понедельник, 01 декабря 2008
Начинаю описывать систему
Z (Цермело-Френкеля).
В этой системе, как воспоследовало из определения равенства в прошлой записи, имеется лишь один неопределяемый предикат «∈».
Все ее атомарные предложения будут иметь вид:
х ∈ у. Отношение "не принадлежит" будем записывать так:
х ∉ у.
И теперь сразу с места в карьер.И теперь сразу с места в карьер.
Определение I. Если для всех х х ∈ у влечет х ∈ z, мы будем говорить, что у есть подмножество z (или включено в z); если к тому же есть по крайней мере одно такое w, что w ∈ z, но w ∉ у, то мы будем говорить, что у есть собственное подмножество z.
Соответствующие символы суть: y ⊆ z и y ⊂ z
Из определения I немедленно следует
Теорема. Каждое множество есть подмножество самого себя (х ⊆ х); х ⊆ у и y ⊂ z влечет за собой х ⊆ z. Иными словами, отношение ⊆ рефлексивно и транзитивно. В то же время отношение ⊂ иррефлексивно, асимметрично и транзитивно.
Между отношениями ∈ и ⊆ (первое из которых является первоначальным, а второе вводится по определению) имеется серьезное различие.
Путаница в их употреблении, усугубленная свойственной индоевропейским языкам двусмысленностью, — известно, что связка "есть" использовалась последователями Аристотеля в обоих этих (и многих других) смыслах, — на раннем этапе развития логики имела гибельные последствия. Если придерживаться нашей терминологии, то каждое множество включает (comprises) себя само и свои подмножества, но, вообще говоря, не содержит (contains) ни себя, ни своих подмножеств.
Первым логиком, обратившим внимание на необходимость этого различения, был, по-видимому, Фреге; после же работ Пеано жертвами путаницы между ∈ и ⊆ становятся лишь начинающие (
).
Всё это не означает, однако, что нельзя было бы развить теорию отношения, которое объединяло бы в себе (но не смешивало!) свойства отношения принадлежности и включения. Фактически именно это и проделал Лесьневский.
(sic! Про Лесьневского я как раз недавно писала вот здесь.)
@темы:
Теория множеств,
Amicus Plato
-
-
01.12.2008 в 22:18Согласно Куайну, ситуация может быть описана по-иному, а именно ∈ - отношение интерпретируется как "есть член (чего-либо) или равен (чему-либо)" в зависимости от того, является ли второй предмет классом или нет.
Ыыыыы...
Всё-таки они такой формулировкой не пользуются. Только мозги запудрили (((