Квадратные и прямоугольные числа Как нетрудно догадаться, квадратные числа — это такие количества камушков, из которых можно выложить квадраты.
То есть, числа, которые можно представить в виде: n*n.
Первые десять квадратов мы все отлично помним со школьных времен. Достаточно представить себе главную диагональ таблицы всё того же
Пифагора.
На самом деле почти каждый из нас легко воспроизведет в среднем до двадцати первых квадратов. Дальше уже всё зависит от индивидуальных особенностей памяти, и от того, насколько эти знания для нас актуальны.
читать дальшеПрямоугольные числа — числа, которые представляются в виде: n*(n+1).
Казалось бы, что можно к этому добавить? Всё и так ясно...
Однако добавить можно очень много.
Выпишем квадратные числа:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, ...
Прямоугольные числа:
__ 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, _90, 110, 132, 156, 182, 210, ...
Имея дело с теми и с другими, мы сталкиваемся сразу с двумя парами противоположностей.
Первая, — очевидная пара противоположностей, — квадрат-прямоугольник. Стороны квадрата равны, тогда как стороны прямоугольника различны.
Вторая пара — совсем не так очевидна, но она, наверное, является более важной, и более, что ли, основополагающей.
Это противоположность: четное-нечетное.
Действительно, очень легко убедиться в справедливости следующих двух утверждений.
1. Для любого натурального числа n, сумма первых n нечетных чисел равняется квадратному числу n2:
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2. __________________________________(1)
2. Для любого натурального числа n, сумма первых n четных чисел равняется прямоугольному числу n*(n + 1):
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n*(n + 1). __________________________________(2)
Эти утверждения легко доказываются по индукции, однако пифагорейцы прекрасно обходились и без нее.
Давайте посмотрим, как получаются квадратные и прямоугольные числа. То есть, как, зная текущее квадратное (прямоугольное) число, найти следующее.
На рисунках показан процесс, для всех очевидный, но тем не менее очень интересный.
Квадратные числа получаются вот так:
Прямоугольные числа получаются аналогично:
Красными кружочками отмечены новые части, которые прибавляются к уже имеющемуся квадрату (прямоугольнику).
Я неспроста пишу об этом так подробно.
Дело в том, что вот эти красные "уголки" имели для пифагорейцев самостоятельную ценность и назывались гномонами.
Для построения квадратов используются квадратные гномоны.
Для построения прямоугольных чисел — прямоугольные гномоны.
Рассмотрим квадратные гномоны более подробно.
Иногда они рисуются уголками вверх, но я оставлю их уголками вниз. И этому у меня есть особое обоснование. Не знаю, правда, насколько оно соответствует действительности. Если посмотреть определение гномона в любом словаре или энциклопедии, там будет сказано, что это астрономический прибор, состоящий из вертикального штыря, по которому определяют положение солнца. Нечто сродни солнечным часам. (Еще мне кажется, что тот самый приборчик скафис, которым пользовался Эратосфен, (об этом я писала здесь) — ближайший родственник гномона. Но подтвердить это подозрение мне никак не удается.... А опровергнуть я и не пытаюсь...
Так вот, рисую эти, математические, гномоны уголками вниз, потому что мне кажется, что названы они "гномонами" по ассоциации с этими вертикальными штырями, и должны выглядеть именно так!
Из рисунка легко видеть, что идущие друг за другом квадратные гномоны образуют всю последовательность нечетных чисел, больших единицы. (Первая единичка — не гномон, но мне лень ее стирать).
3, 5, 7, 9, ....
Поэтому пифагорейцам даже не нужно было доказывать равенство (1). Это было очевидно из самого построения. Каждый новый квадрат получался из старого прибавлением очередного нечетного числа.
Операция получения большего квадратного числа из меньшего у пифагорейцев выглядела как приложение к меньшему квадрату соответствующего гномона.
Таким образом, любое квадратное число можно породить из единицы посредством последовательного приложения к ней соответствующих квадратных гномонов.
Это и есть "визуальное доказательство" того, что каждое квадратное число является суммой некоторого начального отрезка ряда нечетных чисел.
То же самое относится и к прямоугольным гномонам.
Из этого рисунка видно, что последовательные прямоугольные гномоны соответствуют последовательности четных чисел, больших двойки. (Двойка — не гномон, она хоть и нарисована, но не считается)
Точно так же, как и с квадратами, здесь получение большего прямоугольного числа из меньшего производится с помощью приложения к меньшему числу соответствующего гномона.
Таким образом, любое прямоугольное число можно породить из двойки посредством последовательного приложения к ней соответствующих прямоугольных гномонов.
Тем самым, легко видеть, что каждое прямоугольное число является суммой некоторого начального отрезка ряда четных чисел.
Теперь понятно, почему пифагорейцы утверждали, что "квадрат состоит из нечета, а прямоугольник — из чета".
Продолжение следует.
@темы:
Натуральные числа,
Amicus Plato,
Люди,
античность
-
-
31.05.2008 в 23:48Вообще, исследование фигурных чисел, оказывается, хорошая тема для курсовой.
-
-
01.06.2008 в 00:43"сумма двух треугольных чисел является квадратным числом". Не сходится. =)
-
-
01.06.2008 в 10:45Я вообще поражаюсь людскому воображению! Это же надо вообще до такого додуматься!
Black_Diver
почему не сходится?
ААА! Блин...
Спасибо! ))) Я там одно слово пропустила))) Самое ключевое))
Сумма двух ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ треугольных чисел дает квадратное число))
Причем, связь вот такая:
Tn + Tn − 1 = n2.
Сейчас исправлю!