Задача про Пифагора

[Amicus Plato]

Честно говоря, давно уже собиралась (и давно надо было) написать про древнегреческих математиков.
Сегодня напишу про Пифагора. Напишу совсем чуть-чуть, гораздо меньше, чем можно было бы рассказать об этом удивительном человеке!
Само Пифагорейское учение — вещь очень загадочная и неоднозначная!
Учение это было одновременно научным, мистическим, религиозным, и я бы сказала "музыкальным". Интересы пифагорейцев были очень и очень обширны.
В некоторых современных исследованиях пишут, что все открытия, приписываемые Пифагору, — не его! Точнее, НЕ ВСЕ — его. Что у пифагорейцев было принято, дабы не давать поводов для проявления гордыни, смирять все свои амбиции, и, соответственно, своими открытиями возвеличивать единого Пифагора, и более никого: все остальные — просто анонимы.
А вообще, заповеди у них были весьма чуднЫе; и самые главные, основные из них, — вовсе не касались занятий наукой)))) Они носили скорее суеверно-обрядовый характер: типа перво-наперво не есть бобов. Уж не помню, где я об этом читала.
Затем: мешать золу в печке, чтобы не оставлять след от горшка; начинать обуваться всегда с правой ноги, а мыть сначала левую... Ну, и т.д. Куча всяких приятностей.
Но учение Пифагора о числах!!! Это блеск, независимо от того, кто до этого додумался — Пифагор, или его подвижники — какая разница.

Теософия пифагорейцев тоже была удивительна. Они верили в переселение душ и в освобождение от колеса сансары (цепи перерождений) с помощью математики и музыки...

Но всё же, рассказывать о числах мне чуть более привычно. У пифагорейцев к числам отношение было более чем уважительное. Они придавали числам мистический смысл. Знаменитое Пифагорово изречение гласит: "ВСЕ ВЕЩИ СУТЬ ЧИСЛА".
Пифагор же придумал так называемые треугольные и прямоугольные числа. (Но об этом я расскажу уже в следующий раз).

Сегодня напишу только всем известную историю про "Пифагоровы штаны".

Пифагоровы штаны

Со школьных времен в нас сидит намертво: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".


a² + b² = c²

Однако же для Пифагора доказательство этой теоремы стало серьезнейшим ударом по всему его представлению о мироустройстве!
Бедный Пифагор! Как только он доказал эту теорему, полетели в тартарары все его теории о соизмеримости, сечениях, пропорциях, среднегармоническом и т.д. До этих самых пор он полагал, что геометрию можно описать арифметикой в ее тогдашнем виде. А оказалось — нет!
Даже такая простая вещь, как прямоугольный треугольник не может быть описана рациональными (соизмеримыми) числами!

Итак, несоизмеримость.
Это очень просто и очень красиво!

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник.
Такой, как я специально нарисовала на картинке. В нем a=b.
Тогда теорема перепишется в виде:
a² + а² = c²
или
2a² = c²

То есть квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату любого из катетов. Предположим, что каждый катет равен единице; какова в таком случае длина гипотенузы?



Про корень из двух и вообще про корни мы, естественно, ничего не знаем.

Допустим, что ее длину можно выразить в виде обыкновенной дроби: m/n.

Тогда квадрат этой гипотенузы равен m²/n², и все это равно двум, так как длины катетов — единицы, и, соответственно,

1² + 1² = 2 ⇒

m²/n² = 2 __________________________________________________ (1)

Если m и n имеют общий множитель, разделим их на него, и впредь будем считать, что m и n взаимно просты, то есть, общих множителей не имеют.
В таком случае по крайней мере или m, или n должно быть нечетным (если оба четные — значит, у них есть общий множитель двойка, а мы дробь уже сократили).

Из (1) вытекает:
m² = 2*n², ________________________________________________________ (2)
и, следовательно, m² — четное и, стало быть, m — четное, a n — нечетное.

