Аксиоматика теории множеств IV. Отношение равенства

[Amicus Plato]

Продолжаю.
Итак, напомню подход с):
с1) два предмета считаются равными, если каждый предмет, содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой;
с2) предметы считаются равными, если они имеют одни и те же члены.

Что пишут об этих подходах авторы?
***
Очевидно, что второй способ приводит к тому, что в универсуме рассуждения существует самое большое один "индивид" (не-множество); поэтому он непригоден для таких систем, универсум рассуждения которых в подразумеваемой интерпретации может содержать предметы, не являющиеся множествами (в обычном понимании слова "множество") и ipso facto (тем самым) не содержащие членов.

Куайн пришел к интересному выводу, что это обстоятельство не является неизбежным. Он рассматривает индивиды как особого рода множества, (или, вернее классы, единственным членом которого являются они сами), и таким образом вводит равенство обычным путем (согласно методу b)), не отказываясь в своей онтологии от индивидов. Согласно Куайну, ситуация может быть описана по-иному, а именно ∈ - отношение интерпретируется как "есть член (чего-либо) или равен (чему-либо)" в зависимости от того, является ли второй предмет классом или нет.

Примечание 1
И вот тут совсем по-другому уже звучит вопрос  Omnicide:
т.е. мы не считаем априорно, что элемент принадлежит самому себе? например "а ∈ а" не верно/не всегда верно?
То есть ответ оказывается с точностью до наоборот тому, что был дан здесь.
И это не говорит о том, что ответ был неправильным
Просто кроме всего прочего (как оказалось) теория множеств складывается как наука чуть ли не на наших глазах.
Еще полвека назад люди не знали того, что сейчас так свободно проходят в школе.
И вот прямо на примере одной книги, мы видим генезис всех фундаментальных понятий!
Притом, что то, что мы сейчас считаем классикой, для авторов этой "классики" было новейшими достижениями. И не всегда бесспорными. И иногда очень смелыми...

Примечание 2
Про отношение равенства это еще не всё. Но продолжение буду выкладывать прямо в комментариях к этой записи. Чтобы не множить сущности))

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

Comments

[J.Random]

Очевидно, что второй способ приводит к тому, что в универсуме рассуждения существует самое большое один "индивид" (не-множество)

Эммм... Мне не очевидно. Пусть даже их два - зачем нам их обязательно сравнивать? А введение элементарных предметов как множеств из одного элемента нафиг рушит задачу о "множестве всех множеств". То есть сейчас-то, может, мы о такой задаче и не знаем, но когда ты до этой задачи дойдешь (а дойдешь рано или поздно, потому что парадокс интересный), решение этой задачи будет тривиально, а парадокса просто не будет.

[Amicus Plato]

Black_Diver
Ты парадокс Рассела имеешь в виду под "множеством всех множеств"?
Или что?
Они же поэтому и осторожничают так сильно, чтобы только куда не вляпаться вдруг!
Я дойду обязательно! ))

Пусть даже их два - зачем нам их обязательно сравнивать?

Если мы устанавливаем отношение на некотором домене, то оно должно выполняться для всех его элементов
То есть, мы-то в принципе, можем и не сравнивать, но они должны быть сравнимы! )))

[J.Random]

Парадокс - не помню чей (меня преподаватели МатАна за то и не любили, что фамилии авторов всяких аксиом-лемм-теорем я не запоминал никогда). Суть - включает ли множество всех множеств самое себя в качестве элемента.

Индивиды сравнимы первым способом. Нам обязательно брать один вариант из двух? В принципе, они похожи и ноги растут из одного и того же, в чем смысл введения множеств, равных индивидам, не очень понятно. Как я уже сказал, если у нас есть пять конфет, множество - это не эти пять конфет, а стол, на котором они лежат. В случае одной конфеты получается путаница между собственно индивидом и множеством, его содержащим.

[Amicus Plato]

Не множество всех множеств, а множество всех множеств, на содержащих себя в качестве элемента))))
Вот и вот:
www.diary.ru/~Organon/p39920749.htm
www.diary.ru/~Organon/p38869101.htm

Про способы я еще допишу)
Это вообще просто стих а не книга! Оттуда ни слова нельзя выкинуть!

А для конфет и стола, сейчас-то выкручиваются проще простого. Ставим фигурные скобки {x}, и вместо одной конфеты, получаем множество, состоящее из одной конфеты.

[J.Random]

Хех, насчет парадокса значит я не прав, вопрос снят. =)
А насчет фигурных скобок - это тоже, по сути, операция, которую надо как-то определять. Опять же, даже если эта операция у нас определена как обозначение множества, допустим, что у нас есть множество a={{x}, x}. Равно ли это множество a множеству {x} (с одной стороны нет, потому что содержит два элемента, с другой - {x}=x, а значит, a={x, x}={x})? Какова его мощность (опять же, два или один)? В общем, мне так кажется, введение индивидов через одноэлементные множества рождает не меньше проблем, чем решает.

[Amicus Plato]

Black_Diver
Оооо!
Вот тут чуть-чуть подожди! Я выложу "аксиому пары"! Тогда вопросы только удесятерятся))))

[Amicus Plato]

Продолжаю про подход с)
Пишу прямо сюда, потому что это логическое продолжение поста.
Итак, напоминаю:

Очевидно, что второй способ приводит к тому, что в универсуме рассуждения существует самое большое один "индивид" (не-множество); поэтому он непригоден для таких систем, универсум рассуждения которых в подразумеваемой интерпретации может содержать предметы, не являющиеся множествами (в обычном понимании слова "множество") и ipso facto (тем самым) не содержащие членов.

