Простыми словами
Читаю сейчас книгу "Кочерга Витгенштейна. История десятиминутного спора между двумя великими философами".
И как раз вычитала пассаж в тему! В тему парадоксов теории множеств, связанных с бесконечностью.
Сейчас процитирую.
...
По Кантору два бесконечных множества равны между собой, если их элементы образуют пары с отношением один к одному.
Так, например, бесконечное множество 1, 2, 3, 4, 5, ... равно по величине бесконечному множеству 1, 5, 10, 15, 20, ..., потому что элемент 1 образует пару с элементом 1, элемент 2 — с элементом 5, элемент 3 — с элементом 10, и т.д.
Подобное соотношение один к одному позволяет справиться с некоторыми трудностями и загадками бесконечности.
Оказалось, однако, что и этот подход порождает парадоксы. Один из них выявил Бертран Рассел, приводивший в качестве примера роман Лоренса Стерна "Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена". В романе Шенди описывает первые два дня своей жизни, на что у него уходит два года. Он беспокоится, что с такими темпами никогда не закончит автобиографию.
Рассел утверждал, что если применить здесь подход Кантора, то, как ни странно, получится, что если Тристрам Шенди будет жить вечно, то в летописи его жизни не будет упущен ни один день.
Если начиная со дня, когда ему исполнилось двадцать, Шенди в течение двух лет трудился над описанием первых двух дней своей жизни, то, когда ему исполнится 22, он приступит к описанию следующих двух дней; когда исполнится 24 — следующих двух дней, и так далее. Разумеется, отставание по времени будет всё больше и больше; но отношение один к одному сохранится: каждому дню его жизни будет соответствовать один период его автобиографической деятельности:
20 — 21 год — — — — дни 1 — 2
22 — 23 года — — —- дни 3 — 4
24 — 25 лет — — — — дни 5 — 6
...
Получается, бессмертный Тристрам Шенди способен описать все до единого дни своей жизни.
И как раз вычитала пассаж в тему! В тему парадоксов теории множеств, связанных с бесконечностью.
Сейчас процитирую.
...
По Кантору два бесконечных множества равны между собой, если их элементы образуют пары с отношением один к одному.
Так, например, бесконечное множество 1, 2, 3, 4, 5, ... равно по величине бесконечному множеству 1, 5, 10, 15, 20, ..., потому что элемент 1 образует пару с элементом 1, элемент 2 — с элементом 5, элемент 3 — с элементом 10, и т.д.
Подобное соотношение один к одному позволяет справиться с некоторыми трудностями и загадками бесконечности.
Оказалось, однако, что и этот подход порождает парадоксы. Один из них выявил Бертран Рассел, приводивший в качестве примера роман Лоренса Стерна "Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена". В романе Шенди описывает первые два дня своей жизни, на что у него уходит два года. Он беспокоится, что с такими темпами никогда не закончит автобиографию.
Рассел утверждал, что если применить здесь подход Кантора, то, как ни странно, получится, что если Тристрам Шенди будет жить вечно, то в летописи его жизни не будет упущен ни один день.
Если начиная со дня, когда ему исполнилось двадцать, Шенди в течение двух лет трудился над описанием первых двух дней своей жизни, то, когда ему исполнится 22, он приступит к описанию следующих двух дней; когда исполнится 24 — следующих двух дней, и так далее. Разумеется, отставание по времени будет всё больше и больше; но отношение один к одному сохранится: каждому дню его жизни будет соответствовать один период его автобиографической деятельности:
20 — 21 год — — — — дни 1 — 2
22 — 23 года — — —- дни 3 — 4
24 — 25 лет — — — — дни 5 — 6
...
Получается, бессмертный Тристрам Шенди способен описать все до единого дни своей жизни.
-
-
20.12.2007 в 23:19Домой я вернулся довольно поздно — вечер воспоминаний в клубе «Туманность Андромеды» затянулся далеко за полночь. Всю ночь меня мучили кошмары. То мне снилось, что меня проглотил огромный курдль, то грезилось, что я снова лечу на планету Дурдиотов и не знаю, как избежать тамошней страшной машины, превращающей людей в шестиугольники, то... В общем, никому не советую мешать старку с выдержанным медом. Неожиданный телефонный звонок вернул меня в мир реальности. Звонил старый друг и коллега по межзвездным странствиям профессор Тарантога.
«Срочное задание, дорогой Йон, — услышал я. — Астрономы обнаружили в космосе какой-то странный объект — от одной галактики до другой тянется таинственная черная линия. Никто не понимает, в чем дело. Самые лучшие радиотелескопы, нейтриноскопы и гравитоскопы не могут помочь в раскрытии тайны. Осталась надежда лишь на тебя. Срочно вылетай в направлении туманности АЦД-1587».