В таком случае, если m — четное, запишем его в следующем виде: m = 2*р.
Тогда подставим в (2) вместо m — (2*р). После возведения в квадрат получим:

4*p²=2*n²;

сократим на два: n²=2*p², отсюда n — четное, что противоречит допущению.

Тогда, наше исходное предположение неверно!
Гипотенузу нельзя измерить дробным числом m/n!

Вот, без всяких корней, пришли к существованию иррациональных чисел!
Т.е. чисел, не представимых в виде обыкновенных дробей, и следовательно, в виде конечных или периодических десятичных дробей.
То есть, длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетом 1 — это бесконечная десятичная дробь, которую никогда нельзя вычислить точно.
Стало быть, в самом простецком треугольнике длины сторон несоизмеримы!

А ведь вся теория мироустройства Пифагора была завязана на гармонии и на соизмеримости!
И вдруг — нельзя точно найти отношение гипотенузы к катету!
Это, конечно, стало сильным ударом для учения...

Однако... На самом деле я хотела рассказать даже не об этом.
Пифагор — одна из самых легендарных личностей античного мира. А уж историй про пифагорейцев — вообще не счесть! Одна из историй (о становлении его учения) такова:
Пифагор с самого начала был довольно-таки экстравагантен в своих взглядах. Это хорошо для большого ученого, но плохо для ученого никому не известного. И сперва учение его отталкивало и шокировало. И никто не хотел у него учиться. Ходят слухи, что первому своему ученику он сам предложил платить за то, чтобы только он у него учился!
Да. Именно с этого начиналась пифагорейская школа!

А вот теперь задачка:
Ученики Пифагора
На вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий учёный Пифагор отвечал так: "Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы". Сколько учеников было у Пифагора?

@темы: Поп-математика, Amicus Plato, Люди, античность

Comments

Огромное спасибо за рассказ! Проглотил с удовольствием)))
Вообще учение Пифагора теснейшим образом переплетено с орфическими учениями - например, идея реинкарнации взята именно оттуда, как и те обычаи, которые Вы совершенно верно описали, они были полны глубочайшего символического смысла. *не удивлюсь, если они к Елевсину отношение имели*
Мистическое отношение к числам пришло в Грецию с Крита, одного из последних осколков древнейшей цивилизации, возможно, непосредствено, возможно - через Азию, с которой у Крита всегда была тесная связь - так, числам придавался божественный смысл в Вавилоне, у халдеев, в культурах Хараппы и Мохенджо-Даро - и там же математика смыкалась с музыкой. Может быть, Пифагор знал учение Сенхуанифона Карфагенского, писавшего, что "Боги правят миром, а закон чисел правит богами"...
*вот сколько поводов для размышления)спасибо еще раз*

[Amicus Plato]

Carven von Xanadu )))
На здоровье )))
И спасибо за такой комментарий!

А что насчет задачи? Не хотите решить? )))

[Sensile]

Amicus Plato
Спасибо за рассказ! Вот с чего ты начала свой день рождения! Весьма примечательно))))
Надеюсь, что меня ты не будешь спрашивать, хочу ли я решить задачу. Я ее решила!!!!!
Вот мне интересно, как ее решали без алгебры, во времена Пифагора. А еще эта задача напомнила мне задачу из "Математической смекалки" Кордемского:
Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит:
-Здравствуйте, сто гусей!
Старый гусь-вожак ему отвечает:
Нет, нас не сто гусей! Вот если бы нас было столько, сколько есть, да еще столько, да еще полстолько, да еще четверть столько, да ты гусь, то было бы сто гусей, а теперь...Вот и рассчитай-ка, сколько нас?

(Помню, без алгебры решение ее занимало две страницы - так много из-за введения нового персонажа аиста и обстоятельной беседы одинокого гуся с ним.)

