Аксиоматика теории множеств VI.

[Amicus Plato]

Никак не дойду до аксиом...
Никто, небось, уже и не помнит, что цель была разобрать аксиому выбора, чтобы потом можно было плавно перейти к доказательству парадокса Банаха-Тарского
Боюсь, впереди у нас еще долгая дорога.)
Тем более, что почти ни одна запись не остается без критики)))
Что я могу поделать? Видимо, это планида теории множеств
Продолжаю ровно с того места, на котором остановилась.
Мы ввели предикатный символ ∈ и ввели отношение включения ⊆.
А теперь нам всё-таки нужно ввести отношение равенства.
Перехожу к цитированию (если где-то отступаю от текста, то стараюсь не искажать смысл).

Равенство мы можем определить любым из двух следующих способов.

Определение IIа. х называется равным у (х=у) тогда и только тогда, когда для всех z x ∈ z влечет за собой y ∈ z, и обратно, y ∈ z влечет х ∈ z, то есть, если каждое множество, содержащее одно из множеств х и у, содержит также и другое. Если х не равно у, оно называется отличным от у (х ≠ у) (или множества х и у называются различными).

Определение IIb. х называется равным у (х=у) тогда и только тогда, когда x ⊆ y и y ⊆ x одновременно, то есть каждое из множеств х и у есть подмножество другого. Иначе говоря (формулируя в первоначальных терминах), х=у, если каждый член одного из этих множеств есть также и член другого. В противном случае х отлично от у (х ≠ у) (или х и у различны).

Согласно любому из этих определений отношение равенства рефлексивно, транзитивно, симметрично и подстановочно (substitutive) по отношению к правому аргументу ∈, т.е. z ∈ х, х=у влечет z ∈ у.

Тем не менее, определяемое в IIb свойство равнообъемности (экстенсиональности) не может быть выведено из IIa, так же как левосторонняя подстановочность (свойство состоящее в том, что x ∈ z, х=у влечет y ∈ z) не выводима из IIb даже при помощи приводимых ниже аксиом.
Поэтому в дополнение к определениям IIa и IIb мы вводим специальную аксиому, каждый из двух вариантов которой приспособлен к соответствующему определению.

Аксиома Ia. x ⊆ y и y ⊆ x вместе влекут х=у; иначе говоря, множества, содержащие одни и те же члены, равны.

Аксиома Ib. x ∈ z и х=у вместе влекут y ∈ z; иначе говоря, равные множества содержатся в одних и тех же множествах.

Для последующего изложения несущественно, взять ли IIa в качестве определения равенства и Ia в качестве соответствующей аксиомы или же IIb в качестве определения и Ib в качестве аксиомы. Поэтому мы будем просто говорить об определении II (определении равенства) и аксиоме I (аксиоме объемности или экстенсиональности).

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

Comments

[Notions]

Подскажите, пожалуйста, что значит "влечет" и как удостовериться, влечет или не влечет? Спасибо.

[Amicus Plato]

Notions
"Влечет", говоря не слишком строго, значит, что если у нас есть высказывание "А влечет В", где А и В — высказывательные переменные, принимающие значения "истина" или "ложь", то если А истинно, В тоже должно быть истинно. Если А ложно, вообще говоря, о В мы ничего сказать не можем. Оно может быть ложно, а может быть и нет.

А насчет "как удостовериться" — этот вопрос в каждом конкретном случае решается заново.
В этой записи речь идет об аксиомах. Поэтому мы принимаем это "влечет" на веру.
А вообще полагают, что посылка истинна и доказывают истинность заключения при условии истинности посылки.

[Notions]

Нас с детства приучают, что аксиомы следует принимать без доказательства; быть может на бытовом и/или утилитарном уровне это и оправдано (тем более, что большинство аксиом как правило тривиальны и очевидны, хотя имеются аксиомы, о возможности принятия которых специалисты дискутируют уже веками и тысячелетиями), но когда требование принятия аксиом распространяется на серьезные дисциплины, это не всегда (и не для всех) приемлемо. Аксиоматический подход к построению теорий можно считать приемлемым лишь с оговоркой "за неимением обоснований".

Оказывается, что возможно построение достаточно содержательных и прагматичных теорий без использования аксиоматического базиса; примером такой теории может служить уже упоминавшееся ТЕОРИЯ ПОНЯТИЙ. Вместо аксиоматической концепции в теории понятий используется концепция определений.

К слову, в ТЕОРИИ ПОНЯТИЙ вместо не очень внятной концепции истинности утверждений предлагается и используется концепция правильности; концепция правильности, в частности, применима не только к утверждениям, но и к определениям.

[Sensile]

Notions
Вы извините, что вмешиваюсь в разговор.
Но тема поста совершенно не об этом.
Не о теории понятий
Советую создать Вам свой блог (дневник/сообщество) и там рассказывать о теории понятий и ее концепциях.
Здесь же это выглядит не к месту

[Amicus Plato]

Notions
Математика такая наука, что ее теории основаны на аксиомах.
Понимаете, довольно странно прийти в математическое сообщество и говорить такие вещи.
Поверьте мне, ни один серьезный математик не променяет "не очень внятную концепцию истинности" на (почему-то) чудесную концепцию правильности.

Комментарий Sensile — очень хорошее тому подтверждение.

Сообщество тематическое.
И не дискуссионное.
И не стоит его расценивать как полигон для испытаний своих теорий.

[Notions]

Извините, что влезаю в математику с теорией понятий,
но вся математика есть работа только с понятиями:
определение треугольника никакого конкретного треугольника не строит,
оно строит понятие треугольника; является ли некое утверждение аксиомой -
математика не в состоянии определить.