На другой день я получил из ремонта свою старую фотонную ракету, установил на нее ускоритель времени и электронного робота, знавшего все языки космоса и все рассказы о звездопроходцах (это гарантировало от скуки), и вылетел по заданию.
Когда робот исчерпал весь свой запас рассказов и начал повторяться (нет ничего хуже, чем электронный робот, десятый раз повторяющий старую историю), вдали показалась цель моего путешествия. Туманности, застилавшие таинственную линию, оказались позади, и предо мною предстала... гостиница «Космос».
Выяснилось, что межзвездные скитальцы выгонты, которым я когда-то соорудил небольшую планету, растащили и ее на мелкие части и вновь остались без пристанища. Тогда, чтобы больше не скитаться по чужим галактикам, они решили построить грандиозное сооружение — гостиницу для всех путешествующих по космосу. Эта гостиница протянулась через почти все галактики. Говорю «почти все», потому что выгонты демонтировали некоторые необитаемые галактики, а из каждой оставшейся утащили по нескольку плохо лежавших созвездий.
Но гостиницу они отстроили на славу. В каждом номере были краны, из которых текла холодная и горячая плазма. При желании можно было на ночь распылиться, а утром портье собирал постояльцев по их атомным схемам.
А самое главное, в гостинице было бесконечно много номеров. Выгонты надеялись, что теперь никому больше не придется слышать порядком надоевшую им за время скитаний фразу «свободных номеров нет».
Тем не менее мне не повезло. Когда я вошел в вестибюль гостиницы, первое, что бросилось в глаза, был плакат: «Делегаты съезда космозоологов регистрируются на 127-м этаже».
Так как космозоологи приехали из всех галактик, а их — бесконечное множество, то все номера оказались занятыми участниками съезда. Для меня места уже не хватило.
Администратор пытался, правда, поселить меня с кем-нибудь из космозоологов. Но когда я выяснил, что один предполагаемый сосед дышит фтором, а другой считает нормальной для себя температурой окружающей среды 860, то вежливо отказался от столь «приятного» соседства.
К счастью, директором гостиницы был выгонт, хорошо помнивший услуги, которые я когда-то оказал этому племени. Он постарался устроить меня в гостинице, — ведь, ночуя в межзвездном пространстве, можно было схватить воспаление легких. После некоторых размышлений он обратился к администратору и сказал:
— Поселите его в № 1.
— Куда же я дену жильца этого номера? — удивленно спросил администратор.
— А его переселите в № 2. Жильца же из № 2 отправьте в № 3, из № 3— в № 4 и т. д.
Тут только я оценил необыкновенные свойства гостиницы. Если бы в ней было лишь конечное число номеров, то жителю последнего номера пришлось бы перебраться в межзвездное пространство.
А из-за того, что гостиница имела бесконечно много номеров, всем хватило места, и мне удалось вселиться, не лишив места никого из космозоологов.
Я не удивился, когда на другое утро мне предложили переселиться в № 1 000 000. Просто в гостиницу прибыли запоздавшие космозоологи из галактики ВСК-3472, и надо было разместить еще 999 999 жильцов. Но когда на третий день пребывания в гостинице я зашел к администратору заплатить за номер, у меня потемнело в глазах.
К окошку тянулась очередь, конец которой терялся где-то около Магеллановых облаков. В очереди слышались голоса: «Меняю две марки туманности Андромеды на марку Сириуса!» «У кого есть марка Кита 57-го года космической эры?» В недоумении я обратился к администратору и спросил:
— А это кто такие?
— Межгалактический съезд филателистов.
— И много их?
— Бесконечное множество — по одному представителю от каждой галактики.
— Но как же их разместят, ведь космозоологи выедут только завтра?
— Не знаю, об этом сейчас будут говорить на пятиминутке у директора.
Однако задача оказалась весьма сложной, и пятиминутка (как это часто бывает и на Земле) затянулась на целый час. Наконец администратор вышел от директора и приступил к расселению. В первую очередь он приказал переселить жильца из № 1 в № 2.
Мне это показалось странным, так как по имевшемуся опыту я знал, что такое переселение освобождало лишь один номер, а разместить надо было ни много ни мало, а бесконечное множество филателистов. Но администратор продолжал командовать:
— А жильца из № 2 переселите в № 4, из № 3 — в № 6, вообще из номера n — в номер 2n.
