Неизвестный смайлик.
Надо заметить, что учусь я только на первом курсе. И мне довольно таки интересно учится.
Но вот теория Комплексных чисел буквально разрушила все мое мировозрение! Это даже круче чем пределы, ей-богу.
Ну, думаю - че я один страдать буду чтоль? Вот и ...это.. того... мучайтесь.
читать дальше
Итак, комплексные числа.
Как мы знаем все целые, рациональные, дробные, отрицательные, иррациональные числа находятся на некой прямой, и все эти числа называются "действительными числами". Прямую не мучаясь назвали "числовой прямой". Т.е. грубо говоря - числа находятся в одномерном пространстве.
Если же построить декартовую систему координат, т.е. к числовой прямой присобачить такую же прямую перпендикулярную ей и пересекующую ее в точке ноль, то мы получим двумерное пространство комплексных чисел.
Самое важное в комплексных чиселах - это константа "мнимая еденица". Это корень из минус еденицы.
Когда препод эту чушь написал на доске, я было вякнул, что такого не бывает. Меня осадили.
Соответственно квадрат мнимой еденицы, это есть минус один.
Грубо говоря, в начальных классах и позже, нас подло обманывали говоря, что квадрат ЛЮБОГО числа - есть число положительное.
Как оказалось сё - цветочки. А ягодки пошли на следующих минутах.
Математики покумекали, покумекали и порешили - считать комплексные числа по формуле Z = a + ib. Быть посему.
Напоследок они пояснили что Z - это собственно точка и есть, а - это ее действительная координата, b - мнимая, i - мнимая еденица. При этом и а и b - действительные числа.
Соответственно энта вот стрелочка от нуля до точки - сё рекут комплексным числом.
Вот.
Соответственно если b=0 то Z=a - действительное число.
Если а=0 то Z=b - мнимое число.
Модулем же комплексного числа, как это ни странно, называется расстояние от начала кооординат до комплесного числа. Т.е. точно так же как модуль вектора. И считается точно так же.
(Связи с временным отсутствием ворда пишу так... уж не обессудьте)
r = |Z| = Корень квадратный из (а² + b²
= (а² + b²^1\2
Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением оси ReZ и вектором r. Причем угол отсчитывается против часовой стрелки, ну или для самых шустрых можно и по часовой, но тады брать со знаком "-".
Т.е. запись выглядит так:
φ = arg Z (0 ≤ φ ≤ 2п)
Или:
tg φ = b/a
Соответственно φ выразим:
φ = arctg b/a, но это такая хитрая формула, что соответствует только для первой и четвертой четверти.
φ = (arctg b/a) + П, это для второй и третьей.
Решим простую задачку. (r, φ известно найти (a, b)
а = r * cos φ
b = r * sin φ
Зная, что Z = a + ib получим
Z = r * cos φ + r * sin φ * i = r * (cos φ + sin φ * i) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Пример:
Z = -3 -3i
a = -3
b = -3
r = (а² + b²^1\2 = 3 * (2)^1\2 (три корня вторых)
φ = arctg (-3/-3) + П = 5П/4
Ответ: Z = -3 -3i = (18)^1/2 * (cos 5П/4 + i * sin 5П/4)
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Формула Эйлера.
е^iφ = cos φ + sin φ
В общем-то опять бред, да? Экспонента - график-то как у показательной, а синус, косинус - кривая косинусоида. Ничего общего. Ан нет. Не все так просто.
Доказательство позже.
Z = r * (cos φ + sin φ * i) = r * е^iφ - показательная форма записи комплексного числа.
Действия над комплексными числами.
1) Два комплексных числа равны, ежели равны их действительные и мнимые части.
2) Чтобы сложить(вычесть) два комплексных числа нужно сложить(вычесть) соответственно их действительные и мнимые части.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = -3 - 3i
Z = 10 + 2i
Z + Z = (10 + (-3)) + (-3 + 2)i = 7 - 1i
Z - Z = (-3 - 10) + (-3 - 2)i = -13 -5i
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
3) Умножение.
