Две задачи

[Диана Шипилова]

...из книги Tribute to Martin Gardner. Очень понравились

1. Приведите к стандартному виду многочлен P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)…(x – y)(x – z).

2. Расставьте цифры от 1 до 9 в таком порядке, чтобы получившееся число делилось на 8 после зачеркивания одной цифры справа, делилось на 7 после зачеркивания двух цифр справа, на 6 — после зачеркивания трех цифр, и так далее до зачеркивания всех цифр, кроме первой.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Comments

[Trotil]

94 года Мартину, кстати.

[Диана Шипилова]

Trotil
Ага Я ужасно им увлекалась в детстве и помню, что он родился 21 октября 1914 года)

[Garryncha]

Диана Шипилова, 1. 0, т.к. есть множитель (x - x).

[Garryncha]

Диана Шипилова, 2. 5-я цифра есть 5, т.к. первые 5 цифр делятся на 5 и на 0 оканчиваться не могут. Первые 3 цифры делятся на 3, значит, в сумме делятся на 3. Первые 6 цифр делятся на 6, а значит, и на 3, значит, в сумме цифры 4-6 делятся на 3. Значит, 4 и 6 цифры в сумме дают остаток 1 при делении на 3. Все цифры, стоящие на чётных местах, чётные. Перебираем 4 и 6 цифры: 2 и 6 не подходят, 2 и 4 не подходят, 2 и 8 подходят, 4 и 6 подходят, 4 и 8 не подходят, 6 и 8 не подходят. Т.к. 6-я цифра чётная, и цифры 6-8 делятся на 8, то цифры 7-8 делятся на 8. С учётом того, что 8-я цифра чётная, перебираем варианты: 1 и 2 не подходят, 3 и 2 подходят, 7 и 2 подходит, 9 и 2 не подходит, 1 и 4 не подходит, 3 и 4 не подходит, 7 и 4 не подходит, 9 и 4 не подходит, 1 и 6 подходит, 3 и 6 не подходит, 7 и 6 не подходит, 9 и 6 подходит, 1 и 8 не подходит, 3 и 8 не подходит, 7 и 8 не подходит, 9 и 8 не подходит.
С учётом всего сказанного возможны всего 4 варианта:
.8..5.32.
.8..5.72.
.4..5.16.
.4..5.96.
Рассмотрим первые два случая. Цифры 3-4 делятся на 4, причём 4-я цифра либо 4, либо 6. Если она 4, то 3-я цифра чётная, что невозможно. Значит, 4-я цифра 6, а 6-я - 4. Перебираем варианты 3-й цифры для 1-го случая: 1, 7, 9. Т.к. 3-4 цифры делятся на 4, то возможны только 1 и 9. Т.к. 1-3 цифры делятся на 3, а 2-я цифра - 8, то цифры 1 и 3 - 1 и 9, возможно, в любом порядке. Значит, последняя цифра - 7. Перебираем варианты 3-й цифры для 2-го случая: 1, 3, 9. Возможны все варианты. Если 3-я цифра 3, то 1-я цифра - 1, т.к. цифры 1-3 делятся на 3, получаем число 183654729. Если 3-я цифра 9, то 1-я цифра 1 по той же причине, получаем число 189654723. Если 3-я цифра 1, то получаем два числа 381654729 и 981654723. В 1-м случае получаем два числа 189654327 и 981654327.
Рассмотрим последние 2 случая. Цифры 3-4 делятся на 4, причём 4-я цифра либо 2, либо 8. Если она 8, то 3-я цифра чётная, что невозможно. Значит, 4-я цифра 2, а 6-я - 8. Получается: .4.25816. и .4.25896. .
В первом случае 1 и 3 цифры могут быть любые две из 3, 7, 9, а во втором - из 1, 3, 7. В первом случае никакая комбинация не даст того, чтобы цифры 1-3 делились на 3, а во втором случае такая комбинация только одна - 1 и 7. Значит, получаются ещё два числа: 147258963 и 741258963.
Всего получились числа:
183654729
189654723
381654729
981654723
189654327
981654327
147258963
741258963.
Проверяем, что в них цифры 1-7 делятся на 7, а заодно проверяем все остальные условия.:-)
Единственное из этих чисел, делится на 7 число 381654729. Это и есть ответ.

