Аксиоматика теории множеств III. Отношение равенства

[Amicus Plato]

Оооо!
Я, например, открыла для себя много нового.

Отношение равенства

В книге Френкеля, Бар-Хиллела отношение равенства понимается в одном определенном смысле. Но сначала они говорят, что во взгляде на то, какое место в системе занимает это отношение и какова же его роль, можно занять одну из трех существующих позиций.
Вот эти-то позиции я сейчас и перечислю. Цитировать буду только местами, потому что изложение достаточно громоздко; где это возможно, ограничусь пересказом.

Итак, три позиции.

а) Отношение равенства считается принадлежащим к лежащей в основе логике. У Ф.и Б-Х, как я уже писала, в основе теории взято функциональное исчисление первого порядка. Так вот, вместо него можно взять функциональное исчисление первого порядка с равенством. И всё. ))) Тогда: х и у считаются равными, если «они обозначают одну и ту же вещь» (с) Цермело.
Это иногда приводит к смещению употребления и упоминания знаков, но от этой путаницы можно избавиться при помощи тавтологического замечания, что х и у равны, если они суть одна и та же вещь.
На мой взгляд, всё это с одной стороны слишком просто, с другой же, если мы будем относиться к этому серьезно, слишком сложно. Корни всего этого нужно искать в дебрях феноменологии (это опять же мнение частное и спорное). Так что тут можно подискутировать, если будет желание, а мы переходим ко второй позиции.

б) Равенство рассматривается в качестве одного из первоначальных отношений системы (наряду с ∈ ). То есть знак «=» можно было бы взять в качестве второго первоначального двухместного предиката. При этом нужно было бы ввести аксиомы, которые обеспечили бы рефлексивность, транзитивность и симметричность равенства.
(Я сейчас их быстренько перечислю (полуформально), потому что не все же помнят их навскидку:
1) рефлексивность: х=х
2) симметричность: х=у ⇒ у=х
3) транзитивность: х=у и у=z ⇒ х=z
В каждом из этих выражений по всем переменным кванторы всеобщности. Т.е. это выполняется для любых индивидных имен нашей модели).
Из этих трех аксиом следует, что равенство является отношением эквивалентности, а также его подстановочность по отношению к другому первоначальному отношению ∈.
То есть: из того, что х ∈ у и х=х' следует х' ∈ у;
а из х ∈ у и y=y' следует х ∈ у'.

с) Знак равенства вводится посредством определения.
(И вот тут начинается то, что либо просто вышло из употребления, либо я с этим никогда не сталкивалась. Но очень интересно!)
В нашем случае это можно сделать двумя различными способами: либо в соответствии с традицией, идущей по крайней мере от Лейбница, согласно которой два предмета считаются равными, если каждый предмет, содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой, либо же предметы считаются равными, если они имеют одни и те же члены.

(Выделение жирным мое)))
Далее идет обсуждение обоих из перечисленных в с) способов. Оно очень интересно, но оставлю его на потом.

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

Comments

[Amicus Plato]

Вот что хотела спросить: Если у нас есть два объекта. Один мы зовем х, а другой у. Но у них такое забавное свойство, что везде где есть х, у тоже есть, и наоборот. Неужели из этого будет следовать, что х=у?

[krystofer]

Amicus Plato
если каждый предмет, содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой
как-то нелогично, можно пример?

[Amicus Plato]

krystofer
ну, предположим мы рассматриваем класс "физиологически нормальных людей". Такой у нас универсум. Специально беру пример дурацкий, но лучше ничего придумать не могу, потому что все части тела на удивление легко отделимы друг от друга и от тела целиком....
Но вот если у этих людей есть правое полушарие мозга, то значит есть и левое, и наоборот. Но это не значит, что они суть одно и то же.
Или. Есть правая ноздря значит есть и левая.
И не надо говорить, что это один мозг или один нос, потому что если мы воспользуемся второй частью определения, мы легко отделим одно от другого.

[J.Random]

если каждый предмет, содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой

Все верно. Ключевое слово - "каждый". Оно в формуле будет обозначено квантором всеобщности. По сути, это означает, что мы не можем определить множество, в котором будет х, но не будет у. Простейший пример - множество, содержащее всего один элемент (а такое должно быть обязательно просто по определению множества, как набора из одного и более объектов).