(a1 + b1*i)*(a2 + b2*i) = a1*a2 + b1*a2*i + a1*b2*i + b1*b2*i² = (a1*a2 - b1*b2) + (a2*b1 + a1*b2)i
Первая часть (a1*a2 - b1*b2) - это действительная часть комплексного числа (там стоит разность, потому что i² , как мы помним, равно -1), а это (a2*b1 + a1*b2) - мнимая часть комплексного числа.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = -3 - 3i
Z = 10 + 2i
Z * Z = ((-3)*10 - (-3)*2) + ((-3)*10 + (-3)*2)i = -24 -36i
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
4) Деление.
Числитель и знаменатель надо умножить на комплексное сопряженное к знаменателю.
(a1 + b1*i)/(a2 + b2*i) = (a1 + b1*i)*(a2 - b2*i) / (a2 + b2*i)*(a2 - b2*i) = (a1*a2 + b1*b2)/(а2² + b2² + (a2*b1 - a1*b2)/(а2² + b2²i
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = -24 -36i
Z = 10 + 2i
Z / Z = ((-24)*10 + (-36)*2)/(10² + 2² + ((-36)*10 - (-24)*2)/(10² + 2²i = -3 -3i
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Свойства операций.
1) Комутативность Z1 + Z2 = Z2 + Z1
Z1 * Z2 = Z2 * Z1
2) Ассоциативность (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3)
(Z1 * Z2) * Z3 = Z1 * (Z2 * Z3)
3) Диструбутивность (Z1 + Z2) * Z3 = Z1 *Z3 + Z2 * Z3
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1) При перемножении двух коплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Z1 = r1 * (cos φ1 + sin φ1 * i)
Z2 = r2 * (cos φ2 + sin φ2 * i)
Z1*Z2 = r1*r2 (cos (φ1 + φ2) + sin (φ1 + φ2)*i)2
2) При делении двух коплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Z1/Z2 = r1/r2 * (cos (φ1 - φ2) + sin (φ1 - φ2)*i)2
3) При возведении в степень коплексное число в тригонометрической форме модуль возводится в степень, а аргументы умножаются на степень.
Zª = rª (cos (φ*a) + sin (φ*a) * i)
4) Извлечение корня.
Z^1/n = r^1/n * (cos ((φ + 2Пk)/n) + sin ((φ + 2Пk)/n))
Где к = 0,1,....,n-1
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = 2 (cos 10 + i sin 10)
Возведем в шестую степень.
Z^6 = 64 (cos 60 + i sin 60) = 32 + 32* 3^1/2 * i
1^1/3 = ..
r = 1 φ = 0
k = 0,1,2
k=0
Z = 1 (cos 0/3 + i sin 0/3) = 1
k=1
Z = 1 (cos 2П/3 + i sin 2П/3) = -1/2 + (3^1/2)/ 2 * i
k=2
Z = 1 (cos 4П/3 + i sin 4П/3) = -1/2 - (3^1/2)/ 2 * i
Т.е. у корня в третьей степени будут три корня. Так и должно быть если бы раскладывать по формуле Бинома-Ньютона.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Действия над комплексными числами в показательной форме.
Z = r * е^iφ
1) Z1*Z2 = r1*r2 * е^((φ1+φ2)*i)
2) Z1/Z2 = r1/r2 * е^((φ1-φ2)*i)
3) Zª = rª * е^iφa
4) Z^1/n = r^1/n * е^(i(φ + 2Пk)/n), где к = 0,1,..,n-1
Уж необессудьте но геометрическое отображение на плоскости и доказательство формула Эейлера мне лень писать. Точно так же мне лень было писать доказательства всех тех формул, что приведены мной выше.
Но если случилось невероятное - кто-то это понял и больше того заинтересовался, то могу выложить.
Но вот теория Комплексных чисел буквально разрушила все мое мировозрение! Это даже круче чем пределы, ей-богу.
Ну, думаю - че я один страдать буду чтоль? Вот и ...это.. того... мучайтесь.
читать дальше
Итак, комплексные числа.
Как мы знаем все целые, рациональные, дробные, отрицательные, иррациональные числа находятся на некой прямой, и все эти числа называются "действительными числами". Прямую не мучаясь назвали "числовой прямой". Т.е. грубо говоря - числа находятся в одномерном пространстве.
Если же построить декартовую систему координат, т.е. к числовой прямой присобачить такую же прямую перпендикулярную ей и пересекующую ее в точке ноль, то мы получим двумерное пространство комплексных чисел.
