Парадокс Банаха-Тарского II

[Amicus Plato]

Парадокс об удвоении шара еще называют парадоксом Банаха-Тарского-Хаусдорфа, потому что существует менее известный и более ранний парадокс Хаусдорфа, который похож на парадокс удвоения шара и имеет тот же принцип доказательства.
В самом деле, почему речь идёт не о "развенчании", как это было раньше с другими парадоксами, а о доказательстве?

Почему?

Да потому что за этими парадоксами скрываются теоремы. Теоремы, которые доказываются абсолютно строго. Единственный их "недостаток" состоит в том, что они полностью противоречат нашему "здравому смыслу", нашим законам логики, нашим представлениям о мире. И поэтому, конечно, люди, сталкивающиеся с этим, по мере "вникания в проблему" должны испытывать некоторые смешанные чувства от небольшого замешательства до мистического ужаса (в зависимости от собственной впечатлительности))).
Единственное, что здесь для меня абсолютно неясно, как можно было додуматься до этого? Если многие, даже читая уже готовые теоремы с доказательствами, отчаянно отказываются верить этому, то каково же было это придумывать?
Не буду вдаваться в математические подробности, потому что они для меня пока еще сложны настолько, что в рамки школьной программы уместить я их не могу...
Но я работаю над этим ))) Думаю в ближайшее время посвятить несколько записей основаниям теории множеств, различным ее аксиоматикам, и в том числе аксиоме выбора, на которой и основывается доказательство парадокса Банаха-Тарского. Долгое время считалось, что этот парадокс как раз и служит ее (аксиомы выбора) опровержением. А всё дело в том, что аксиома эта неконструктивна.
Я сейчас намеренно упрощу дело, но всё же попытаюсь объяснить, в чем тут загвоздка. Аксиома выбора гласит, что если у нас есть семейство непустых и непересекающихся множеств А_i, то мы можем составить новое множество В, взяв в него ровно по одному элементу из каждого множества А_i. Казалось бы, чего проще? Казалось бы, где здесь может быть противоречие? Однако же аксиома не дает нам никаких указаний насчет способа, которым мы должны выбирать элементы из этих множеств.
Очень мне нравится фраза из Википедии: Бытует мнение, что доказательства, полученные с привлечением этой аксиомы, имеют иную познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё.
Но на этой аксиоме стоит остановиться отдельно.
Сейчас только скажу, что она используется при доказательстве парадокса Банаха-Тарского-Хаусдорфа.
И, наконец, сформулирую сам парадокс.

Парадокс удвоения шара
Трёхмерный шар можно разбить на конечное число «кусков» и составить из них два таких же шара. При этом для удвоения шара достаточно пяти кусков, но четырёх недостаточно.

Можете себе представить???
Когда речь идёт о бесконечности, это дело одно... То есть бесконечным числом кусков вроде бы никого и не удивишь... Мало ли что в бесконечности может случиться... Но пять?!!...
Единственное, что "утешает" — это такая же "неконструктивность" парадокса, как неконструктивность аксиомы выбора. Он говорит, что сделать это можно, но не говорит, как. И как это сделать, не знает никто... Или почти никто...

И вот тут я как раз перехожу к той части, ради которой я и подняла эту тему. Додумалась я до этого далеко не первая. Ссылок в интернете много. Но я на первенство и не претендую ))))
Я просто к тому, что это ведь какая суперская аллюзия на Евангельские пять хлебов! А?
То, о чем человек может мыслить лишь как об абстрактной возможности, от которой голова идёт кругом, для Бога — лишь апостериорное подтверждение Его практических (и вполне конструктивных) возможностей.
Пять хлебов было поделено в строгом соответствии с парадоксом Банаха-Тарского )))

Подтверждение

6.1 После сего пошел Иисус на ту сторону моря Галилейского, в окрестности Тивериады.
6.2 За Ним последовало множество народа, потому что видели чудеса, которые Он творил над больными.
6.3 Иисус взошел на гору и там сидел с учениками Своими.
6.4 Приближалась же Пасха, праздник Иудейский.
6.5 Иисус, возведя очи и увидев, что множество народа идет к Нему, говорит Филиппу: где нам купить хлебов, чтобы их накормить?
6.6 Говорил же это, испытывая его; ибо Сам знал, что хотел сделать.
6.7 Филипп отвечал Ему: им на двести динариев не довольно будет хлеба, чтобы каждому из них досталось хотя понемногу.
6.8 Один из учеников Его, Андрей, брат Симона Петра, говорит Ему:
6.9 здесь есть у одного мальчика пять хлебов ячменных и две рыбки; но что это для такого множества?
6.10 Иисус сказал: велите им возлечь. Было же на том месте много травы. Итак возлегло людей числом около пяти тысяч.
6.11 Иисус, взяв хлебы и воздав благодарение, роздал ученикам, а ученики возлежавшим, также и рыбы, сколько кто хотел.
6.12 И когда насытились, то сказал ученикам Своим: соберите оставшиеся куски, чтобы ничего не пропало.
6.13 И собрали, и наполнили двенадцать коробов кусками от пяти ячменных хлебов, оставшимися у тех, которые ели.
6.14 Тогда люди, видевшие чудо, сотворенное Иисусом, сказали: это истинно Тот Пророк, Которому должно прийти в мир.