Теперь стал ясен его план: таким путем он освободил бесконечное множество нечетных номеров и мог расселять в них филателистов. В результате четные номера оказались занятыми космозоологами, а нечетные — филателистами (о себе не говорю — за три дня знакомства я так подружился с космозоологами, что был выбран почетным председателем их съезда; вместе со всеми космозоологами мне пришлось покинуть обжи-
тый номер и переехать из № 1 000 000 в № 2 000 000). А мой знакомый филателист, стоявший в очереди 574-м, занял № 1147. Вообще филателисты, стоявшие в очереди n-ми, занимали номер 2n −1.
-
-
20.12.2007 в 23:20— В чем дело? — спросил я его.
— Половина номеров пустует. Финансовый план не выполняется.
Я, правда, не совсем понял, о каком финансовом плане шла речь, ведь плата поступала с бесконечного множества номеров, но тем не менее дал совет:
— А вы уплотните постояльцев, переселите их так, чтобы все номера оказались занятыми.
Это оказалось совсем просто сделать. Филателисты занимали лишь нечетные номера: 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Жильца из № 1 оставили в покое. Из № 3 переселили в № 2, из № 5 — в № 3, из № 7 — в № 4 и т. д. В результате все номера вновь оказались заполненными, хотя ни один новый жилец не въехал.
Но неприятности директора на этом не кончились. Выяснилось, что выгонты не ограничились возведением гостиницы «Космос». Неугомонные строители соорудили еще бесконечное множество гостиниц, каждая из которых имела бесконечно много номеров. При этом они демонтировали так много галактик, что нарушилось межгалактическое равновесие, а это могло повлечь за собой весьма тяжкие последствия. Поэтому им было предложено закрыть все гостиницы, кроме нашей, и вернуть использованный материал на место. Но выполнение этого приказа было затруднено, поскольку все гостиницы (в том числе и наша) были заполнены. Предстояло переселить жильцов из бесконечного множества гостиниц, каждая из которых имела бесконечно много постояльцев, в одну гостиницу, да и та была уже заполнена.
— С меня хватит! — воскликнул директор, — Сначала я в полную гостиницу поместил одного постояльца, потом еще 999 999, потом еще бесконечно много жильцов; а теперь от меня хотят, чтобы в нее вместилось еще бесконечное множество бесконечных множеств жильцов. Нет, гостиница не резиновая, пусть где хотят, там и помещают!
Но приказ есть приказ, и через пять дней надо было все подготовить к встрече новых постояльцев. Эти дни в гостинице никто не работал — все думали, как решить задачу. Был объявлен конкурс с премией — туристическим путешествием по одной из галактик. Но все предлагавшиеся решения отвергались, как неудачные. Так, младший повар предложил оставить жильца из первого номера нашей гостиницы в том же № 1, из второго номера переселить
в № 1001, из третьего номера — в № 2001 и т. д. После этого поселить жильцов второй гостиницы в №№ 2, 1002, 2002 и т. д. нашей гостиницы, жильцов третьей гостиницы — в №№ 3, 1003, 2003 и т. д. Проект был отвергнут, так как уже жители первых 1000 гостиниц займут все номера и некуда будет поселить жителей 1001-й гости-
ницы.
Мне вспомнилось по этому поводу, что, когда раболепные римские сенаторы предложили императору Тиберию переименовать в его честь месяц сентябрь в «тиберий» (предыдущие месяцы уже получили имена императоров Юлия и Августа), он язвительно спросил их: «А что же вы предложите тринадцатому цезарю?»
Неплохой вариант предложил бухгалтер гостиницы. Он посоветовал воспользоваться свойствами геометрической прогрессии и расселить постояльцев так: жителей первой гостиницы — в №№ 2, 4, 8, 16, 32 и т. д. (эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2). Жителей второй гостиницы — в №№ 3, 9, 27, 81 и т. д.
(а это члены геометрической прогрессии со знаменателем 3). Так же предложил он расселять и жителей остальных гостиниц. Но директор спросил его:
— А для третьей гостиницы надо использовать прогрессию со знаменателем 4?
— Конечно, — ответил бухгалтер.
— Тогда ничего не получится, ведь в четвертом номере уже живет обитатель первой гостиницы, а теперь туда же надо вселить и жителя третьей гостиницы.
Настала моя очередь показать, что не зря в Звездной академии пять лет изучают математику.
— Воспользуйтесь простыми числами! Поселите жителей первой гостиницы в №№ 2, 4, 8, 16, . . . , второй — в №№ 3, 9, 27, 81, . . . , третьей — в №№ 5, 25, 125, 625, . . . , четвертой — в №№ 7, 49, 343, . . . .