Самое важное в комплексных чиселах - это константа "мнимая еденица". Это корень из минус еденицы.
Когда препод эту чушь написал на доске, я было вякнул, что такого не бывает. Меня осадили.
Соответственно квадрат мнимой еденицы, это есть минус один.
Грубо говоря, в начальных классах и позже, нас подло обманывали говоря, что квадрат ЛЮБОГО числа - есть число положительное.
Как оказалось сё - цветочки. А ягодки пошли на следующих минутах.
Математики покумекали, покумекали и порешили - считать комплексные числа по формуле Z = a + ib. Быть посему.
Напоследок они пояснили что Z - это собственно точка и есть, а - это ее действительная координата, b - мнимая, i - мнимая еденица. При этом и а и b - действительные числа.
Соответственно энта вот стрелочка от нуля до точки - сё рекут комплексным числом.
Вот.
Соответственно если b=0 то Z=a - действительное число.
Если а=0 то Z=b - мнимое число.
Модулем же комплексного числа, как это ни странно, называется расстояние от начала кооординат до комплесного числа. Т.е. точно так же как модуль вектора. И считается точно так же.
(Связи с временным отсутствием ворда пишу так... уж не обессудьте)
r = |Z| = Корень квадратный из (а² + b²
= (а² + b²^1\2Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением оси ReZ и вектором r. Причем угол отсчитывается против часовой стрелки, ну или для самых шустрых можно и по часовой, но тады брать со знаком "-".
Т.е. запись выглядит так:
φ = arg Z (0 ≤ φ ≤ 2п)
Или:
tg φ = b/a
Соответственно φ выразим:
φ = arctg b/a, но это такая хитрая формула, что соответствует только для первой и четвертой четверти.
φ = (arctg b/a) + П, это для второй и третьей.
Решим простую задачку. (r, φ
известно найти (a, b)а = r * cos φ
b = r * sin φ
Зная, что Z = a + ib получим
Z = r * cos φ + r * sin φ * i = r * (cos φ + sin φ * i) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Пример:
Z = -3 -3i
a = -3
b = -3
r = (а² + b²
^1\2 = 3 * (2)^1\2 (три корня вторых)φ = arctg (-3/-3) + П = 5П/4
Ответ: Z = -3 -3i = (18)^1/2 * (cos 5П/4 + i * sin 5П/4)
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Формула Эйлера.
е^iφ = cos φ + sin φ
В общем-то опять бред, да? Экспонента - график-то как у показательной, а синус, косинус - кривая косинусоида. Ничего общего. Ан нет. Не все так просто.
Доказательство позже.
Z = r * (cos φ + sin φ * i) = r * е^iφ - показательная форма записи комплексного числа.
Действия над комплексными числами.
1) Два комплексных числа равны, ежели равны их действительные и мнимые части.
2) Чтобы сложить(вычесть) два комплексных числа нужно сложить(вычесть) соответственно их действительные и мнимые части.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = -3 - 3i
Z = 10 + 2i
Z + Z = (10 + (-3)) + (-3 + 2)i = 7 - 1i
Z - Z = (-3 - 10) + (-3 - 2)i = -13 -5i
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
3) Умножение.
(a1 + b1*i)*(a2 + b2*i) = a1*a2 + b1*a2*i + a1*b2*i + b1*b2*i² = (a1*a2 - b1*b2) + (a2*b1 + a1*b2)i
Первая часть (a1*a2 - b1*b2) - это действительная часть комплексного числа (там стоит разность, потому что i² , как мы помним, равно -1), а это (a2*b1 + a1*b2) - мнимая часть комплексного числа.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = -3 - 3i
Z = 10 + 2i
Z * Z = ((-3)*10 - (-3)*2) + ((-3)*10 + (-3)*2)i = -24 -36i
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
4) Деление.
Числитель и знаменатель надо умножить на комплексное сопряженное к знаменателю.
(a1 + b1*i)/(a2 + b2*i) = (a1 + b1*i)*(a2 - b2*i) / (a2 + b2*i)*(a2 - b2*i) = (a1*a2 + b1*b2)/(а2² + b2²
+ (a2*b1 - a1*b2)/(а2² + b2²i-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = -24 -36i
Z = 10 + 2i
Z / Z = ((-24)*10 + (-36)*2)/(10² + 2²
+ ((-36)*10 - (-24)*2)/(10² + 2²i = -3 -3i-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Свойства операций.