класс "физиологически нормальных людей"

Некорректно. В таком классе мы не можем определить множество, состоящее из полушарий мозга. Оно в любом случае будет состоять из "физиологически нормальных людей" и множеств "физиологически нормальных людей". И если мы не можем в таком классе определить множество, которое содержало бы одного "человека" и не содержало другого, то эти "человеки" идентичны.

[Amicus Plato]

ладно )))
я согласна))

Простейший пример - множество, содержащее всего один элемент (а такое должно быть обязательно просто по определению множества, как набора из одного и более объектов).

Это действительно так....

[J.Random]

ч0рт побери, до чего дошло образование - нематематик доказывает преподавателю математики, что Древние были правы.

[krystofer]

Amicus Plato
Вот что хотела спросить: Если у нас есть два объекта. Один мы зовем х, а другой у. Но у них такое забавное свойство, что везде где есть х, у тоже есть, и наоборот. Неужели из этого будет следовать, что х=у?
это же выплывает из два предмета считаются равными, если каждый предмет, содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой?
мне эти утверждения кажуться чуточку нелогичными...) или я не понимаю(

[Amicus Plato]

Black_Diver
нннууу...
должен же вас кто-то на что-то провоцировать
ну а на самом деле я еще подумаю над этим )))))
Только "древние" древни не очень)))))

krystofer
в чем нелогичность?
а то тут столько всего уже наговорили, что уже непонятно, о чем речь... ))

Получается, что "традиция Лейбница" абсолютно корректна.

То есть первая цитата действительно следует из второй. Тем самым я пыталась поставить эту самую "вторую" под сомнение. Но Black_Diver мне не дал этого сделать)))

[J.Random]

~∧∨→∀∃∈
Во, накопировал символов (их бы в кнопки кодов добавить как-нибудь =)))), поэтому теперь оба определения в формулах. Если память моя не совсем дырява, выглядит это так:
∀X (x∈X∧y∈X) → x=y
∀x∈X∨Y (x∈X∧x∈Y)→X=Y
На самом деле оба эти высказывания можно доказать от противного, исходя из того, что мы имеем полное право задать множество, состоящее из одного элемента.

[Amicus Plato]

Black_Diver
и я говорю то же самое. Существование одноэлементных множеств всё тут ставит на свои места.
Только вот "замечание" по записи.
Френкель, Бар-Хиллел (пока не знаю, из каких соображений) обозначают всё маленькими буквами — и множества, и элементы множеств. Поэтому будем пока следовать их нотации.

[J.Random]

обозначают всё маленькими буквами — и множества, и элементы множеств

Думаю, потому, что они не различают элементы и множества. Судя по определениям, для них есть просто класс, в котором куча объектов, а является ли объект множеством или элементом, значимо только в контексте оператора принадлежности и зависит от того, кто кому принадлежит. Это я просто по институтской привычке малыми выделил элементы, а большими множества.

[Amicus Plato]

Black_Diver
но они ведь сами говорят, что оставляют на потом рассмотрение того, как соотносятся область определения и множество значений отношения принадлежности. Значит, всё-таки различия есть.
О "праэлементах", т.е. неделимых элементах, они пока речи не ведут, так же как и о пустом множестве.
Но "в целом" я согласна.
Постараюсь в ближайшее время написать про аксиомы. Там тоже много чего удивительного.

[krystofer]

Amicus Plato
нелогичным мне кажется ∀X (x∈X∧y∈X) → x=y, в одноэлементном множестве все понятно. а как быть например с множеством рациональных чисел? 1∈R∧2∈R→1=2?

[J.Random]

krystofer, для _любого_ множества. Совсем любого, какое только возможно задать в данном универсуме. То есть, если получится так, что в универсуме R мы не сможем задать множество, содержащее 1, но не содержащее 2, то да, 1 будет равен 2.

[krystofer]

Black_Diver
дошло, спасибо

[wasternne]

То есть: из того, что х ∈ у и х=х' следует х' ∈ у;
а из х ∈ у и y=y' следует х ∈ у'.

Простите, а можно поподробнее: как и откуда это следует? Всяко не из св-ва равенства быть операцией эквивалентности. Из ZFC - тоже не следует, кажется. То есть получается, что это - св-во предиката принадлежности?