Простыми словами
Начну сейчас писать про ординальные числа.
Сначала подведу некоторый итог нашим знаниям о числах кардинальных. Что мы о них знаем? Для обозначения мощности (то есть "количества элементов") бесконечных множеств Георг Кантор ввел так называемые трансфинитные числа.
Обозначение этих кардинальных чисел, которым мы пользуемся по сей день, придумал сам Кантор. Он обозначал их в виде буквы א (алеф) — первой буквы еврейского алфавита.
Как я уже говорила раньше, мощность счётного множества равна א0.
Везде где алефы с индексами, сперва идет алеф, а за ним 0 или 1 (т.е. алеф0, алеф1). Просто этот алфавит хочет писаться только справа налево((( Замучилась, но не могу исправить ))))
Множества N (натуральных чисел), Z (целых чисел) и даже Q (рациональных чисел, — чисел, которые можно представить в виде обыкновенных дробей) являются счетными.
Следом за א0 идет א1 — мощность континуума. Это мощность множества действительных чисел (рациональных+иррациональных), а также мощность любого отрезка действительной оси.
Как было показано, множество точек плоскости (хотя на вид ГОРАЗДО больше, чем множество точек прямой) тоже имеет мощность א1.
Но есть и следующие алефы, и число их бесконечно.
Однако исторически сложилось так, что первыми трансфинитными числами стали не кардинальные, а ординальные числа.
Чтобы ввести определение ординального числа, нужно сначала разобраться, что такое вполне упорядоченное множество.
Вполне упорядоченное множество — это множество, на котором:
1) задано отношение порядка, причем
2) этот порядок линеен, и кроме того,
3) в этом множестве есть наименьший элемент.
Объясняю всё по порядку (простите за каламбур).
1) Отношение порядка — это с формальной точки зрения такое отношение, которое позволяет:
а) сравнить каждый элемент множества с самим собой (свойство рефлексивности);
б) утверждать, что если порядок таков, что элемент а предшествует b, а b предшествует с, то а тем более предшествует с (свойство транзитивности);
в) утверждать, что два условия:
1) элемент а предшествует b и 2) элемент b предшествует а
выполняются одновременно тогда и только тогда, когда а=b (свойство антисимметричности).
То есть отношение порядка это и есть "порядок" )))
Если выстроить всех людей по росту — это будет отношением порядка.
2) линейный порядок означает, что любые два элемента множества сравнимы: для любых а и b: либо а предшествует b либо b предшествует а! Не может быть такого, что мы не знаем как их соотнести! То есть если мы строим людей по росту, нам ни в коем случае нельзя, чтобы каких-то двух и более человек мы не могли бы расставить! Т.е. сказать: ваш рост равен, внутри вашей группы становитесь, как хотите! Нет! Будем измерять их с точностью до микронов, но расставим строго одного за другим и не позволим меняться местами!
3) существование наименьшего элемента. Ну, с людьми как раз всё просто. Человек с наименьшим ростом имеется по определению. А вот с другими множествами — не факт. Множество целых чисел казалось бы прекрасно упорядочено: для каждой пары чисел можно сказать какое больше, а какое меньше! Но оно не является вполне упорядоченным, потому что не имеет наименьшего элемента!
Зато прекрасный образчик вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел.
И вот теперь перехожу к финальной части: оказывается, для каждого вполне упорядоченного (не более чем счетного) множества существует изоморфизм (вспомните кросспост Trotil'а) в множество натуральных чисел.
В нашем случае изоморфизм — это взаимно однозначное отображение, сохраняющее линейный порядок.
В примере с людьми это означает, что людей, выстроенных по росту, можно пронумеровать. Первым будет наименьший человек, за ним второй, и т.д....
Но людей хоть и много, однако их число всё равно конечно.
Для любого вполне упорядоченного бесконечного множества точно так же имеется нумерация элементов, соответствующая заданному отношению полного порядка!
