Ординалы и кардиналы III

[Amicus Plato]

Выстроим цепочку ординальных чисел:
0 → ∅ (пустое множество)
1 → {1}
2 → {1, 2}
3 → {1, 2, 3}
4 → {1, 2, 3, 4}
5 → {1, 2, 3, 4, 5}
6 → {1, 2, 3, 4, 5, 6}
...
Можем ли мы построить такое число, которое соответствовало бы множеству всех натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}?
Наибольшего ординального числа, ассоциированного с последовательностью конечных множеств просто не существует, как не существует и наибольшего натурального числа.
Но так же, как мы вводим понятие бесконечности: ∞, мы определим новое, трансфинитное ординальное число ω (омега) как первое число, следующее за всей последовательностью ординальных чисел чисел 1, 2, 3, ... .

ω → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Омега является порядковым типом множества всех натуральных чисел.

А теперь сделаем вот такой хитрый ход...

А теперь сделаем вот такой хитрый ход: возьмем и перенесем единичку в самый конец, после многоточия (когда все натуральные числа мы уже перечислили). Вот так:

{2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1}

Сначала заметим, что у множества без единички на конце: {2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} ординальное число ω, потому это множество изоморфно всему натуральному ряду:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
_↑_↑_↑_↑_↑_ ↑_↑
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Множество же {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1} натуральному ряду не изоморфно, потому что для последней единички (наибольшего элемента множества) в натуральном ряду нет соответствующего элемента.

Этому множеству (также вполне упорядоченному, только порядок мы слегка поменяли) будет соответствовать ординальное число ω+1, потому что "после всего" у нас стоит еще один элемент!

ω+1 → {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1}

Эту цепочку нетрудно продолжить:

ω+2 → {3, 4, 5, 6, 7, ..., 1, 2}
ω+3 → {4, 5, 6, 7, ..., 1, 2, 3}
...

И снова сделаем хитрый ход: вспомним, что натуральный ряд состоит из четных и нечетных чисел, и что мощность натурального ряда, множества четных чисел и множества нечетных чисел одинаковы и равны алеф₀
Оставим впереди все нечетные числа, а все четные числа перенесем за многоточие:

{1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6,.... }

Это множество вполне упорядочено. Первой его части (включая первое многоточие) соответствует ординал ω, и второй части — тоже ω!
Значит, это можно записать в следующем виде:

ω+ω = 2ω → {1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6,.... }

Я пишу так подробно (может и зря) потому, что все эти переходы в более-менее серьезной литературе пропускаются, и от этого остается чувство, что где-то тебя глубоко надули! Ловкость рук и никакого мошенничества! Трудно поверить, что всё по-честному! Мне, во всяком случае, — трудно!

Следом за 2ω цепочка строится дальше:

2ω+1 → {3, 5, 7, ... , 2, 4, 6,....,1}
2ω+2 → {3, 5, 7, ... , 4, 6,....,1, 2}

Если мы поделим теперь натуральный ряд не на два бесконечных подмножества: четные-нечетные числа, а на три — по остатку от деления на три: 0, 1 или 2, получим:

ω+ω+ω = 3ω → {3, 6, 9, ... , 1, 4, 7,...., 2, 5, 8,... }

Продолжая дробить натуральный ряд, можем получить:
3ω+1
3ω+2
...
3ω+ω=4ω
...
ω ⋅ ω = ω²
ω²+1
...
ω²+ω
...
ω²+ω+1
...
ω²+2ω
...
ω²+ω ⋅ ω = 2ω²
2ω²+1
...
ω² ⋅ ω =ω³
...
ω^ω
...
Дальше у нас получится:
ω^ω в степени ω
...
ω^ω в степени ω в степени ω
...
ω^ω в степени ω в степени ω в степени ω........
...
И все эти ординальные числа получаются для множеств, по-разному составленных из одного и того же множества натуральных чисел!

Всё это бесконечное число ординалов соответствует одному единственному кардиналу: алеф-ноль!

