Фигурные числа I

[Amicus Plato]

Пифагор.
Про Пифагора я уже писала: вот здесь.
Речь шла о несоизмеримости гипотенузы и катетов прямоугольного равнобедренного треугольника.
Но это была только самая малость из того, что я хочу рассказать об этом поистине великом человеке.


А сейчас рассказ пойдет о фигурных числах.

Пифагорейцы наделяли числа магическими свойствами. И действительно, в их руках, под их взором, математика обращалась в магию.
Сейчас мы увидим, что самые, казалось бы, "элементарные" — обычные и знакомые нам с детства — натуральные числа — можно увидеть совсем в ином свете.
Сам Пифагор говорил об этом: "Все вещи суть числа". И для пифагорейской школы это был мотто, девиз, которым они руководствовались всегда и везде.

Главной особенностью античной математики был полу-арифметический - полу-геометрический подход к числам.
Пифагорейцы различали треугольные, квадратные, прямоугольные, пятиугольные числа (это, так сказать, двумерные числа, — числа на плоскости). Как производные от них получались кубические и пирамидальные числа.
Не уверена, что перечислила все, но давайте разберемся сначала с этими.

Треугольные числа
Треугольные числа — это такие числа, из которых (имея столько камушков) можно выложить правильные треугольники.
Вот первые четыре числа:

Их значения равны:
Т₁=1, Т₂=3, Т₃=6 и Т₄=10.

Нетрудно продолжить ряд и получить значения следующих треугольных чисел:

Еще парочка...

Т₅=15, Т₆=21, Т₇=27, Т₈=36...

Теперь давайте посмотрим, как они получаются.
Ясно, что геометрически следующее треугольное число получается из предыдущего добавлением "строки", содержащей на один камушек больше, чем самая нижняя "строка" этого предыдущего числа. (Каждая новая строка выделена красным). (Знаю, что картинки малость косоваты, но зато можно не ставить копирайт))) Рисовала сама)))
Таким образом, имеем:

Т_n = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n

С давних времен известно (еще даже до того как девятилетний Карл Фридрих Гаусс открыл сумму первых n членов арифметической прогрессии))), что сумма первых n чисел может быть посчитана следующим образом:

1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = ¹/₂ • n(n+1)

Таким образом, треугольное число с номером n вычисляется по этой формуле:
Т_n = ¹/₂ • n(n+1)

Треугольные числа кроме всего прочего являются биномиальными коэффициентами при второй степени икса (в разложении (1 + x)ⁿ по степеням x).

"Число зверя" 666 также является треугольным.

Сумма двух последовательных треугольных чисел даст нам число квадратное.
Формула такова:
T_n + T_{n − 1} = n².
Но об этом — продолжение следует.

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato, Люди, античность

Comments

[Заболекарь]

Я сначала долго таращился на формулу и не мог понять, что n(n+1) делает в знаменателе. По-моему, будет понятнее, если написать (n+1)*n/2

[Amicus Plato]

Заболекарь
ладно, сейчас исправлю )))

Amicus Plato спасибо, материал очень интересный=)
*пытается представить двумерные числа, понял что это круче многоэтажных полей=)*

[Amicus Plato]

vidame_Jennaro
ну, вот они, треугольные, — и есть один из видов "двумерных". Это я их так обозвала для наглядности))
Треугольник же плоская фигура.
А вот куб и пирамида — объемные. Там уже три измерения будут задействованы.

*Вам спасибо)))

Amicus Plato
заинтригован и жду продолжения, ма шери=)
кстати, достойная тема - число в европейской герметической традиции, от алхимиков до масонов, вспомнилось... было бы чудесно обсудить как-нибудь...
*а мне-то за что спасибо?*

[Sensile]

куб и пирамида — объемные. Там уже три измерения будут задействованы.

А ты об этом расскажешь?

Не совсем в тему, но когда-то меня очень интересовала пирамида Паскаля - стереометрический аналог треугольника Паскаля.

[Amicus Plato]

vidame_Jennaro
продолжение последовало))

Sensile
нашла в литературе: это оказывается называется не "объемные" числа, а телесные)))
Можно было и догадаться))))
Про пирамиду Паскаля что-то было по-моему в Карликании и Аль-джебре? Или там только про треугольники? Надо посмотреть.
Я когда писала про историю развития средств "вычислительной техники", т.е. всех-всех приборов, используемых человечеством для облегчения вычислений, наткнулась на палочки Непера (это тот, кто изобрел логарифмы). Блиииин! Если вдуматься это был трехмерный аналог таблицы умножения! Числа там умножались многозначные. Выставляешь эти палочки и тут же получаешь ответ! Гениальная вещь! В 17 веке, по-моему, изобрел...
Знаешь про такое?

[Sensile]

Знаешь про такое?

Нет.
Сколько же я не знаю..

А про пирамиду Паскаля может быть было у Пойа ("Математическое открытие") или в книге Эрдниева в книжке про аналогию (но эти источники под вопросом). Но где-то было в форме идеи... Я потому и увлеклась
А потом нашла в Соровском журнале статью Кузьмина про треугольники и пирамиды Паскаля. И он даже монографию выпустил.

[Amicus Plato]

Sensile
про пирамиду поищу что-нибудь...
А про палочки Непера постараюсь выложить)
Только наверное сперва с фигурными числами закончу.
Тут уже совсем немного осталось))

[Sensile]

Amicus Plato
Я про пирамиду просто так сказала. Конечно, про фигурные числа рассказывай (это очень интересно) и про телесные числа, и про палочки Непера

[Amicus Plato]

Sensile
я про телесные уже повесила))
Про палочки напишу, когда очередной передых случится)))
А про пирамиду всё равно поищу! Интересно ведь!