Евангелие от Иоанна. Глава 6

@темы: Парадоксы, Поп-математика, Теория множеств, Amicus Plato, Анти-бесконечность

Comments

[Sensile]

Господи, как здорово-то! Я про аллюзию!!..
И вот второй раз уже натыкаюсь на связи с Евангелием!
Прямо мистический ужас охватывает...

А еще, помнишь, в ЧГК я все просила какую-нибудь задачу, парадоксальную по формулировке, но имеющую вполне строгое решение? Вот оно и есть!

[Amicus Plato]

Sensile

я же тебе говорила про Гёделя )))

А еще, помнишь, в ЧГК я все просила какую-нибудь задачу, парадоксальную по формулировке, но имеющую вполне строгое решение? Вот оно и есть!

Помню)))
Надо бы попробовать как-то с доказательством разобраться "на бытовом уровне". С пятью кусками я всё-таки "не совсем понимаю" )))) Так не бывает просто! (((

[капитан няшенька]

аллюзия прекрасна)
но в парадоксе покоя мне не даёт "закон сохранения массы", если его аналог для математики существует хотя после фразы

сделать это можно, но не говорит, как

, уже не так страшно

[Amicus Plato]

Nazarova Varvara

но в парадоксе покоя мне не даёт "закон сохранения массы",

когда где-нибудь пишут об этом парадоксе, как раз вот эту вот вещь всегда не обходят стороной. И там получается очень интересно. (Просто, блин, надо где-то взять настоящее доказательство и разобраться самой. В книжке Ященко у меня все спецсимволы не перекодируются, и вместо формул абракадабра (( )
Но как пишут другие люди, смысл вот в чем:

Значение парадокса для теории меры

Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объем которых равен объему исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объем. Суть парадокса заключается в том, что в трехмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объема, если под объемом мы понимаем то, что обладает свойством аддитивности, и предполагаем, что объемы двух конгруэнтных множеств совпадают. Очевидно, что «куски» в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике).

Для плоского круга аналогичная теорема неверна. Более того, Банах показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено как конечно-аддитивная мера на все ограниченные множества и инвариантна относительно движений, в частности, любое множество равносоставленное кругу имеет ту же площадь. Хаусдорф показал, что подобное сделать нельзя на двумерной сфере, и, следовательно, в трёхмерном пространстве, и Парадокс Банаха — Тарского даёт этому убийственно наглядную иллюстрацию. Тем не менее, некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число кусков и составить из них квадрат равной площади.
(с) Википедия

Тут как раз то, о чем у тебя. Только масса заменяется объемом. И все законы сохранения выполняются, потому что куски у нас без объема)))

[Amicus Plato]

Вот только у меня появился еще вопросик.
Почему 5??? 5 — число нечетное. Значит, два шара получатся из неравного числа кусков. Один из двух, другой из трех? Или один из одного, а другой из четырех?...

Надо искать доказательство...

[капитан няшенька]

невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике

значит это всё-таки волшебство. математически доказанное волшебство

[Sensile]

Давайте искать доказательство и сообща его разбирать!

[Amicus Plato]

Nazarova Varvara
это точно )))

Sensile
Давайте!
Я не думаю, что там запредельно сложно... Просто у Ященко в моем браузере абракадабры вместо формул (((
надо поглядеть книги по теории множеств.
Я как раз для этого открыла вновь Френкеля и Бар-Хиллела "Основания теории множеств" и подвисла. До чего же прекрасно написанная книга! Там, правда, этого парадокса нет, но много об аксиоме выбора. Я по свободе хочу почитать внимательно и выложить "впечатления".
А доказательство — давайте искать!

[капитан няшенька]

Amicus Plato про аксиому выбора тоже было бы интересно почитать

[Amicus Plato]

Nazarova Varvara
я сейчас сама про нее читаю))
потом обещаю написать))

[orlovaleks1955]

Вот в том-то и дело, что конкретный путь построения двух шаров не указывается.
А что если он состоит как раз в том, чтобы отказаться от аксиомы выбора? Тогда не
будет один шар строиться из четырех кусков, а второй из одного. Оба - из всех пяти.
Только с половинной плотностью вероятности (волновой функцией?). А может,
и не с половинной, а с полной, если область значений функции есть всюду плотное
множество.