Amicus Plato
Не за что, ма шери=) хорошие рассказки рождают соответствующие комментарии)
*ждет продолженния банкета по истории математики*
а задача решается по принципу: х=х/2 + х/4 + х/7 + 3?
*я тупой дхолль*

[Amicus Plato]

Carven von Xanadu
именно так и решается )))

Sensile
с гусем, а еще с женщиной, несущей яйца на базар )))
когда ее корзина падает и разбивается, а ее спрашивают: сколько яиц там было )))) и она начинает подробно рассказывать )
Рассказа не помню, а в ответе 301 получается )))

Мне мама рассказывает, что в школе у них несколько лет отдельно была арифметика, где они решали такие вот (вроде бы алгебраические) задачи — на насколько листов каждая... Вот это да! После такой арифметики алгебра уже как манна небесная ))))

Amicus Plato
Дхоль гордится собою=)) не до конца еще дурак, оказывается=)

решали такие вот (вроде бы алгебраические) задачи — на насколько листов каждая... р-романтика получается - целое художественное произведение про женщину, рассказывающую аисту, как она загляделась на стаю гусей, летящих к ученикам Пифагора, и разбила яйца=)

[Sensile]

Amicus Plato
Не, про яйца это совсем другая по принципу задача
Она на делимость.
Там если я правильно помню, женщина причитала, что когда вынимала из корзины по 2, по 3, по 4, по 5 или по 6 яиц, то в корзине всегда оставалось одно яйцо, а когда вынимала по 7 , в корзине ничего не оставалось
(Сотри ответ, может кто порешает)
Мне кажется, что я где-то читала статью Арнольда, в которой он выступал против решения задач, легко решаемых алгебраически, арифметическими методами
Считается, что вроде это развивает смекалку, а по его мнению ничего это не развивает

[Sensile]

Carven von Xanadu

Sensile
Вы меня вдохновляете!!!
Еще можно написать сценарий блокбастера "300 яиц или Сражение при фермопилах Неделимости"
*кто-нибудь читал, к теме, мою математическую скассску?*

[Amicus Plato]

Sensile
про Арнольда тут неоднозначное мнение сложилось...
А как оно на самом деле... где вообще грань, что нужно упрощать, а что нет. Сейчас ведь и таблицу умножения знать не надо: калькулятор в каждом телефоне...
Но сейчас это как-то дико звучит, а лет через сто может все будут с недоумением думать, чем их предки засоряли себе мозги....
Фиг поймешь...

С задачей про яйца — ТОЧНО!
Она самая )))

Carven von Xanadu

р-романтика получается - целое художественное произведение про женщину, рассказывающую аисту, как она загляделась на стаю гусей, летящих к ученикам Пифагора, и разбила яйца=)

Там всё гораздо романтичнее: спешащий дворянин толкнул крестьянку и она уронила корзину...
Он решил возместить ей убыток, спросил, сколько в корзине было яиц, и услышал эту душещипательную историю про делимость ))))

Он решил возместить ей убыток, спросил, сколько в корзине было яиц, и услышал эту душещипательную историю про делимость ))))

Вопрос задачи: А кто из них двоих мехмат заканчивал?

[Amicus Plato]

Carven von Xanadu
я сначала тоже так думала и злилась даже )))
а потом поняла, что крестьянка по нужде вынимала яйца то так то эдак, примериваясь может как удобнее их продавать или еще что ))))
И не известно, возместил ли сей дворянин ей хоть что-нибудь после такого )))

[Amicus Plato]

Carven von Xanadu

*кто-нибудь читал, к теме, мою математическую скассску?*

нет. дайте ссылку )

Amicus Plato
Да, эт в России яйца продают десятками - феодальная дама шла другим путем=) может быть, она их как раз дворянину и несла, в качестве оброка по ценам ниже рыночных%)?
*если хотите, могу кстати, прислать математическую скасссску про Правую Единицу - она забавная*

pay.diary.ru/~krapivin-forever/?comments&postid...
ссыль на сказку. Тапачками не бить, биииттэ, и смеяться не громко.
*там я под др.логином, старым*

[Amicus Plato]

Carven von Xanadu
спасибо я прочту )))
не обещаю сегодня, правда )))

Amicus Plato
Благодарю, госпожа!