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

Comments

[Диана Шипилова]

Клево! А я про ординальные числа и не знала! То есть встречались определения, конечно, но вот так подробно ни разу не попадалось — гораздо понятнее стало!

[Amicus Plato]

Диана Шипилова
Я и сама не знала.
Какое-то на юге России кривое математической образование ))))
У нас с тобой пробелы одинаковые ))))
Мне просто всю жизнь это было интересно, а вот руки дошли разобраться только недавно.

[Диана Шипилова]

Amicus Plato
Так это обязательная программа в вузах, по идее? Ууу, удоды — такого не рассказывали!!

[Amicus Plato]

Диана Шипилова
насчет обязательной программы я не знаю (((
Но у нас вообще теория множеств в рамках дискретной математики сверкнула кометой и унеслась (((
мы ее почти совсем не изучали...
Хотя на ней считай вся математика держится

[Диана Шипилова]

Но у нас вообще теория множеств в рамках дискретной математики сверкнула кометой и унеслась (((

У нас тоже
Ничего, как-нибудь внимательно прочитаю все сообщество!))

[Amicus Plato]

Диана Шипилова

Бедная... ))))
Могу тебе свои научные штудии дать почитать, если тебе совсем уж нечего...

[Диана Шипилова]

Amicus Plato
А там про что? Цепи Маркова я, боюсь, не осилю... Мы случайные процессы проходили галопом по Европам, вообще ничего в голове не осталось(( Я когда читала рассуждения Лема об эволюции, думала, у меня закипит мозг...

[Amicus Plato]

Диана Шипилова
Там про ассоциативную память.
Цепи Маркова я читаю только для того, чтобы аргументированно говорить, что у меня с ними нет ничего общего

[Диана Шипилова]

Amicus Plato
А как ты думаешь, я пойму? Если да, то интересно было бы почитать))

[Amicus Plato]

Диана Шипилова
Ты меня конечно извини, но вот это:

А как ты думаешь, я пойму?

чистое кокетство )))
Я таких умных людей как ты знаю меньше чем пальцев на руке!

[Диана Шипилова]

Amicus Plato
Это ты просто знаешь меня с... эээ... умной стороны!)) А в сообществе сегодня я тупила ужасно! Можешь посмотреть — пост про дисперсию, я до сих пор не поняла, в чем там дело, а true-devil нету...

[Amicus Plato]

Диана Шипилова
Ок, сейчас гляну. Только я не великий специалист в этом...

[Amicus Plato]

О, нет!
Я, пожалуй, припасну!
У нас сейчас градусов сорок в тени, и чего-то мозги не шевелятся... Хотя я сомневаюсь, что и в нормальном климате такое решила))))

[Диана Шипилова]

Amicus Plato
У нас тоже ужасно жарко))

[Amicus Plato]

У меня есть презенташка, с которой я в Дубне выступала. Но она весит почти 6 метров даже после упаковки (((
Хотела тебе прислать, да засовестилась ))))

[Диана Шипилова]

Amicus Plato
Тогда лично отдашь, ладно?)))

[Amicus Plato]

Диана Шипилова

Ты приезжай!
А там смотри! Я ведь и продекламировать могу ))))))

[Диана Шипилова]

Amicus Plato
Я уже с нетерпением жду встречи!!!)))

[infoliokrat]

А теперь сделаем вот такой хитрый ход: возьмем и перенесем единичку в самый конец, после многоточия (когда все натуральные числа мы уже перечислили). Вот так:
{2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1}
Однако, это существенный ход для т.н. 1математики (см. соответствующее сообщество). Если не ошибаюсь, то способ кодирования любых чисел только одной цифрой (например ЕДИНИЧКОЙ) позволяет рассмотреть счётность континуума. (в диагональном методе Кантора нельзя будет составить ОТЛИЧНОЕ от других число), при этом понадобится всего-навсего предположить, что ординальные и кардинальные числа, т.е числа номера, числа количества- в некоторой 1математике - это натуральные. Любое число, в том числе и иррациональное, можно записать только 1цифрой? При этом "хитрость хода" примитивнее ещё, номером каждогочисла, которое меньше единицы но больше нуля, будем считать целое число, получающееся при записи всех-всех значащих цифр (например периодических дробей или дробной части иррационального числа) в обратном порядке. З павагай = уважением

[Amicus Plato]

infoliokrat
Честно говоря, я с 1математикой никогда не сталкивалась.