— А не получится ли опять, что в один номер придется помещать двух постояльцев? — спросил директор.
— Нет! Ведь если взять два простых числа, то никакие их степени с натуральными показателями не могут оказаться равными. Если p и q — простые числа, причем p != q (!= - "не равно"), а m и n — натуральные числа, то p^m != q^n.
Директор согласился со мной и тут же нашел усовершенствование предложенного способа, при котором использовались лишь два простых числа: 2 и 3. Именно, он предложил поселить жильца из m-го номера n-й гостиницы в номер 2^m*3^n. Дело в том, что если m != p или n != q, то 2^m*3^n != 2^p*3^q. Поэтому в один и тот же номер не поселятся двое.
Это предложение привело всех в восторг. Была решена задача, всем казавшаяся неразрешимой. Но премии не получили ни я, ни директор, — при наших решениях слишком много номеров оставались пустыми (у меня — такие номера, как 6, 10, 12 и вообще все номера, которые не были степенями простых чисел, а у директора — номера, которые нельзя записать в виде 2^m*3^n). Самое лучшее решение предложил один из филателистов — президент Математической академии галактики Лебедя.
Он посоветовал сначала составить таблицу, занумеровав ее строки номерами гостиниц, а столбцы — номерами комнат. Например, на пересечении четвертой строки и шестого столбца записывается шестая комната четвертой гостиницы. Вот эта таблица (вернее, ее левая верхняя часть, так как для записи всей таблицы надо бесконечно много строк и столбцов):
— А теперь расселяйте обитателей по квадратам, — сказал математик-филателист.
— Как? — не понял директор.
— По квадратам! В № 1 поселяется жилец из (1; 1), то есть из первого номера первой гостиницы; в № 2 — из (1; 2), то есть из второго номера первой гостиницы; в № 3 — из (2; 2) — второго номера второй гостиницы и в № 4 — из (2; 1) — первого номера второй гостиницы. Тем самым будут расселены жильцы из верхнего левого квадрата
со стороной 2. После этого в № 5 поселяем жильца из (1; 3), в № 6 — из (2; 3), в № 7 — из (3; 3), в № 8 — из (3; 2), в № 9 — из (3; 1). (Эти номера образуют квадрат со стороной 3.)
И, взяв листок бумаги, он набросал на нем следующую схему расселения:
— Неужели для всех хватит места? — усомнился директор.
— Конечно. Ведь в первые n^2 номеров мы поселяем при этой схеме жильцов из первых n номеров первых n гостиниц. Поэтому рано или поздно каждый жилец получит номер. Например, если это жилец из № 136 гостиницы № 217, то он получит номер на 217-м шаге. Легко даже сосчитать этот номер. Он равен 217^2 − 136 + 1. Вообще,
если жилец занимает номер n в m-й гостинице, то при n >m он займет номер (n−1)^2+m, а при n<m — номер m^2−n+1.
Предложенный проект и был признан наилучшим — все жители из всех гостиниц были поселены в нашей гостинице, и ни один ее номер не пустовал. Математику-филателисту досталась премия — туристическая путевка в галактику ЛЦР-287.
В честь столь удачного размещения директор гостиницы устроил прием, на который пригласил всех ее жильцов. Этот прием также не обошелся без осложнений. Обитатели комнат с четными номерами задержались на полчаса, и, когда они появились, оказалось, что все стулья заняты, хотя гостеприимный хозяин поставил по стулу на каждого гостя. Пришлось подождать, пока все пересели на новые места и освободили необходимое количество стульев (разумеется, ни одного нового стула в зал не внесли). Зато когда стали подавать мороженое, то каждый гость получил по две порции, хотя повар заготовил в точности по одной порции на гостя. Надеюсь, что теперь читатель сам поймет, как все это случилось.
После конца приема я сел в свою фотонную ракету и полетел на Землю. Мне нужно было рассказать всем земным космонавтам о новом пристанище в космосе. Кроме того, я хотел проконсультироваться с виднейшими математиками Земли и моим другом профессором Тарантогой о свойствах бесконечных множеств.
-
-
21.12.2007 в 15:49СУПЕР!
Спасибо большое!!!
Это чье?
-
-
21.12.2007 в 19:54-
-
21.12.2007 в 19:57Я еще один способ расселения придумала, пока не дочитала, — но его, конечно, красивее оказался...
Мой-то одномерный...
-
-
21.12.2007 в 20:36-
-
21.12.2007 в 20:38-
-
21.12.2007 в 21:15-
-
23.12.2007 в 04:51