Кросспостинг из lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?t=11564&posto...
Автор популярно объясняет, что такое изоморфизм довольно интересным способом.
Вот есть толпа людей на улице. Некоторых я знаю по именам: это Вася, Петя, Маша и т. д. Некоторых не знаю, они для меня просто человеки.
А теперь мне вдруг захотелось поизвращаться. Я могу сделать две вещи.
1) Переобозвать людей. Скажем, начну называть Петю Машей, а Машу --- Петей. Сами люди при этом остаются теми же и делают то же самое, что и делали раньше. Меняются только имена, которые я им даю.
2) Имена я могу оставить прежними, а вместо этого заставлю одних людей исполнять функции других людей. Скажем, Петя до моего вмешательства шёл в магазин за кефиром, а Вася --- на свидание к Маше. И тут я подойду, наставлю на Машу заряженный револьвер и скажу ей: "Иди ты теперь в магазин за кефиром, а то убью". А потом наставлю револьвер на Петю и заставлю его целоваться с Васей вместо Маши. Револьвер --- серьёзный аргумент, так что они, скорее всего, меня послушают.
Эти два случая совершенно различны. Одно дело --- поменять имена элементов, а другое дело --- изменить их свойства. Думаю, для Васи разница очевидна. Если спросить у него, каким способом мне лучше сходить с ума, он тут же скажет: "Конечно первым! Ради Бога, называй Петю Машей, если тебе так хочется, но только не заставляй меня с ним целоваться!"
А теперь --- внимание: изоморфизм. Это совсем-совсем третье...
Вот предположим, что я, ничего не делая с людьми, просто пишу с натуры картину жизни общества. Сижу и записываю в тетрадочку: Петя пошёл в магазин, у Маши с Васей свидание... Записал, отложил тетрадочку. Потом поизвращался над людьми сразу обоими способами. То есть сначала назвал Петю Машей и наоборот, а потом ещё вдобавок подошёл к ним с револьвером и заставил поменятся ролями. Потом достал новыю тетрадочку и опять начал всё записывать. Записал, поставил точку, достал первою тетрадочку и сравнил, что написано там и там. И тут вдруг обнаружилась удивительная вещь: текст в обоих тетрадях оказался идентичен!
Это вовсе не значит, что идентичными были ситуации. Первый раз Васе приятно было целоваться, а второй раз нет. Если бы я был телепатом и записывал мысли Васи, то и тексты бы у меня тогда различались. Но я описывал лишь внешнюю сторону событий, а она оказалась одинакова. Структура общества в том виде, как она была наблюдаема со стороны, была одной и той же: субъект по имени "Петя" шёл за кефиром, субъекты "Вася" и "Маша" проводили время вместе. Ситуации, как сказал бы математик, были "изоморфными".
Изоморфизм --- это не что иное, как совпадение форм (залезьте в этимологический словарь и попробуйте перевести это слово с греческого) Изоморфны, например, два кубика, один из которых железный, а другой пластилиновый. При этом кубики различны: различие можно легко пощупать рукой. Но для геометра они одинаковы, поскольку материал его не интересует. Изоморфны ключи, открывающие один и тот же замок, несмотря на то, что в комплекте их может быть несколько. Изоморфны векторные пространства одинаковой размерности, изоморфны все счётные плотные линейные порядки без концов... Если мы берём группу перестановок трёх яблок и группу перестановок трёх груш, то эти группы тоже изоморфны, ибо у них одинаковая групповая структура (а какие мы там фрукты переставляем, для математика неважно).
Существует теорема о том, что "числовых структур" с точностью до изоморфизма всего пять. Это очень глубокая теорема: она говорит о том, что возможны всего лишь пять форм таких структур и не более. Самих-то структур, понятно, можно наляпать сколько угодно. Они будут состоять из разного материала, иметь разные носители или даже один и тот же носитель, но с различными интерпретациями "функций" и "имён", однако... если мы сядем и будем записывать в тетрадочку их наблюдаемые свойства (aka доказывать про них теоремы), то, как оказывается, можно создать всего лишь пять таких описаний!
Автор популярно объясняет, что такое изоморфизм довольно интересным способом.
Вот есть толпа людей на улице. Некоторых я знаю по именам: это Вася, Петя, Маша и т. д. Некоторых не знаю, они для меня просто человеки.
А теперь мне вдруг захотелось поизвращаться. Я могу сделать две вещи.
1) Переобозвать людей. Скажем, начну называть Петю Машей, а Машу --- Петей. Сами люди при этом остаются теми же и делают то же самое, что и делали раньше. Меняются только имена, которые я им даю.
2) Имена я могу оставить прежними, а вместо этого заставлю одних людей исполнять функции других людей. Скажем, Петя до моего вмешательства шёл в магазин за кефиром, а Вася --- на свидание к Маше. И тут я подойду, наставлю на Машу заряженный револьвер и скажу ей: "Иди ты теперь в магазин за кефиром, а то убью". А потом наставлю револьвер на Петю и заставлю его целоваться с Васей вместо Маши. Револьвер --- серьёзный аргумент, так что они, скорее всего, меня послушают.
Эти два случая совершенно различны. Одно дело --- поменять имена элементов, а другое дело --- изменить их свойства. Думаю, для Васи разница очевидна. Если спросить у него, каким способом мне лучше сходить с ума, он тут же скажет: "Конечно первым! Ради Бога, называй Петю Машей, если тебе так хочется, но только не заставляй меня с ним целоваться!"