И далее продолжаю по тексту:

Может возникнуть впечатление, что первый из упомянутых в с) путь не связан с такими затруднениями. Однако и это впечатление оказывается иллюзорным (). Известны системы, онтология которых включает в себя объекты, не являющиеся элементами, и даже не один такой объект. Очевидно, что по отношению к таким объектам первый путь неприменим .

Авторы, таким образом, разгромили оба пути с), но дальше тут же пишут вот что:

Мы примем здесь точку зрения с), несмотря на связанные с ней ограничения; с) имеет то преимущество перед b), что используется меньше неопределяемых терминов и то преимущество перед а), что используется более слабой лежащей в основе теорией. (Впрочем, мы вовсе не склонны утверждать, что эти отличия при всех условиях следует считать преимуществами).
(Нет, что не говорите, гениально написанная книжка!)

Какой же из упомянутых выше путей мы изберем? Мы уже видели, что это зависит главным образом от той онтологии, которую мы собираемся принять. Оказывается, что на самом деле — по крайней мере для математических целей — нет никакой необходимости иметь дело с индивидами, вернее допускать существование более чем одного индивида. Мы можем поэтому считать множествами все предметы, за исключением одного-единственного, не содержащего членов, существование которого вызвано очевидными причинами технического характера .
Кроме того, мы в настоящий момент решаем не допускать никаких объектов, не являющихся элементами. Одним словом, мы хотим, чтобы все предметы были элементами и все, кроме одного, — множествами. Иначе говоря, область значений ∈-отношения должна содержать все, кроме одного, члены его области определения, а поле (т.е. объединение области определения и области значений) — совпадать с рассматриваемым универсумом. Мы хотим также, чтоб два предмета считались равными в том и только в том случае, если они содержат одни и те же члены и принадлежат одним и тем же множествам. Поэтому мы вольны выбрать одно из этих свойств в качестве определения, а другое обусловить посредством подходящей аксиомы. Для нужд нашей системы пригодны оба пути, предусмотренные точкой зрения с).

Это еще не всё))
Здорово, правда? )))))
Или это только мне так кажется?

[J.Random]

Мнится мне, это они так ввели определение пустого множества?

[Amicus Plato]

Black_Diver
Так отож!
Прямо-таки не надышусь на эту книжку!
Представляешь! Вот они, первооткрыватели! До них ведь этого ничего не было! И какими трудами они к этому подходят!
(Нет, пустое множество было и до этого, но аксиоматика в таком "почти что непротиворечивом" виде рождается у нас на глазах!)

[Amicus Plato]

Последнее замечание про терминологию.

<...>
С настоящего момента мы окончательно решаем применять термин "множество" не только по отношению к членам области значений ∈-отношения, но вообще к членам его поля, т.е. по отношению к любому предмету, входящему в универсум рассуждения. Один единственный не содержащий членов предмет также считается множеством и называется, как обычно, "пустым множеством" (null-set).

[J.Random]

ксиоматика в таком "почти что непротиворечивом" виде рождается у нас на глазах!

Долго думал, что же мне кажется подозрительным в такой системе. пожалуй, напишу тут, но к части V это тоже относится.
Мне так показалось, аксиоматика получается красиво непротиворечивой потому, что рассматриваемая область сильно искусственно ограничивается. Если я правильно помню то, чему учили в институте, то мы тогда настолько в рассуждениях себя не ограничивали. У нас, помнится, множества мы могли задавать сами какие угодно - ну вот захотелось нам собрать такие-то объекты в кучу, ну почему бы нет? А здесь получается, что рассматриваются исключительно те множества, которые уже присутствуют в универсуме. Нет возможности введения в универсум рассуждений новых элементов - раз. Даже существующими элементами мы не можем распоряжаться так, как нам удобно (как мы распоряжаемся алфавитом, составляя слова и предложения) - два. То есть в статике-то все это выглядит очень стройно и красиво, но что будет дальше, я не очень понимаю. Пока что очень похоже на абсолютно черных сферических лошадей в вакууме объемом в один кубометр и массой в один кг - красиво, но бесполезно.

[Amicus Plato]

Black_Diver
ну, во-первых, то, о чем тут написано, это и есть фундамент той теории множеств, которая существует на сегодняшний день. Во-вторых, еще пока даже аксиоматика не задана.
Здесь просто более аккуратно описывается предикатный символ принадлежности и отношение равенства.

А здесь получается, что рассматриваются исключительно те множества, которые уже присутствуют в универсуме. Нет возможности введения в универсум рассуждений новых элементов - раз.

Совершенно верно!
Мы всегда обязаны сначала задать универсум, а потом в этом универсуме уже оперировать с теми или иными сущностями.
И определения все математические даются именно таким образом.
Вот навскидку беру определение:

Вектор в линейной алгебре — элемент линейного пространства (частный случай тензора). (с) Википедия

То есть пространство у нас фиксируется априори. И уже для него вводится аксиоматика. Это нормально. Универсум — это не "экстенсионал" понятия, когда все предметы должны перечисляться поименно. Универсум — это класс объектов, но его свойства мы должны указать заранее.