Простыми словами
Напомню вопрос.
Он заключался в том, имеют ли квадрат и его сторона равные мощности. То есть, равно ли в них "количество точек"? Сравнимы ли типы бесконечности для обозначения количества точек отрезка и количества точек двумерной фигуры?
На первый взгляд, ответ очевиден: "конечно же нет!" Ведь в квадрате помещается бесконечное число отрезков длиной в его сторону!
Однако, чтобы доказать, что это не так, что множества эти "соизмеримы", и более того, равномощны, ("имеют одинаковое количество точек"
, нам надо всего лишь задать взаимно однозначное соответствие из точек квадрата в точки его стороны (и обратно).
Оговорюсь сразу: я не могу найти, где я это вычитала, и поэтому не помню в точности, как там выглядит "предельный переход" — отображение точек, которые лежат на сторонах квадрата. С внутренней областью всё ясно. А насчет границы: это уже мой личный изворот.
Итак, доказательство.
Пусть у нас есть произвольный квадрат. Примем его сторону за единицу. Тогда в координатной плоскости каждая его точка будет иметь координаты (х,у) вида:
x = 0,x1x2x3...........
y = 0,y1y2y3...........
То есть, х и у будут представлять собой конечные или бесконечные десятичные дроби в диапазоне от 0 до 1.
Теперь обратимся к точкам на границе.
В одном из комментариев в этом сообществе я уже показывала, что когда речь идет от числах вещественных, две записи единицы полностью эквивалентны:
1,0000000000000000... = 0,999999999999999999999...
Поэтому точки на границах квадрата мы будем представлять с соответствующей координатой (у для верхней стороны и х — для правой) равной 0,9999999....
Тогда отображение ЛЮБОЙ точки квадрата на отрезок оси от 0 до 1 можно представить в следующем виде:
z = 0,x1y1x2y2x3y3............
То есть всего навсего зададим координаты точки зэт на отрезке [0;1], чередуя цифры записи икса и игрека.
Таким образом, КАЖДАЯ точка этого квадрата нашла свое уникальное место на его стороне.
Обратно, по каждой точке стороны можно единственным образом восстановить точку квадрата: цифры, стоящие на нечетных местах после запятой, образуют мантиссу (дробную часть) координаты х (абсциссы), а цифры, стоящие на местах четных, образуют мантиссу ординаты — у.
Сумбурно несколько вышло.
Поэтому, если что, — говорите сразу.
Он заключался в том, имеют ли квадрат и его сторона равные мощности. То есть, равно ли в них "количество точек"? Сравнимы ли типы бесконечности для обозначения количества точек отрезка и количества точек двумерной фигуры?
На первый взгляд, ответ очевиден: "конечно же нет!" Ведь в квадрате помещается бесконечное число отрезков длиной в его сторону!
Однако, чтобы доказать, что это не так, что множества эти "соизмеримы", и более того, равномощны, ("имеют одинаковое количество точек"
, нам надо всего лишь задать взаимно однозначное соответствие из точек квадрата в точки его стороны (и обратно).Оговорюсь сразу: я не могу найти, где я это вычитала, и поэтому не помню в точности, как там выглядит "предельный переход" — отображение точек, которые лежат на сторонах квадрата. С внутренней областью всё ясно. А насчет границы: это уже мой личный изворот.
Итак, доказательство.
Пусть у нас есть произвольный квадрат. Примем его сторону за единицу. Тогда в координатной плоскости каждая его точка будет иметь координаты (х,у) вида:
x = 0,x1x2x3...........
y = 0,y1y2y3...........
То есть, х и у будут представлять собой конечные или бесконечные десятичные дроби в диапазоне от 0 до 1.
Теперь обратимся к точкам на границе.
В одном из комментариев в этом сообществе я уже показывала, что когда речь идет от числах вещественных, две записи единицы полностью эквивалентны:
1,0000000000000000... = 0,999999999999999999999...
