Возможно кому-то покажется, что "кризис" — слишком сильно сказано, но определение это не моё.
Ниже под катом процитирую выдержки из "Исторического введения", данного в книге Френкеля и Бар-Хиллела "Основания теории множеств".
А вот моя преамбула (куда более наивная, чем наивная теория множеств).
Мне, как, наверное, многим, кто сталкивался с теорией множеств в рамках вузовской программы, всегда казалось, что это — устоявшаяся, так сказать, незыблемая, классическая область математики, (вполне возможно потому, что она очень широко используется практически везде и всюду)! И что так было если не всегда, то по крайней мере с очень давних пор.
Теория множеств казалась мне одной из самых стройных и красивых (и, следовательно, проверенных временем и надежных) математических теорий. Однако стоило копнуть немного глубже, как оказалось, во-первых, что не такая уж она и старая (скорее молодая), во-вторых, не такая уж и "классическая" (хотя за последние десятилетия мир, наверное перестал удивляться чему-то "неклассическому"), а в-третьих, в свое время она оказалась не побоюсь этого слова скандальной.
Та аксиоматическая теория, которую мы имеем на сегодняшний день, претерпела множество кардинальных пересмотров и метаморфоз, прежде чем стала тем, что теперь кажется само собой разумеющейся классикой, покрывшейся не одним слоем патины...
Почти цитата (кое-где я позволила себе небольшие вольности)Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 году и постепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов.
Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в анализе и геометрии.
Но в тот самый момент, когда смелое видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда его результаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся с первой из антиномий теории множеств. Это произошло в 1895 г. Хотя Кантор не был способен в то время предложить разрешение этой антиномии, ситуация не казалась слишком серьезной: эта первая антиномия возникала в довольно специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и, вероятно, была надежда, что легкий пересмотр доказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как это не раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах.
Этому оптимизму был, однако, нанесен решительный удар. В 1902 г. Бертран Рассел поразил философов и математиков, указав антиномию, относящуюся к самым началам теории множеств и показывающую, что в основаниях этой дисциплины что-то неблагополучно. Но антиномия Рассела потрясла основы не только теории множеств: в опасности оказалась и сама логика. Требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести антиномию Рассела в противоречие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основных логических понятий.
Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарном уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых "точных" наук — логики и математики.
Парадокс Рассела явился истинным потрясением для тех немногих мыслителей, которые занимались проблемами обоснования (логики и математики) на рубеже XIX и XX столетий.
Рихард Дедекинд в своих глубоких исследованиях о природе и назначении чисел положил в основу арифметики отношение принадлежности — его метод “цепей” может даже быть взят за основу в теории вполне упорядоченных множеств — и использовал понятие множества в его полном канторовском смысле для доказательства существования бесконечных множеств. Вследствие удара, нанесенного ему антиномией Рассела, Дедекинд на некоторое время приостановил публикацию своих исследований, основу которых он счел расшатанной.
Еще более трагичной была судьба Готлоба Фреге: он как раз только что закончил после десятилетий напряженной работы свой главный труд ("Основные Законы арифметики"), когда Рассел сообщил ему о своем открытии. В первой же фразе послесловия Фреге отмечает, что фундамент его здания поколеблен Расселом.
Нет ничего удивительного в том, что многие математики, только-только начавшие воспринимать теорию множеств как полноправного члена сообщества математических наук, изменили свою позицию. Типичный пример этой перемены — Пуанкаре, один из ведущих математиков того времени, до этого сам содействовавший пропаганде и распространению идей теории множеств. В течение ряда лет после 1902 г. его отношение к мерам, предлагавшимся Расселом для реабилитации теории множеств, было неизменно насмешливым.
Надо сказать, что сам Кантор ни на минуту не терял веры в свою теорию в ее полном "наивном" объеме, хотя и оказался не в состоянии ответить на вызов, брошенный ему антиномией Рассела. Другие ученые заявляли, что нечего особенно волноваться по поводу этой и других антиномий, и, проводя различие между "канторизмом" и "расселизмом", предостерегали против приписывания "искусственно построенным" антиномиям сколько-нибудь решающего значения. Трудно, однако, отстаивать эту позицию.
Хорошо известно, что во всей математике — и в других науках — изучение самых общих, во всей их неограниченной общности, понятий часто оказывалось чрезвычайно ценным для развития науки. Наивно думать, что трудности можно преодолеть, просто избегая рассмотрения общего случая. Наконец, резко разграничивать математику (которая сама по себе, конечно, хороша!) и логику (которой каждый здравомыслящий математик должен ради блага своей души избегать) по меньшей мере бесполезно: математика постоянно использует логику, хотя это использование зачастую замаскировано и явно не учитывается; если же кто-либо хочет ограничить это применение, то такие ограничения следовало бы не затемнять, а явно и четко формулировать.
Верно, что область собственно математических рассуждений как в анализе, так и в геометрии не затрагивается непосредственно действием парадоксов. Парадоксы возникают главным образом в области крайних обобщений, за пределами фактического применения понятий геометрии и анализа. Принять меры к тому, чтобы избежать этой опасной области, в общем нетрудно. Это и есть главная причина того, что многие математики так быстро оправились после первого шока, вызванного открытием антиномий. Тот факт, что многие предпочитали говорить не о противоречиях, а о парадоксах свидетельствует о том, что в глубине души большинство современных математиков не хотели быть изгнанными из рая, в который их ввели открытия Кантора.
Как бы то ни было, и сегодня нельзя недооценивать психологического эффекта, производимого антиномиями на многих математиков. В 1946 г., спустя почти полстолетия после того, как антиномия Рассела повергла в отчаяние Дедекинда и Фреге, один из выдающихся ученых (Герман Вейль) сделал следующее признание:
"Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных основах (логики и) математики. Как все и вся в мире сегодня, мы переживаем “кризис”. Он продолжается уже почти пятьдесят лет. На первый взгляд, он не мешает нашей ежедневной работе; однако я могу признаться, что на самом деле он оказал сильное влияние на мою математическую деятельность: он направлял мои интересы в область, казавшуюся мне относительно “безопасной”, и постоянно подрывал во мне энтузиазм и решимость, необходимые для всякой исследовательской работы."