тут начала, допишу.

А вот про делители нуля и ноль в степени ноль — это вещи принципиально разные!!!

Ноль в степени ноль — это неопределенность. Такое число ничему не равно. Если ищется предел, скажем, f(x)^g(x), такие, что f(x) и g(x) одновременно стремятся к нулю, то эта неопределенность снимается логарифмированием, а затем уже привычными действиями.

А вот делители нуля совсем из другой оперы. Приведу пример (не очень показательный, но всё же...):

Пусть у нас есть гиперкомплексная алгебра порядка 3 (это наименьший порядок алгебры с делителями нуля). В ней есть число: a+bi+cj, в котором a,b,c не обращаются в нуль одновременно, такое, что если умножить его на другое число (тоже не равное нулю), то в результате получится НУЛЬ.

Это и значит: делитель нуля.

Чем это грозит?

Это грозит тем, что мы не сможем однозначно определить умножение.

Обозначим делитель нуля: ZD

Тогда для любого числа С и некоторого числа R (для которого ZD*R=0) выполнится:

С*R = (C+ZD)*R, то есть операция умножения определена неоднозначно.

(Несколько похоже на периодическую функцию — здесь тоже всё определяется с точностью до числа, кратного ZD).