Поэтому точки на границах квадрата мы будем представлять с соответствующей координатой (у для верхней стороны и х — для правой) равной 0,9999999....
Тогда отображение ЛЮБОЙ точки квадрата на отрезок оси от 0 до 1 можно представить в следующем виде:
z = 0,x1y1x2y2x3y3............
То есть всего навсего зададим координаты точки зэт на отрезке [0;1], чередуя цифры записи икса и игрека.
Таким образом, КАЖДАЯ точка этого квадрата нашла свое уникальное место на его стороне.
Обратно, по каждой точке стороны можно единственным образом восстановить точку квадрата: цифры, стоящие на нечетных местах после запятой, образуют мантиссу (дробную часть) координаты х (абсциссы), а цифры, стоящие на местах четных, образуют мантиссу ординаты — у.
Сумбурно несколько вышло.
Поэтому, если что, — говорите сразу.
-
-
19.12.2007 в 08:07Вчера мне был задан вопрос, ответить на который я не смогла
"Встречаются ли в природе бесконечные множества или это чисто математическая абстракция?"
-
-
19.12.2007 в 08:36-
-
19.12.2007 в 10:36вообще-то (насколько я знаю из литературы))) физики не очень любят ни "бесконечно больших" ни "бесконечно малых".
По-моему у Пенроуза я читала, (он математик, наверно, в большей степени, чем физик), что не имеет смысла дробить пространство и время дальше какого-то определенного порога. Просто потому что ни приборами, ни как-то иначе мы таких единиц зафиксировать не можем: получается, что пользы от этого никакой. Может, переврала, конечно... Но смысл был в том, что порочно непрерывные величины дробить на бесконечно малые отрезки...
...
Cara там ведь скорее не об этом речь... Там получается, что фотон "равномерно размазан" в пространстве, пока не произойдет квантовая редукция. Нет?
-
-
19.12.2007 в 17:29За умными словами не видно сути вопроса.
Равномерно размазан - это и значит, что фотон может находиться где угодно. А раз нет точной координаты, то множество координат бесконечно. Я имею в виду точный момент времени. По-моему все предельно ясно.
-
-
19.12.2007 в 17:36диапазон сил, с которой я могу щелкнуть.... он включает бесконечность вариантов.
-
-
19.12.2007 в 19:00но ведь сам диапазон конечен!
Так же как и участок пространства, в котором может находиться фотон.
И нет смысла говорить о бесконечности возможностей, когда мы ограничены в точности шкалами измерительных приборов.
Это не имхо, это мнение физиков, почерпнутое из разных источников.
То есть я хочу сказать, что непрерывное множество ограниченного объема, разумеется, имеет бесконечное число "элементов", но для той же "природы" оно конечно и ограниченно своим объемом (или иными границами).
Всё остальное — искусственные конструкции.
-
-
19.12.2007 в 19:29но для той же "природы" оно конечно Что конечно, координата фотона?..... смотри соотношение Гейзенберга. Координата фотона ограниченна Вселенной.
Пример из математики: множество чисел от нуля до 1 бесконечное множество? Да множество ограниченно, но бесконечно.
-
-
19.12.2007 в 22:35Amicus Plato я помню... дисскусию с Лямбдой по поводу несчетного множества... ты кажется её привела? я сначала не соглашалась, а потом согласилась... но читать снова леть...
Amicus Plato вечная проблема связанная с наблюдателем, где он находится, что наблюдает и что видит
-
-
19.12.2007 в 22:47Самой Природе на это наплевать. Нет человека — нет и бесконечности в отрезке от нуля до единицы.
Я утрирую, конечно, но мне кажется надо просто принять некие соглашения: что есть предмет нашего спора.
-
-
19.12.2007 в 22:55пардон если не в тему, но помоему... "бесконечности" конечных объектов и должны быть соизмеримы?
-
-
19.12.2007 в 23:03мммм...