Если не ошибаюсь, то способ кодирования любых чисел только одной цифрой (например ЕДИНИЧКОЙ)

Т.е. вы имеете в виду унарную систему счисления?

При этом "хитрость хода" примитивнее ещё, номером каждогочисла, которое меньше единицы но больше нуля, будем считать целое число, получающееся при записи всех-всех значащих цифр (например периодических дробей или дробной части иррационального числа) в обратном порядке.

Вот это мне не совсем понятно. С рациональными числами всё нормально, а как можно записать бесконечную апериодическую дробь в обратном порядке?

[infoliokrat]

Вот это мне не совсем понятно. С рациональными числами всё нормально, а как можно записать бесконечную апериодическую дробь в обратном порядке?

Сначала- с Новым годом! Здоровья и настроения автору темы и читателям.
"Непонятность" эта возникла в 1992 г., после того, как будучи в командировке в Минске, работая в белорускоязычном текстовом редакторе RT для КУВТ "Корвет" (в котором уже тогда была буква ў, хотя на ПЭВМ IBM 386 отсутствовала), напечатал (надрукаваў на беларускай мове) произвольный текст - Можно ли сосчитать континуум? Кмн передал листок зав кафедры матанализа, тот дня через 3 сказал, нарушено элементарное правило и отправил в ИМ АН. Там, высокий (в очках) аспирант (приму курили), сразу заметил: натуральных чисел не бесконечность. (Это как предисловие). По сути вопроса ответ может быть трояким:
1)А как записывается ПОЛНОСТЬЮ число ПИ с десятичной запятой? Т.е., как записывают в десятичной системе счисления бесконечную апериодическую дробь НЕ в обратном порядке, а в ОБЫЧНОМ? (Разве последнюю цифру записывают?)
2) Количество (точнее множество) всех цифр в числе ПИ считается счётным, значит можно последовательно определять всё больше и больше цифр после запятой и записывать соответствующее количество единиц.
3) При таком способе записи (обозначения или кодирования) в виде "десятичной дроби" иррациональных или рациональных чисел различие между ними фактически теряется. Судите сами: например записи дробей с периодом 0,(01), с периодом 0,(10) и числа ПИ= 3,1415.... (На форуме dxdy пришли к выводу, что бесконечные периодические или апериодические дроби естественно запишутся бесконечными последовательностями единичек, причём, отличными друг от друга.
Предположение того, что
"номером каждогочисла, которое меньше единицы но больше нуля, будем считать целое число, получающееся при записи всех-всех значащих цифр (например периодических дробей или дробной части иррационального числа) в обратном порядке." основано на том, что даже в обычной математике одного конкретного числа бесконечное количество цифр считается счётным, а значащих- тем более!
Статья в ВИКИ Унарная система счисления появилась позже, и то, без пояснения, как записывать дроби только одной цифрой, без дробной черты. Так что факт, что с 1математикой не сталкивались, рассматриваю как +, т.е., что раньше её, в отличие от унарной системы, вообще не было.
З павагай

[infoliokrat]

Забыл упомянуть, что при обосновании инфолиократизации (взаимосвязи дискретного и непрерывного) и инфолиократной картины мира (инфолиократности) потребовалось записать инфолиофакториал и обратный факториал (для любого положительного числа- инфолиократную функцию, см. ВИКИ, обратный факториал, обсуждение), но это совсем другая история.
К слову, заглянул в цитатник, а там цитат пока нет. Какие именно они предполагались? Математические, афористические или юмористические? З павагай