Простыми словами
Предварю эту запись небольшой ремаркой. Даже двумя.
По поводу предыдущих двух аксиом авторы пишут вот что:
Несмотря на большую силу аксиомы III, уже при беглом взгляде на теорию Кантора видно, что аксиомы образования пары и множества-суммы не предоставляют нам достаточно возможностей в деле построения новых множеств, даже если исходить с самого начала из весьма сильных допущений относительно существования множеств. Действительно, предположим, что существуют бесконечные множества, множества того типа, что называются счетными, и даже счетное множество различных таких множеств. Даже при этих предположениях аксиомы II и III оказываются недостаточно сильными, чтобы обеспечить существование какого-либо более чем счетного множества, например, существование континуума.
Для Кантора орудием получения множеств более высокой мощности было (трансфинитное) умножение, в частности, возведение в степень. Мы увидим (дальше, не сейчас, А.Р.), что для этой цели достаточно множества-степени.
Аксиома IV. (Аксиома множества-степени). Для любого множества а существует вполне определенное множество, членами которого являются в точности все подмножества а.
В символической записи:
(∀а)(∃у) (∀х) (х ∈ y ≡ x ⊆ a)
Множество всех подмножеств множества а называется множеством-степенью (power-set) множества а и обозначается через Са.
х ∈ Са имеет место в том и только в том случае, если x ⊆ a, т.е. если z ∈ x ⇒ z ∈ a.
Думаете, всё уже как надо? Ну-ну!)))
По поводу предыдущих двух аксиом авторы пишут вот что:
Несмотря на большую силу аксиомы III, уже при беглом взгляде на теорию Кантора видно, что аксиомы образования пары и множества-суммы не предоставляют нам достаточно возможностей в деле построения новых множеств, даже если исходить с самого начала из весьма сильных допущений относительно существования множеств. Действительно, предположим, что существуют бесконечные множества, множества того типа, что называются счетными, и даже счетное множество различных таких множеств. Даже при этих предположениях аксиомы II и III оказываются недостаточно сильными, чтобы обеспечить существование какого-либо более чем счетного множества, например, существование континуума.
Для Кантора орудием получения множеств более высокой мощности было (трансфинитное) умножение, в частности, возведение в степень. Мы увидим (дальше, не сейчас, А.Р.), что для этой цели достаточно множества-степени.
Аксиома IV. (Аксиома множества-степени). Для любого множества а существует вполне определенное множество, членами которого являются в точности все подмножества а.
В символической записи:
(∀а)(∃у) (∀х) (х ∈ y ≡ x ⊆ a)
Множество всех подмножеств множества а называется множеством-степенью (power-set) множества а и обозначается через Са.
х ∈ Са имеет место в том и только в том случае, если x ⊆ a, т.е. если z ∈ x ⇒ z ∈ a.
Думаете, всё уже как надо? Ну-ну!)))