Всё это может скучновато и просто... Однако дальше начнется самое интересное! )))
Сначала подведу некоторый итог нашим знаниям о числах кардинальных. Что мы о них знаем? Для обозначения мощности (то есть "количества элементов") бесконечных множеств Георг Кантор ввел так называемые трансфинитные числа.
Обозначение этих кардинальных чисел, которым мы пользуемся по сей день, придумал сам Кантор. Он обозначал их в виде буквы א (алеф) — первой буквы еврейского алфавита.
Как я уже говорила раньше, мощность счётного множества равна א0.
Везде где алефы с индексами, сперва идет алеф, а за ним 0 или 1 (т.е. алеф0, алеф1). Просто этот алфавит хочет писаться только справа налево((( Замучилась, но не могу исправить ))))
Множества N (натуральных чисел), Z (целых чисел) и даже Q (рациональных чисел, — чисел, которые можно представить в виде обыкновенных дробей) являются счетными.
Следом за א0 идет א1 — мощность континуума. Это мощность множества действительных чисел (рациональных+иррациональных), а также мощность любого отрезка действительной оси.
Как было показано, множество точек плоскости (хотя на вид ГОРАЗДО больше, чем множество точек прямой) тоже имеет мощность א1.
Но есть и следующие алефы, и число их бесконечно.
Однако исторически сложилось так, что первыми трансфинитными числами стали не кардинальные, а ординальные числа.
Чтобы ввести определение ординального числа, нужно сначала разобраться, что такое вполне упорядоченное множество.
Вполне упорядоченное множество — это множество, на котором:
1) задано отношение порядка, причем
2) этот порядок линеен, и кроме того,
3) в этом множестве есть наименьший элемент.
Объясняю всё по порядку (простите за каламбур).
1) Отношение порядка — это с формальной точки зрения такое отношение, которое позволяет:
а) сравнить каждый элемент множества с самим собой (свойство рефлексивности);
б) утверждать, что если порядок таков, что элемент а предшествует b, а b предшествует с, то а тем более предшествует с (свойство транзитивности);
в) утверждать, что два условия:
1) элемент а предшествует b и 2) элемент b предшествует а
выполняются одновременно тогда и только тогда, когда а=b (свойство антисимметричности).
То есть отношение порядка это и есть "порядок" )))
Если выстроить всех людей по росту — это будет отношением порядка.
2) линейный порядок означает, что любые два элемента множества сравнимы: для любых а и b: либо а предшествует b либо b предшествует а! Не может быть такого, что мы не знаем как их соотнести! То есть если мы строим людей по росту, нам ни в коем случае нельзя, чтобы каких-то двух и более человек мы не могли бы расставить! Т.е. сказать: ваш рост равен, внутри вашей группы становитесь, как хотите! Нет! Будем измерять их с точностью до микронов, но расставим строго одного за другим и не позволим меняться местами!
3) существование наименьшего элемента. Ну, с людьми как раз всё просто. Человек с наименьшим ростом имеется по определению. А вот с другими множествами — не факт. Множество целых чисел казалось бы прекрасно упорядочено: для каждой пары чисел можно сказать какое больше, а какое меньше! Но оно не является вполне упорядоченным, потому что не имеет наименьшего элемента!
Зато прекрасный образчик вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел.
И вот теперь перехожу к финальной части: оказывается, для каждого вполне упорядоченного (не более чем счетного) множества существует изоморфизм (вспомните кросспост Trotil'а) в множество натуральных чисел.
В нашем случае изоморфизм — это взаимно однозначное отображение, сохраняющее линейный порядок.
В примере с людьми это означает, что людей, выстроенных по росту, можно пронумеровать. Первым будет наименьший человек, за ним второй, и т.д....
Но людей хоть и много, однако их число всё равно конечно.
Для любого вполне упорядоченного бесконечного множества точно так же имеется нумерация элементов, соответствующая заданному отношению полного порядка!
Всё это может скучновато и просто... Однако дальше начнется самое интересное! )))