[Дилетант]

Да, на первой задачке я уже попадалась как-то пару лет назад

Диана Шипилова, а трибьют-то чей? Кто там автор(ы)?

[_ТошА_]

О да Глянув первую, мне сразу вспомнилось (1-tg5)(1-tg10)...(1-tg70)=?

[Amicus Plato]

_ТошА_
да, похоже.
Только разница в том, что у тебя в каждой скобке два числа, а у Дианы буквы, из которых первая воспринимается как переменная, а вторые как параметры. Поэтому даже когда понимаешь, что там есть разность х-х, всё равно до конца не хочешь верить, что оба икса обозначают одно и то же

Garryncha
Вторая задача впечатляет!

[Garryncha]

Amicus Plato, я рад.:-)

[Диана Шипилова]

Garryncha
Абсолютно верно, я точно так же решала))

Дилетант
Berlekamp, Rodgers. Но на самом деле авторов больше, это сборник. Там и Голомб статью написал, и Нобуюки Ёсигахара (кстати, это он автор второй задачи), и Смаллиан... Я в ЖЖ подробнее писала вчера, можешь посмотреть)

[Дилетант]

Диана Шипилова
Спасибо! Посмотрю!

[Garryncha]

Диана Шипилова, здорово!:-) А Берлекэмп, наверное, тот самый, который придумал алогритм разложения многочлена от одной переменной на неприводимые над конечным полем Fp.:-)

[_ТошА_]

Amicus Plato
Угу, но т.к. занимательные задачи, то сомнения отбрасываются)

[Диана Шипилова]

_ТошА_
Я тоже вспомнила задачу с тангенсами, но она другого типа: чему равно произведение tg1° tg2° tg3° ... tg89°?

[_ТошА_]

Диана Шипилова
Да-да, эту тоже помню

[Дилетант]

Диана Шипилова
Классная задача!!! ))))

[_ТошА_]

Дилетант
Решила?))

[Дилетант]

_ТошА_
да, а что?

[_ТошА_]

Дилетант
Да не, просто так радостно отозвалась!

[Диана Шипилова]

Дилетант
_ТошА_
Я сейчас по аське подругу замучила первой задачей Подруга учится на математика, если что)))

111 (14:40:04 26/08/2009)
x^n – (a + b + ... + z)x^(n – 1) + ... + abc...z

не понимаю. и думать лень. *страдает*

111 (14:40:17 26/08/2009)
n=26

[_ТошА_]

Диана Шипилова
Ну тут же не знания проверяются, а лишь догадливость, или отвлечённое мышление.
Тем более, нарешавшись кучи фигни за год, прыгаешь в любую задачу сразу, и ничего не замечаешь

Наш препод всегда говорил: Don't jump into the question.

Но вообще лол

[Дилетант]

Диана Шипилова
ты будешь смеяться, но я ее тоже так решала

[Диана Шипилова]

Дилетант
Клево! Ты выписала 67108864 одночлена, а потом они все сократились?

[Дилетант]

Диана Шипилова
Нееет!
Я выписала первое, второе и последнее слагаемое (уже сгруппированные по степеням х), а между ними три точки )))
И долго не понимала, в чем подвох, и сетовала, что сигмы нельзя поставить )))

Как говорит Тоша, прямо таки занырнула в проблему ))

[Диана Шипилова]

Дилетант
У меня сначала мысли тоже поползли в этом направлении, но в конечном счете дело до бумаги так и не дошло

[Дилетант]

Диана Шипилова

67108864

Слушай, ты на самом деле считала все сочетания?

[_ТошА_]

Что-то я не понимаю о чём вы 0_о

[Диана Шипилова]

Дилетант
А чего там считать? При перемножении 26 двучленов будет 2²⁶ одночленов))

[Дилетант]

Диана Шипилова
А! Семен Семеныч! И впрямь! ))))

_ТошА_
мы о стандартном виде многочлена Р(х) ))

[_ТошА_]

Дилетант
Как-то больно у вас всё запутанно, видно, собрались великие математики тут