Простыми словами
Никак не дойду до описания парадокса Рассела, хотя, казалось бы, все предпосылки уже налицо.
Но всё-таки придется сначала чуть-чуть остановиться на истории. Иначе не будет очевидным весь драматизм ситуации: парадокс Рассела у многих ученых выбил твердую почву из-под ног. Некоторые после этого так и не смогли оправиться от депрессии...
***
Все мы привыкли со школьных лет пользоваться привычными математическими обозначениями и нотациями. И нам кажется (мне, во всяком случае, казалось) что так было если не "всегда", то очень и очень долго.
Однако же нет!
Вплоть до конца XIX века, к примеру, арифметика не была формализована (что уж говорить про другие разделы математики!).
Только на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков итальянский математик Джузеппе Пеано предложил систему аксиом, определяющих натуральный ряд.
Только с помощью аксиом Пеано стало возможным формализовать арифметику.
И только после их введения у математиков появился инструмент для доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также возможность использовать целые числа для построения чисел рациональных и вещественных.
Джузеппе Пеано
Вот как выглядят аксиомы Пеано в словесной форме:
1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Конечно же, существует и их формулировка в математическом виде, но здесь я ее приводить не буду.
*На самом деле когда-то очень давно меня сразило теоретико-множественное определение натуральных чисел: определение через ординальные числа.
Когда я впервые его прочитала, мне казалось, что просто мир переворачивается.... Казалось бы самое простое, что есть в математике, имеет такое двойное дно, такие бездонные глубины, что просто руки опускаются, и сознание отказывается с этим хоть как-то мириться.
Если интересно, то очень кратко можно посмотреть в Википедии:
Здесь я пишу про аксиоматику Пеано с тем чтобы плавно перейти к наивной теории множеств Георга Кантора, чтобы затем написать как с ней разделался Бертран Рассел. Человек с абсолютно холодным сердцем и очень живым умом.
Но всё-таки придется сначала чуть-чуть остановиться на истории. Иначе не будет очевидным весь драматизм ситуации: парадокс Рассела у многих ученых выбил твердую почву из-под ног. Некоторые после этого так и не смогли оправиться от депрессии...
***
Все мы привыкли со школьных лет пользоваться привычными математическими обозначениями и нотациями. И нам кажется (мне, во всяком случае, казалось) что так было если не "всегда", то очень и очень долго.
Однако же нет!
Вплоть до конца XIX века, к примеру, арифметика не была формализована (что уж говорить про другие разделы математики!).
Только на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков итальянский математик Джузеппе Пеано предложил систему аксиом, определяющих натуральный ряд.
Только с помощью аксиом Пеано стало возможным формализовать арифметику.
И только после их введения у математиков появился инструмент для доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также возможность использовать целые числа для построения чисел рациональных и вещественных.
Джузеппе Пеано
Вот как выглядят аксиомы Пеано в словесной форме:
1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Конечно же, существует и их формулировка в математическом виде, но здесь я ее приводить не буду.
*На самом деле когда-то очень давно меня сразило теоретико-множественное определение натуральных чисел: определение через ординальные числа.
Когда я впервые его прочитала, мне казалось, что просто мир переворачивается.... Казалось бы самое простое, что есть в математике, имеет такое двойное дно, такие бездонные глубины, что просто руки опускаются, и сознание отказывается с этим хоть как-то мириться.
Если интересно, то очень кратко можно посмотреть в Википедии:
Здесь я пишу про аксиоматику Пеано с тем чтобы плавно перейти к наивной теории множеств Георга Кантора, чтобы затем написать как с ней разделался Бертран Рассел. Человек с абсолютно холодным сердцем и очень живым умом.
-
-
20.01.2008 в 20:34А вот про ординальные числа я ничего не знаю
И даже боюсь узнавать))). Мне кажется, что это так сложно
-
-
20.01.2008 в 21:30А во времена Пеано и отродясь ничего такого не было!
Я видела оригинальную нотацию: там такие значки и закорючки, что понять ничего просто невозможно!
Не представляю, как люди в те времена занимались математикой!
Тут мозги закипают от одного "содержания", а тогда еще и с самой "формой" пойди разберись!
А я вот всё никак не
отважусьудосужусь почитать, чем ординалы отличаются от кардиналов, и наоборот: что у них общего. Что-то как-то руки не доходят! А знать надо! Да и интересно!Чувствую, придется пост про них писать ))))
А вот определение натуральных чисел через ординалы... Я даже не помню, в какой книге я это прочла, но это была чуть не первая книга по математике, которую я читала "для себя" — уже после окончания университета. И думала, крышу мне снесет... После всего, чему нас научили: самые основания оказались совсем не такими... Не знакомыми и практически непостижимыми.... Жуть... )))
-
-
20.01.2008 в 21:48почитала про ординалы!
-
-
21.01.2008 в 00:27Я буду читать про ординалы и кардиналы только у тебя!!!!!!
Никуда в Инет не полезу
Мне нервы дороги
-
-
21.01.2008 в 10:06Мне нервы дороги
ты знаешь, и это правильно! )))
я вчера расстроилась немыслимо ((((
вот так вот хочешь почувствовать себя дурак-дураком — сходи на умный блог...
((((