этого я так прямо утверждать не решусь ))))
-
-
19.12.2007 в 23:15-
-
19.12.2007 в 23:31потому что не знаю )))
Конечные объекты же разные бывают ))
-
-
19.12.2007 в 23:35Конечные объекты же разные бывают
ну и что? разве твое доказательство не является универсальным?
-
-
19.12.2007 в 23:38но думаю можно привести примеры бесконечных множеств ограниченного объема с другой мощностью...
сейчас с наскока не скажу...
-
-
19.12.2007 в 23:40-
-
20.12.2007 в 00:52Но когда дело доходит до элементарных частиц, тут уже выясняется, что множество частиц в материи не бесконечно, а очень даже конечно. И в ход идут уже другие математические аппараты.
В общем, по-моему, «чистую» бесконечность в природе человеку обнаружить пока не дано. Всегда есть разрешающая способность и погрешность измерительных приборов.
И сдается мне, что у фотона на самом деле есть точная координата, просто мы никак не можем ее измерить, да и само понятие координаты для фотона теряет смысл).
Но ко многим природным субстанциям теория бесконечных множеств неплохо применима. С последующими округлениями и дискретизациями, конечно.
Ну вот, к примеру, если при решении задачи оказалось, что для полета на Луну необходимо двигаться с ускорением, ну, скажем, «пи» метров/секунду в квадрате, то на практике такой ответ смысла не имеет, а итоговое ускорение принимается равным, скажем, 3.1416 м/с^2.
Другой пример: можно рассчитывать изменения в атмосфере Солнца на миллиард лет вперед с точностью до секунд. В этом случае множество секунд вполне можно рассматривать как бесконечное. Первые неточности такого допущения проявятся ой как не скоро)
То есть многие практические задачи неплохо экстраполируются математическими моделями с бесконечными множествами. Но на практике (человеческой практике) бесконечность не встречается. Жизнь конечна.
Кстати, любой физик знает, что число «пи» — это 3.14, а если нужно очень точно, то 3.1416 )
-
-
20.12.2007 в 08:16Вот так, легким росчерком пера, основные законы квантовой механики идут лесом.
Всегда есть разрешающая способность и погрешность измерительных приборов.
А ещё есть законы физики.
Disprein
Тут не идет речь о детектировании бесконечного множества приборами.
Я всего лишь говорю об их существовании, изходя из современных представленний физики..
Если в уравнении будет стоять pi, то округляется обычно ответ до требуемой точности, а не само pi. Естественно округляет компьютер. Так действительно на практике.
-
-
20.12.2007 в 08:57лицо проще и все наладится в науке
Выб вместо банальностей вот взялиб и доказали, что приведенное доказательство ложно....
тут бы все прочли и Амикус тоже и как ахнулиб, и как восхитились..
а то что А ещё есть законы физики....... блин ...
это конечно откровение... но както...гм
-
-
20.12.2007 в 10:43Ну, опять-таки, пример. На расстоянии десяти метров от человека пролетает густая стая мошкары. Человек не видит каждую мошку в отдельности, он видит размытое темное облако. Человеку важно, сколько в облаке мошек и куда они все движутся, но координата каждой конкретной мошки ему, по сути, не важна, а и была бы важна — он все равно ее не узнает с такого расстояния. И человек строит модель облака мошек. Дескать, все облако занимает примерно вот такой объем, а координата вот этой конкретной мошки может быть вот в этих пределах.
Но, конечно, если вдруг кто-то очень большой хлопнет в ладоши и прихлопнет все облако, то на ладонях этого великана мы уж сможем рассмотреть всех мошек по отдельности. И узнать, каковы же были их координаты в последний момент их жизни.
Узнаете?)
Не потому ли и микрочастицы представляются «размазанными» в движении?
Я не отрицаю квантовой механики, на сегодняшний день она вполне применима. Как модель.
