На первом курсе многие проходили ряд Тейлора и выводили по возможности энтую производную функции. Конечно, дело ограничивалось простыми вещами типа функциями e^x и x^n.
Между тем, даже такие простые случаи показывают, что из нахождения n-той производной получаются великолепные комбинаторные задачи. Простые и сложные.
Например, вчера я обнаружил, что n-тая производная функции exp(exp(-x)) выражается суммой слагаемых с коэффициентами в виде чисел Стирлинга второго рода S(n,k).
Пример номер 2: у(x) = sin(ln(x))
N-тая производная представляется в виде двух слагаемых a*sin(ln(x))/x^n + b*sin(ln(x))/x^n
А a и b - мнимая и вещественная части произведения (1+i)(1+2i)(1+3i)*...*(1+ni).
Эти два примера демонстрируют, что результаты могут быть весьма неожиданными, красивыми. Вылезают такие вещи, о которых не подозреваешь.
Жалко, что я нигде не видел подобных задач в курсе комбинаторики. Может, вам попадались?
Между тем, даже такие простые случаи показывают, что из нахождения n-той производной получаются великолепные комбинаторные задачи. Простые и сложные.
Например, вчера я обнаружил, что n-тая производная функции exp(exp(-x)) выражается суммой слагаемых с коэффициентами в виде чисел Стирлинга второго рода S(n,k).
Пример номер 2: у(x) = sin(ln(x))
N-тая производная представляется в виде двух слагаемых a*sin(ln(x))/x^n + b*sin(ln(x))/x^n
А a и b - мнимая и вещественная части произведения (1+i)(1+2i)(1+3i)*...*(1+ni).
Эти два примера демонстрируют, что результаты могут быть весьма неожиданными, красивыми. Вылезают такие вещи, о которых не подозреваешь.
Жалко, что я нигде не видел подобных задач в курсе комбинаторики. Может, вам попадались?