1) Комутативность Z1 + Z2 = Z2 + Z1
Z1 * Z2 = Z2 * Z1
2) Ассоциативность (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3)
(Z1 * Z2) * Z3 = Z1 * (Z2 * Z3)
3) Диструбутивность (Z1 + Z2) * Z3 = Z1 *Z3 + Z2 * Z3
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1) При перемножении двух коплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Z1 = r1 * (cos φ1 + sin φ1 * i)
Z2 = r2 * (cos φ2 + sin φ2 * i)
Z1*Z2 = r1*r2 (cos (φ1 + φ2) + sin (φ1 + φ2)*i)2
2) При делении двух коплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Z1/Z2 = r1/r2 * (cos (φ1 - φ2) + sin (φ1 - φ2)*i)2
3) При возведении в степень коплексное число в тригонометрической форме модуль возводится в степень, а аргументы умножаются на степень.
Zª = rª (cos (φ*a) + sin (φ*a) * i)
4) Извлечение корня.
Z^1/n = r^1/n * (cos ((φ + 2Пk)/n) + sin ((φ + 2Пk)/n))
Где к = 0,1,....,n-1
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = 2 (cos 10 + i sin 10)
Возведем в шестую степень.
Z^6 = 64 (cos 60 + i sin 60) = 32 + 32* 3^1/2 * i
1^1/3 = ..
r = 1 φ = 0
k = 0,1,2
k=0
Z = 1 (cos 0/3 + i sin 0/3) = 1
k=1
Z = 1 (cos 2П/3 + i sin 2П/3) = -1/2 + (3^1/2)/ 2 * i
k=2
Z = 1 (cos 4П/3 + i sin 4П/3) = -1/2 - (3^1/2)/ 2 * i
Т.е. у корня в третьей степени будут три корня. Так и должно быть если бы раскладывать по формуле Бинома-Ньютона.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Действия над комплексными числами в показательной форме.
Z = r * е^iφ
1) Z1*Z2 = r1*r2 * е^((φ1+φ2)*i)
2) Z1/Z2 = r1/r2 * е^((φ1-φ2)*i)
3) Zª = rª * е^iφa
4) Z^1/n = r^1/n * е^(i(φ + 2Пk)/n), где к = 0,1,..,n-1
Уж необессудьте но геометрическое отображение на плоскости и доказательство формула Эейлера мне лень писать. Точно так же мне лень было писать доказательства всех тех формул, что приведены мной выше.
Но если случилось невероятное - кто-то это понял и больше того заинтересовался, то могу выложить.
@темы: Комплексные числа
-
-
13.12.2006 в 15:53-
-
13.12.2006 в 16:45А есть группы Ли. Про них отдельно нужно написать.
Но математика у таких вещей достаточно сложна! )))
Паломник Оптимизма я еще не читала пост - вечером прочту )
но одна просьба сразу: убери смайлы в формулах )))
-
-
14.12.2006 в 09:41-
-
14.12.2006 в 09:43Но нифига про это не знаю.
-
-
14.12.2006 в 21:06раз уж вы взялись про комплексные... то может про функцию напишите, а то немножко не последовательно...
для тупых пожалуйста уточните... откуда вдруг формулы эйлера появились
-
-
15.12.2006 в 08:55-
-
15.12.2006 в 08:57-
-
15.12.2006 в 10:54Это вы так напрасно! ))))
Под аргументом математики совсем другое понимают ))))
Термин "аргумент комплексного числа", который действительно представляет собой угол наклона вектора (с точностью до 2П) — так и следует употреблять: полностью. Иначе возникнет путаница.
Точно так же как и модуль комплексного числа, хоть и имеет тот же "физический смысл", что и обычный модуль, всё же этим самым "обычным модулем" не является.
-
-
15.12.2006 в 11:20*пошел искать крепкую стенку*
-
-
15.12.2006 в 11:26Лучше доказательство формулы Эйлера. Оно очень поучительно )))
И оттуда сразу видно, что экспонента мнимого числа — совсем не простая экспонента )))
-
-
15.12.2006 в 11:35А без них я вам тут такое напишу сам Эйлер не поймет =)
-
-
15.12.2006 в 11:44-
-
15.12.2006 в 11:50Если можно как-то подругому - то как?