А законы физики — всего лишь обобщения природных явлений, которые худо-бедно согласуются с практикой. Это не математические законы. И слепо верить им я бы не стал.
-
-
20.12.2007 в 17:09А может быть у всякого прибора есть физическое ограничение , из-за фундаментальных законов
Не потому ли и микрочастицы представляются «размазанными» в движении?
Нет не поэтому... вот если одна из мушек способна пройти в две щели одновременно и каждая из проходящих половинок будет влиять друг на друга.
А законы физики — всего лишь обобщения природных явлений, которые худо-бедно согласуются с практикой.
А как быть с законами, которые открывались, когда не было практических подтвержденний?
-
-
20.12.2007 в 20:33А может быть у всякого прибора есть физическое ограничение , из-за фундаментальных законов
Может быть, и есть.
Только откуда уверенность в том, что фундаментальные законы природы совпадают с законами современной физики?
Одна мушка в две щели не пройдет, но мы же видим рой. Рой проходит в две щели. А уж которая из мушек прошла в какую щель — мы не знаем. Поэтому для удобства считаем, что каждая мушка прошла в две щели (может, оно и вправду так случилось, нам же не разглядеть с такого расстояния). И нам без разницы, по существу, как оно там произошло на самом деле, если получаемый результат одинаков.
А как быть с законами, которые открывались, когда не было практических подтвержденний?
Каждый закон физики — это следствие из гипотезы об устройстве мира. Гипотез-то много. И какая-нибудь из них оказывается удачной и подтверждается фактами гораздо активнее, чем остальные. А потом однажды появляются неоспоримые факты, которые этой гипотезой не описываются или даже ей противоречат. И тогда законы пересматривают.
Вот религия — тоже отличная гипотеза об устройстве мира, только фактов ей не хватает. Как только появятся факты, здравомыслящие физики с радостью начнут креститься.
-
-
20.12.2007 в 20:55Давай без глупых аналогий... одна элементарная частица способна пройти в две дырки одновременно и проинтерферировать с собой.
(или у тебя частица это рой)
По крайней мере я не отвергаю соотношения Гейзенберга так легко, как это делаете вы.
-
-
20.12.2007 в 21:35прости пожалуйста, под соотношением Гейзенберга ты понимаешь принцип неопределенности? Или что-то еще?
Из принципа неопределенности никак не следует, что фотон может быть в любом месте Вселенной, если мы его только что "испустили" в данном конкретном месте.
И бесконечность тут всё та же: бесконечное множество возможных траекторий внутри замкнутого объема, то есть бесконечность искусственная, "очеловеченная".
Disprein мошка действительно в две дырки не пролезет, а один фотон запросто. )))
Но только всё равно не понимаю, при чем тут бесконечность.
-
-
20.12.2007 в 21:39Потому что измеряем мы всегда с помощью приборов. Приборов, которые так или иначе взаимодействуют с измеряемым объектом. И меряют они тогда уже не параметры объекта, а параметры системы: прибор-объект, тем самым изменяя исходные характеристики. И чем точнее прибор, тем больше его влияние. (Ну, это я слегка "поэтизирую", но в общем-то это почти всегда так). ))
-
-
20.12.2007 в 22:32А насчет координаты есть у-ние Ш., допустим электрон с низкой вер-ю может быть на краю Вселенной.
-
-
20.12.2007 в 22:45А где у Вселенной край?
А вдруг она сама в себя заворачивается?
И если мы фотон (электрон) испустили только что, то он никак не выйдет за свой конус событий.
-
-
20.12.2007 в 23:45А где у Вселенной край?
Не важно.
А вдруг она сама в себя заворачивается?
Да хоть в бубльгум.
И если мы фотон (электрон) испустили только что, то он никак не выйдет за свой конус событий.
Время испускания не важно. И поясни мне, что значит только что... фотон есть или его нет?
-
-
20.12.2007 в 23:55или нужен точный математический объект?
-
-
21.12.2007 в 00:46Нет