Вопрос про ноль

[Киже]

Прочитала сегодня, что любое число в нулевой степени равно единице. Это правда?
Если да, то я не понимаю: почему не нулю? почему не самому себе?

И тогда получается, что ноль в степени ноль равно единице???

@темы: Бесконечность, Вопросы

Comments

[Дилетант]

Урра!

Наконец-то сообщество начнет выполнять свои прямые функции ))) сиречь, отвечать на детские вопросы по математике )))

Сейчас соберусь с мыслями и напишу )))

[Дилетант]

Начнем с конца.

Значение "Ноль в степени ноль" — само по себе не определено.

Если у нас есть предел y^x (игрек в степени икс), в котором и икс и игрек стремятся к нулю, то он сводится ко второму замечательному пределу, или логарифмируется и затем раскрывается правилом Лопиталя )))

После раскрытия этот предел может оказаться равным ЧЕМУ УГОДНО!

В обычном же случае 0^0="неопр". ))))

Про ненулевое число в нулевой степени сейчас напишу.

[Дилетант]

Вообще-то где-то на уровне "здравого смысла" это выглядит таким образом.



x^n / x^m = x^(n-m)



буквально тут написано следующее: икс в степени эн, деленное на икс в степени эм равно икс в степени эн минус эм. То есть при делении двух степение с одинаковым основанием (икс) показатели вычитаются.

Это будем считать данностью.

Так ЕСТЬ, потому что таково свойство операции возведения в степень.



Теперь посмотрим, что же будет, если n=m, т.е. эн и эм — одно и то же число.

Имеем:



x^(n-n) = x^n / x^n = 1 .................................................................(*)



x^(n-n) = 1 в силу того, что в дроби, стоящей посередине равенства (*) числитель равен знаменателю. А если число разделить на само себя, то получится единица. Таково свойство единицы. Его мы оспаривать не можем. Если бы она не обладала таким свойством, она бы не была единицей )))



Ну, вот.

Но с другой-то стороны x^(n-n) = x^0!

Вот и получается, что x^0=1.



Или, с полными выкладками:



x^0 = x^(n-n) = x^n / x^n = 1



Можно, конечно, всё доказывать куда серьезнее, рассматривая дробные степени и предельный переход...

Может, оно так и "прозрачнее" выйдет...



Вот, кстати, историческая справка.

В одном из своих сочинений Шюке(1484) ВПЕРВЫЕ ПОЛЬЗУЕТСЯ НУЛЕВЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. НО ПЕРВЫМ, кто впервые сознательно применяет, что число в нулевой степени равно нулю, был узбекский учёный Гиясседдин ал-Каши, который умер несколькими десятками лет раньше Шюке. После Шюке немецкий математик Михаил Штифель(1486-1567) уже широко пользовался дробным, нулевым и отрицательным показателями.

За достоверность не ручаюсь. Источник — интернет. Тамбовский сайт по математике )))

За что им спасибо.



Киже говори, понятно или не очень! )))

[капитан няшенька]

Дилетант ого, это и правда так доказывается? я думала как-нибудь совсем по заумному))

[Дилетант]

Nazarova Varvara по заумному тоже можно ))) говорю же, с дробными степенями. Взять предел )))

Но ведь здесь нигде нет противоречия. Всё наглядно и логично ))))

Ловкость рук и никакого мошенничества ))))

[Дилетант]

В продолжение:

самому себе равно число в первой степени, а не в нулевой.

А вот нулю никакая степень числа (конечная) равняться не может.

[Sensile]

Дилетант

Понятно и красиво!

А я ведь просто как данность воспринимала тот факт, что любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, даже и не пытаясь вдуматься почему

[Дилетант]

Sensile спасибо )))

Вот как раз для этого и задумывалось сообщество!

Но только для математиков настолько замыливается взгляд, что и не поймешь, о чем рассказывать...

Всё получается притянутым за уши...

А вот вопросы редко задают...

Спасибо Киже ))))))))

[cytoex]

С помощью этого же доказательства можно прийти к выводу, что ноль в нулевой степени не имеет смысла:

0^0/0^0

[Дилетант]

Augmented Reality совсем нет.

Неопределенность ноль на ноль, так же как и ноль в нулевой степени в рамках этого аппарата не могут быть рассмотрены.

Эта оговорка подразумевалась с самого начала.

[Киже]

Дилетант Сначала было непонятно, но когда поставила вместо n число — сошло озарение))))))

Непроясненными остались только два момента: логарифмируется и затем раскрывается правилом Лопиталя ... И вытекающий отсюда третий момент: ЧЕМУ УГОДНО - это чему например?

[Дилетант]

Киже БЛИН!!! ЯТЬ!!! Сожрался длинный коммент!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Завтра попробую еще раз ответить! Сейчас просто задушить всех готова! (((

[Дилетант]

Киже буду умнее и осторожнее. Надеюсь не забыть скопировать то, что сейчас напишу )))

логарифмируется и затем раскрывается правилом Лопиталя ...

К этому надо относиться просто как к названиям неких технологий, с помощью которых можно получить результат. На этом зацикливаться не след.

А вот на самой сути технологий мы остановимся, и из этого станет ясен ответ на второй вопрос: ЧЕМУ УГОДНО - это чему например?

Я уже как-то говорила Щасвирнусу, что когда мы говорим НОЛЬ, иногда нам этого вполне достаточно, а иногда (когда возникает та самая пресловутая неопределенность), нам важно знать, КАК этот ноль был получен. Знать природу этого нуля.

Потому что если у нас есть функции, которые стремятся к нулю, то одни из ни делают это (стремятся) гораздо быстрее, чем другие. Вот поэтому нам часто бывает нужно сравнить две стремящиеся к нулю функции.

Вот например, синус икс и сам икс стремятся к нулю с одинаковой скоростью.

Поэтому предел sin(x)/x при икс стремящемся к нулю, равен единице, хотя по отдельности и числитель и знаменатель в пределе равны нулю.

Есть спец. правило (оно и называется правилом Лопиталя), которое устанавливает эти самые скорости, и позволяет вычислять значения пределов.



Если же у нас неопределенность не вида 0/0, а 0^0, наши действия будут состоять из двух частей. Первое — приведение ее к виду 0/0, и второе уже собственно снятие неопределенности. (Еще есть третья часть, но сейчас это излишне).

Так вот, превращение степени в дробь как раз и производится с помощью операции логарифмирования.

И после этого задача сводится к предыдущей, т.е. к нахождению предела дроби 0/0.



"Равен чему угодно" — и впрямь значит "чему угодно".

Например, предел tg(mx)/sin(nx) при икс стремящемся к нулю, равен m/n. Хотя сами по себе и тангенс и синус нуля равны нулю.

Еще более конкретный пример:



Предел tg(4x)/sin(2x) = 4/2 = 2



Вот так где-то.

[Киже]

Дилетант Угу, я подумаю... Что-то меня здесь смущает...

[Дилетант]

Киже не тяни с раздумьями ))) режь правду-матку в лицо. Говори, что смущает!