[Amicus Plato]

Всем читателям небольшой подарочек.
Фракталы.

Перед вами так называемые двупорожденные фракталы — множества, получающиеся с помощью итераций двух линейных уравнений, то есть, по большому счету, каждое такое множество определяется всего-навсего четырьмя комплексными числами. ВСЁ.
(В моей голове это никак не желает уложиться).

Смотрите и наслаждайтесь)
Весят они очень мало.

Авторство — интернет (с)

еще

@темы: Фракталы, Золотое сечение, Amicus Plato

Comments

[chebur12]

красиво....





как образованы?

[Дилетант]

chebur12 с помощью последовательных итераций. )

[chebur12]

Дилетант прямые строят?

[Dieter Zerium]

Дилетант

А можешь вкратце рассказать, что такое интерации? Слово часто стали употреблять, связано ли оно с прерываниями?)

[Дилетант]

Dieter Zerium

В самом общем случае:
Итерация (лат. iteratio — повторение) — в математике результат повторения какой-либо математической операции.

Ну, вот представь, есть у нас линейное отображение:

Z_n+1=AZ_n+B

Начинаем из некоторой точки Z₀. Получаем последовательность точек.
Если отображение не линейное, а хотя бы квадратичное, то на комплексной плоскости везде, кроме маленького множества, за несколько итераций координаты Z_i начинают превышать размеры нашей галактики.

Пусть у нас есть отображение Z_n+1 = Z_n² + C, и начинаем мы в точке Z₀=0.

Тогда множество всех точек С, для которых эти итерации остаются ограниченными при n→∞ называется множеством Мандельброта.

[Дилетант]

Множество Мандельброта — фрактальное множество.
Фракталы — это т.н. самоподобные структуры, в которых часть идентична целому.
Кроме того, фракталы имеют дробную хаусдорфову размерность.

Хаусдорфова размерность для обычных фигур (тел) — это просто: она совпадает с "размерностью" пространства, в котором они существуют.

Линия — одномерна, плоская фигура — двумерна, тело — трехмерно, и т.д.
Но не фракталы!
У тех фракталов, которые выше, хаусдорфова размерность меньше двух!
Они все "в дырочку".

[Дилетант]

Вот граница множества Мандельброта с 200-кратным увеличением:

[Дилетант]

Это и есть то, что в математике называется хаосом.

[Дилетант]

А вот множество Жюлиа.



Цвет каждой точки зависит от того, сколько итераций комплексной функции f(z) = a(z^2+b) может быть сделано, пока точка z не выйдет за пределы круга радиуса r  (|z| >r).

[Дилетант]

Еще Жюлиа

[Дилетант]

chebur12 прямые строят?

Нет! )))



Это изображения двупорожденных геометрически самоподобных фракталов - инвариантных множеств пары линейных отображений плоскости: f₁(z) = az +b, f₂(z) = cz +d

Условие то же самое: сходимость рекурсивных функций.

Как они в системе работают, сама толком не знаю. Но факт остается фактом: каждая такая красота порождена 8-ю действительными числами.

[chebur12]

не понимаю... как рисуются картинки...



и ещё

может есть какой нить пример который эти итерации иллюстрирует

[Дилетант]

chebur12 Картинка рисуется "опытным путем".

Вот, для множества Жюлиа к примеру:



Цвет каждой точки зависит от того, сколько итераций комплексной функции f(z) = a(z^2+b) может быть сделано, пока точка z не выйдет за пределы круга радиуса r (|z| >r).



1. Мы берем точку Z0 на комплексной плоскости.

2. Находим f(Z0)

3. Берем Z1=f(Z0) снова в качестве аргумента функции f: Z2=f(Z1)

4. Проделываем такие итерации много раз; получаем последовательность Zi.



Если она при n стремящемся к бесконечности не выходит за окружность конечного радиуса (ограничена), точку Z0 (самую начальную) помечаем фиолетовым цветом (это "внутренняя часть множества).

Далее граница. На ней-то и возникают "фрактальные эффекты":

если последовательность не выходит за эту окружность за число шагов N1, помечаем Z0 зеленым;

если не выходит за эту окружность за число шагов N2, помечаем Z0 желтым;

...