-
-
15.12.2006 в 11:52Как по-другому, — не знаю...
-
-
15.12.2006 в 11:55*При этом выдернуть волос из уха близсидящего программера и попросить сделать ворд..*
-
-
15.12.2006 в 21:33Дилетант
-
-
16.12.2006 в 00:24А в чем проблема создания третьей оси? Оси x,y,z для трехмерного пространства - каждая точка имеет три координаты и всё такое... очень удобно для вычисления тех же тройных интегралов.
Дилетант
Что такое группы Ли? В чём суть хоть?
-
-
16.12.2006 в 13:51Правда я не знаю зачем эти числа вводить для реальных расчетов... Даже комплексными мы пользуемся довольно таки редко, но мир развивается, а с ним и наука и когда-нить найдется применение и им... Чет я куда-то ни туда ушел...
-
-
16.12.2006 в 14:32Задание: нарисовать на плоскости.
-
-
16.12.2006 в 14:36Во-вторых, тон.
В-третьих, приказ.
В-четвертых, здесь не решают.
В-пятых, вы свободны.
-
-
16.12.2006 в 16:481. Ну и что?
2. А что не так, тон вполне обычный.
3. Где??? Я сказала "если кому нравится"! Для особо тугодумных могу повторить.
4. Читайте правила. Здесь приветствуются как лекции, так и задания.
5. А это уже не вам решать!
-
-
16.12.2006 в 19:54Халёпушка Если хотите, повесьте задачу отдельной записью. А мат и правда не приветствуется.
Тимурио Правда я не знаю зачем эти числа вводить для реальных расчетов...
В квантовой механике без них вообще никуда! Нашлось им применение! )))
Кошка Шредингера как раз находится в суперпозиции сразу двух противоположных состояний: жива на действительной оси и мертва на мнимой )))
Паломник Оптимизма
-
-
16.12.2006 в 20:10Amicus Plato анализ структуры кристалов... фракталы
-
-
16.12.2006 в 20:14И сюда повесить — они красивые! (фракталы имею в виду))
-
-
16.12.2006 в 20:19-
-
16.12.2006 в 20:25Я тут загланула в группы Ли и поняла, что была неправа ))))
Этот материал на пальцах даже сам Хаусдорф не изложил бы ))))
-
-
16.12.2006 в 22:33Ага, теперь понял. По поводу третьей оси для комплексных чисел... возможно, не ввели, потому что голову ломать над таким бессмысленным, по сути, заданием, не имеет смысла. Мы вполне можем определить комплексное число в любом удобном нам виде. Не знаю, право... если определить комплексное число одной цифрой, то оно уже перестанет таковым являться
И, кстати, о применении. Amicus Plato и chebur12 уже назвали пару областей, от себя могу добавить - я связист по образованию, и у нас эти комплексные числе поперек горла с первого курса были. Милая вещь на самом деле. ВУЗ у нас специфический, так вот нам они нужны для расчета первичных и вторичных параметров линий связи (кабелей) и параметров влияния друг на друга металлических проводников. В электродинамике, опять-таки, компл. чисел валом. Все эти вектора электромагнитных полей без комплексной формы своей вообще не живут, в прямом смысле. Магнитных волн не существует, вот и придумали им то, что тоже с трудом можно назвать существующими - компл. числа
Amicus Plato, спасибо. Будет очень интересно на самом деле.
-
-
17.12.2006 в 15:48еще очень величественно "Его величество Хаос и фракталы"
-
-
17.12.2006 в 16:31На самом деле речь идет об алгебре Кэли )))
Вообще, гиперкомплексные числа — числа не со скалярной, а с векторной мнимой частью.
Вот кватернионы: q = a + bi + cj + dk у них три "мнимых составляющих", образующие трехмерный вектор с ортами i, j, k.
А в алгебре Кэли — октавы. Числа, состоящие из действительной части и 7-мерного "мнимого" вектора.
Рано или поздно обязательно про это напишу. )))
Надеюсь, еще сегодня ))))
chebur12 самое смешное, — с фракталами у них прямая связь )))
-
-
17.12.2006 в 19:08