Фигурные числа III

[Amicus Plato]

Пятиугольные числа
Пятиугольные числа — числа, которые составляют пятиугольники.
По-моему, это образование уже менее естественное, чем все предыдущие, но если вспомнить, какое внимание пифагорейцы уделяли пятиконечной звезде, вписанной в правильный пятиугольник, то удивляться тут нечему.
Вот как они выглядят:
(Знаю, что они даже кривее, чем треугольники... Но что поделать...)


Первые из них легко поддаются счету:
1, 5, 12, 22.
Дальше дело обстоит уже хуже. Следом идут:
35, 51, 70, 92, 117, 145, ...
Если приглядеться, легко проследить закономерность получения пятиугольных чисел:
1
5=1+4
12=1+4+7
22=1+4+7+10
...
В общем виде формула выглядит следующим образом:
P_n = 1+4+7+... (3n-2)
или:
P_n = n*(3n-1)/2

В принципе, можно не ограничивать себя пятью углами и записать формулу k-угольного числа.
К-угольные числа имеют следующий вид (первые два члена у всех последовательностей таких чисел предсказуемы: это единица и само k, а дальше уже нужно пользоваться формулой):
1, k, ... n+(k-2)*n(n-1)/2,...

(Честно говоря, не выводила сама из этой формулы для k=5 формулу пятиугольных чисел. Надеюсь, источники не врут))

Все фигурные числа, которые мы рассматривали до этого, укладываются в плоскости.
Теперь буквально пару слов о числах в трехмерном пространстве.
Они называются телесными числами.
Если мы начнем плоские числа укладывать слоями друг на друга, как раз и получится телесное число.
Самые простые такие числа — кубы, которые образуются из квадратов, уложенных в штабеля.
1, 8, 27, 64,... n³, ...

Уложенные так же прямоугольные числа дадут нам всевозможные произведения своих трех измерений. Не знаю, искал ли кто-нибудь здесь дополнительные закономерности...

Интерес представляют пирамидальные числа.
Они образуются из уложенных друг на друга, а точнее друг под друга треугольных чисел. "Под" — потому что начинают строиться они с вершины.
n-е пирамидальное число состоит из суммы всех треугольных чисел, не превышающих n-е треугольное:
1
1+3=4
1+3+6=10
...
в общем виде:

1+3+6+n*(n+1)/2 = (n-2)*n*(n+1)/6

В заключение расскажу вот какую вещь. (А лучше не буду рассказывать, а процитирую Википедию):

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания, поэтому их изучением занимались лучшие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Никомах, Теон Смирнский, Диофант и другие. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

Большой интерес к этим числам издавна проявляла индийская математическая школа.

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал т. н. «золотую теорему»:
Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел.
Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел.
Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел.
и т. д.

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши.

Красота, не правда ли?!!

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato, Люди, античность

Comments

[Sensile]

Действительно, красота!
Наверное, и для телесных чисел можно по аналогии с плоскостными вывести всякие связи между ними. (Тротилу надо бы подсунуть, когда он освободится )
Формула для n-го k -угольного числа выводилась в каком-то из номеров "Кванта". Не знаю, такая ли она.

[Amicus Plato]

Sensile
А какая замечательная теорема!
Я, признаться, и сама о ней не знала!
Вообще, теория чисел, конечно очень красива! Но и очень сложна... (Не на таком уровне, конечно, а вообще))))

[Sensile]

Amicus Plato

теория чисел, конечно очень красива! Но и очень сложна... (Не на таком уровне, конечно, а вообще))))

Но теоремы, которые в ТЧ формулируются, на первый взгляд выглядят такими понятными и легкими, что куча людей бросается их доказывать, не имея соответствующей базы.
(Вспоминаю сейчас научно-фантастический рассказ , не помню чей, как дьявол, придя по душу ученого, подсел на теорему Ферма)

[Amicus Plato]

Но теоремы, которые в ТЧ формулируются, на первый взгляд выглядят такими понятными и легкими, что куча людей бросается их доказывать, не имея соответствующей базы.

))))))
Просто ППКС!
Не знаю насчет дьявола, а у меня была история. Мой научрук предложил мне на выбор две темы диплома: одна по теории чисел — выглядела страшно красиво и очень просто, и вторая по спектральной теории. Я, конечно, взяла теорию чисел, промурыжила ее почти весь год, и поняла, что с места не сдвинулась ни на копейку!
А потом, когда таки поняла, что это полный швах, за месяц в легкую накатала огромный диплом по гипо- и гипер-осцилляционным дифференциальным операторам четвертой степени )))
С картинками в маткаде под дос ))))))
Так что теория чисел для меня — особая грустная тема )))))

[Sensile]

в легкую накатала огромный диплом по гипо- и гипер-осцилляционным дифференциальным операторам четвертой степени

Звучит ужасно непонятно и завораживающе!!!))

[Amicus Plato]

Sensile )))
На самом деле, после теории чисел в этом абсолютно ничего сложного нет. )))
У нас есть осцилляционный оператор и краевые условия.
Если их меньше, чем степень оператора, он гипо-осцилляционный.
Если больше — гиперосцилляционный. Тогда мы связываем условия в линейную комбинацию, чтоб их было столько сколько надо.
А потом рассматриваем связки таких операторов, находим собственные числа и рисуем фазовый портрет! Вот где красота была! Можешь себе представить досовские программы. Тогда с графикой еще почти вообще работать не умели. А у меня замкнутые кривые получались, очень похожие на фрактальные линии: там лепестки шли всё меньше, меньше, меньше и так до бесконечности... Ох и красота!

[Sensile]

Ну, если знать, что такое осциляционный оператор, то все остальное в твоем тексте очень даже понятно))
А лепестки - да, представляю, какая это красота!..

[Amicus Plato]

Sensile
искала нормально определение осцилляционного оператора, и нашла место, где есть кое-то получше:
www.wirade.ru/cgi-bin/wirade/YaBB.pl?board=dame...
Обрати внимание на посты Bark.
Это Юрий Стахиевич Барковский, мой научный руководитель)))
(Если время будет, конечно)))

[Sensile]

Спасибо за ссылку - начала читать. Пока не поняла, кто такой В.И., нужно будет ознакомиться с самого начала. Но уже очень и очень интересно))

Amicus Plato

Это Юрий Стахиевич Барковский, мой научный руководитель)))

чудесный человек! Помню как я ему информатику на отлично сдавал=))))

[Amicus Plato]

Sensile
В.И. — Виктор Иосифович Юдович, — выдающийся математик всей нашей эпохи.
Наш зав.каф. — умер два года назад...

vidame_Jennaro