и т.д.



И так исследуем всю комплексную плоскость.

Черная часть — это то, где последовательность заведомо расходится.

Так вот, на границе две любые соседние точки имеют РАЗНУЮ сходимость. Если при одном начальном положении имеем сходимость, то сдвинь хоть на микрон — последовательность уходит в бесконечность молниеносно.

Это и есть хаос.

Когда по начальным условиям нельзя предсказать будущее. (Потому хотя бы, что эти условия мы не можем измерить точно: всегда существует погрешность измерений, которой вполне достаточно для жуткой ошибки).

Это знаменитый эффект Бабочки.

[chebur12]

Дилетант спасибо...





а разве нельзя просчитать ВСЕ возможные положения????



комплексность и есть магия ?

[Дилетант]

chebur12 что значит "все"??? точек ведь континуум!

[chebur12]

Дилетант хм.... континуум?... какие же тогда итерациии???

[Дилетант]

chebur12 Чебур )) Я что-то не пойму, о чем мы вообще разговариваем )))

Итерации это такая повторяющаяся штука (любая), которая на каждом следующем шаге использует результаты предыдущего шага.

При чем тут свойства пространства?

[chebur12]

Дилетант ой... поняла как картинки получаются....

а про плотное не поняла...... по прежнему

[chebur12]

это значит, что МЕЖДУ любыми сколь угодно близкими точками существует еще хотя бы одна. И всё.



Дилетант мы кусок фрактала......

[Дилетант]

chebur12 )))

Ты только поконкретней скажи, чего не поняла, а то у меня мозги закипят )

[Дилетант]

chebur12 эммм... мы о чем вообще говорим?

[chebur12]

Дилетант
фракталы значит результат операции с чем? с какой угодно функцией ? в какой угодно пространстве??? множестве??? чисел?? или только в комплексном...

[Дилетант]

chebur12 ой...

Начнем сначала.
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенных дробей. Иррациональные представляются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Примеры всем известны: корень из 2, Пи, и т.д.
Множество рациональных чисел счетно. Множество иррациональных имеет мощность континуум.

Действительные (вещественные) числа — это рациональные и иррациональные вместе.

А уж комплексные — это так сказать декартово произведение двух вещественных осей.

[chebur12]

Дилетант
пасиб я уже разобралась.... и с комплексными и с рациональными...

[Киже]

Дилетант А я ничего не поняла, кроме того, что такое эффект бабочки))))))))

[Дилетант]

Киже а про эффект бабочки поняла? Это самое главное и есть )))

[Киже]

Дилетант Поняла))) Что-то происходит в настоящем — и будущее, даже очень далёкое, меняется, оно становится не таким, каким было, скажем, две минуты назад. А если бы не было погрешности, тогда будущее можно было бы предсказать?

[Дилетант]

Киже Погрешности не быть не может )))

Потому что любой прибор, пусть самый точный, вносит свои собственные возмущения в наблюдаемый объект, и таким образом, объект уже не тот, что был до измерения.

То есть мы получается измеряем не состояние объекта, а состояние системы: измерительный прибор+объект.

Элементарный пример: ты меряешь себе температуру. Так вот, ты узнаешь не свою точную температуру, а температуру системы: ты+градусник.

И вот в чем парадокс.

Градусник маленький, а ты большая, поэтому градусником в системе можно пренебречь.

Так?

Но с другой стороны он очень неточен. Ртутный градусник меряет температуру с погрешностью пять сотых (половина цены деления, которое составляет одну десятую). Если нам надо очень точно, то этот градусник не подойдет. А подойдет нашпигованный электроникой весом в несколько килограммчиков. Мерять он будет точнее, но и воздействовать на тебя гораздо больше! И таким образом, получается, что ни сейчас, ни в будущем, никогда мы не сможем ничего измерить точно.

Ибо один взгляд наблюдателя изменяет объект наблюдения.

Это "принцип двойственности" на пальцах ))

[Киже]

Дилетант В общем, никакой надежды на то, что удастся когда-нибудь узнать: что там, в будущем((...

[Дилетант]

Киже и это хорошо )) не правда ли?