А теперь --- внимание: изоморфизм. Это совсем-совсем третье...
Вот предположим, что я, ничего не делая с людьми, просто пишу с натуры картину жизни общества. Сижу и записываю в тетрадочку: Петя пошёл в магазин, у Маши с Васей свидание... Записал, отложил тетрадочку. Потом поизвращался над людьми сразу обоими способами. То есть сначала назвал Петю Машей и наоборот, а потом ещё вдобавок подошёл к ним с револьвером и заставил поменятся ролями. Потом достал новыю тетрадочку и опять начал всё записывать. Записал, поставил точку, достал первою тетрадочку и сравнил, что написано там и там. И тут вдруг обнаружилась удивительная вещь: текст в обоих тетрадях оказался идентичен!
Это вовсе не значит, что идентичными были ситуации. Первый раз Васе приятно было целоваться, а второй раз нет. Если бы я был телепатом и записывал мысли Васи, то и тексты бы у меня тогда различались. Но я описывал лишь внешнюю сторону событий, а она оказалась одинакова. Структура общества в том виде, как она была наблюдаема со стороны, была одной и той же: субъект по имени "Петя" шёл за кефиром, субъекты "Вася" и "Маша" проводили время вместе. Ситуации, как сказал бы математик, были "изоморфными".
Изоморфизм --- это не что иное, как совпадение форм (залезьте в этимологический словарь и попробуйте перевести это слово с греческого) Изоморфны, например, два кубика, один из которых железный, а другой пластилиновый. При этом кубики различны: различие можно легко пощупать рукой. Но для геометра они одинаковы, поскольку материал его не интересует. Изоморфны ключи, открывающие один и тот же замок, несмотря на то, что в комплекте их может быть несколько. Изоморфны векторные пространства одинаковой размерности, изоморфны все счётные плотные линейные порядки без концов... Если мы берём группу перестановок трёх яблок и группу перестановок трёх груш, то эти группы тоже изоморфны, ибо у них одинаковая групповая структура (а какие мы там фрукты переставляем, для математика неважно).
Существует теорема о том, что "числовых структур" с точностью до изоморфизма всего пять. Это очень глубокая теорема: она говорит о том, что возможны всего лишь пять форм таких структур и не более. Самих-то структур, понятно, можно наляпать сколько угодно. Они будут состоять из разного материала, иметь разные носители или даже один и тот же носитель, но с различными интерпретациями "функций" и "имён", однако... если мы сядем и будем записывать в тетрадочку их наблюдаемые свойства (aka доказывать про них теоремы), то, как оказывается, можно создать всего лишь пять таких описаний!
-
-
24.01.2008 в 10:35Класс!!!
)))
Спасибо!
В самом деле интересно. Хотя и жестоко )))
Вопросы можно?
1) Не спрашиваю, "почему" структур всего 5. Спрашиваю только: какие это структуры?
Типа, поля, кольца, группы, etc., или тут что-то другое имеется в виду?
2) Изоморфизм геометрических фигур подразумевает только сдвиг или еще и отображение сжатия-растяжения? Т.е. любые ли (предположим) равносторонние треугольники изоморфны или только равные, но названные по-разному и находящиеся в разных областях плоскости?
3) Аффинное преобразование является изоморфизмом? (глупый вопрос, но мне очень надо!))))
-
-
24.01.2008 в 11:57Вопросы лучше на мехмате.
Сам изучал изоморфизм только на примере групп и знаю только теорему Кэли - Всякая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок.
А второй и третий вопросы - про топологию.
-
-
24.01.2008 в 12:04На мехмат с такими вопросами лучше не соваться ((((
Я нашла кое-что.
Впала в уныние от своего невежества...
ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраические_структуры
-
-
24.01.2008 в 12:14-
-
24.01.2008 в 12:43Но Постникова, думаю, найти несложно.
Я просто читаю сейчас Кроновера: "Фракталы и хаос в динамических системах".
www.koob.ru/crownover/fraktaly_i_haos
И что-то мне не нравится, что он пишет про аффинные преобразования. Кажется мне, что не тому нас учили.... Вот хочу что-нибудь классическое посмотреть.
-
-
25.01.2008 в 17:55Класс!
О числовых структурах (Т. Фробениуса)
Мне известно, что1) всякая коммутативная ассоциативная алгебра с делением над полем R ранга 1 изоморфна R
2)всякая коммутатитвная ассоциативная алгебра с делением над полем R ранга 2 изозморфна С
Алгебры ранга 3 не существует
3) потом там идет про алгебру ранга 4 (уже не коммутаативная) над полем R - она изоморфна кватернионам
4) восьмимерная алгебра, где жертвуется уже асоциативность, - -алгебра Кэли
(это все относится к гиперкомплексным числам)
Это то?
А еще можно выстраивать N=>Z=>Q=>R=>C
-
-
25.01.2008 в 21:27в той ссылке на Википедию, что я дала выше, всё не так расписано...
Там получается так, что алгебра (алгебры) — это одна из пяти структур (если только меня совсем не переклинило...)
Но может там вообще речь не об этом? может это и правда о
N=>Z=>Q=>R=>C
???