Кросспост из моего дайри. Гипотрохоиды и их уравнения

[Диана Шипилова]

Маме кто-то подарил линейку-спирограф — забавный прибор, с помощью которого можно чертить самые разнообразные линии. Принцип следующий: в самой линейке два круглых отверстия разных размеров, но граница у них не гладкая, а с зубчиками, и плюс к этому еще набор из трех шестеренок с дырками в разных местах. Чтобы начертить линию, нужно положить шестеренку в круг, поставить вертикально стержень в одну из дырок и вращать шестеренку вдоль круга до тех пор, пока стержень не вернется в исходное положение, описав замкнутую линию, причем эти линии могут иметь самый разнообразный вид в зависимости от того, какой круг мы выберем, какую шестеренку и какую дырку.
С цветными стержнями это должно смотреться еще красивее, потому что можно комбинировать линии разных цветов, но тут, увы, ничего не вышло, потому что у меня нашлись только черные и синие стержни, а с такой цветовой гаммой не развернешься. Я исчертила кучу бумаги, а потом, уже ночью, мучаясь бессонницей, подумала, что это же надо чертить на компьютере! Уж там можно выбрать цвета, какие захочешь, да и программа для построения графиков у меня есть… Дело за малым — смоделировать уравнение движения точки.

полуночные рассуждения

Я понимала, конечно, что открываю Америку и при желании я могла бы найти эти формулы на следующее утро, но задача так захватила меня, что я принялась рассуждать. Уравнения координат, конечно, должны быть параметрически заданы через время. Точка, описывающая линию (как, кстати, она называется? Улитка Паскаля? Гипотрохоида?..) совершает два движения… так, для начала разберемся с обозначениями. Пусть R — радиус большого круга, r — радиус катящейся шестеренки и k — расстояние от края шестеренки до дырки. Мозг потихоньку начал закипать. Итак, центр шестеренки совершает движение по окружности радиуса R – r. Эти уравнения составить легко:
х = (R – r)cost,
y = (R – r)sint.
Отлично. Дырка тоже вращается по окружности вокруг центра шестеренки, радиус этой окружности, очевидно, равен r – k. За то время, когда шестеренка сделает один оборот в большом круге, вокруг своей оси она повернется… сколько же раз? Я помнила, что здесь есть какой-то подвох. По идее-то должно быть в R/r раз больше оборотов, но… Так, вспомнила. Если бы шестеренка вращалась с внешней стороны окружности, набегал бы один лишний оборот. А у нас, соответственно, на один оборот будет меньше, т.е. R/r – 1.
Мозг закипел окончательно, а сон все не шел. Итак, если сложить два движения, то должны получиться вот такие уравнения:
х = (R – r)cost + (r – k)cos((R/r – 1)t),
y = (R – r)sint + (r – k)sin((R/r – 1)t).
Так? Нет, подозрительно это, что-то здесь не то. Известно, что если катить внутри окружности вдвое меньшую окружность, то точка на ее краю опишет отрезок прямой, а именно диаметр. А у нас что получается? R = 2r, k = 0…
x = (R – R/2)cost + (R/2 – 0)cos((2 – 1)t) = Rcost,
y = (R – R/2)sint + (R/2 – 0)sin((2 – 1)t) = Rsint.
Это же окружность, а не диаметр… Где же я ошиблась? Попробуем еще раз представить оба движения… Ага, вот оно! Если центр шестеренки движется против часовой стрелки, как следует из уравнений выше, то тогда сама шестеренка будет вращаться по часовой стрелке! Меняем один плюс на минус, и вот он, окончательный результат!
х = (R – r)cost + (r – k)cos((R/r – 1)t),
y = (R – r)sint – (r – k)sin((R/r – 1)t).
Утром я тут же записала формулы и полезла экспериментировать. Все сработало! Вот некоторые смоделированные мною линии:

картинки

(R = 24, r = 16, k = 3),


(R = 32, r = 7, k = –2),


(R = 36, r = 11, k = –10).
Кроме того:
при R = 3r, k = 0 получается дельтоида;
при R = 4r, k = 0 получается астроида,
и вообще при k = 0 получаем разнообразное семейство гипоциклоид.

@темы: Поп-математика

Comments

[Amicus Plato]

Диана Шипилова
Спасибо!

[Диана Шипилова]

Amicus Plato

[just normal]

Прикольная штука)
Простенькая программа для построения гипотрохоид. Если задать t не очень большим и постепенно увеличивать R или r - можно получить достаточно красивое движение точек)

[Диана Шипилова]

just normal
Как интересно))) Спасибо!

В связи с вашими рисунками возникает интересная задача
1) Сколько оборотов совершит малая шестерня до замыкания кривой.
2) Сколько будет "пиков" у нарисованной кривой

[Диана Шипилова]

sexstant
Интересные вопросы!
Пусть к аргументу t прибавили 2πn и кривая замкнулась, тогда cos((R/r – 1)t) = cos((R/r – 1)(t + 2πn)), откуда (R/r – 1)*n — целое число. Это достигается при наименьшем n = r/НОД(R, r). (Считаем R и r целыми числами: очевидно, в случае иррационального соотношения кривая никогда не замкнется.)
Тогда малая шестеренка сделает как раз (R/r – 1)*n = (R – r)/НОД(R, r) оборотов, и у кривой будет n пиков.

Немножко не так.

Пусть K - число оборотов малой шестерни, N - число пиков.
Тогда, поскольку проскальзывания нет (и опуская понятный множитель 2*Pi)
R*K=r*N
А поскольку это первое замыкание кривой, то все это равно НОК(R,r), т.е.
R*K=r*N=НОК(R,r)
Ну а теперь используем основную теорему арифметики, напомню
НОК(R,r)*НОД(R,r)=R*r
Получаем
N=R/НОД(R,r) и K=r/НОД(R,r)

Кстати, совершенно понятно, что вместо R и r можно ставить число зубцов большой и малой шестерни (шаг то у них одинаков).
Я лично использую эти соотношения, чтобы проверять работу программ, подобно приведенной выше. Довольно часто программы бывают с ошибками.

Кстати, игрушкой этой я балуюсь уже более 35 лет. Как нибудь расскажу про историю этой игрушки

[Диана Шипилова]

K=r/НОД(R,r)

У меня вызывает сомнение эта формула. Пусть R = 100r. Тогда K = r/НОД(100r, r) = r/r = 1. Получается, малая шестерня сделает всего лишь один оборот?!
С числом пиков согласна, тут я дала маху

Расскажите про историю, очень интересно!

У меня вызывает сомнение эта формула

Вы совершенно правы, число оборотов малой шестерни вокруг своей оси и есть число пиков
В данном случае K - число пробегов малой шестерни по большой (в неком смысле тоже число оборотов )

[Диана Шипилова]

sexstant
Теперь все понятно ))

Об истории спирографа.
Для меня она началась в 1970 году. Именно тогда, летом в 6 классе я купил за 1руб.50 коп. эту игрушку.


Теперь о создателе спирографа. В интернете нашел некролог. Даю вольный перевод.

" Denys Fisher - Times Online Obituary ". The Times . 2002 - 10-26 . www.timesonline.co.uk/tol/comment/obituaries/ar...



Денис Фишер (Denys Fisher)
11.05.1918 г. (Лидс) - 17.09.2002 г. (Фернесс). Великобритания

Денис Фишер родился в 1918 и рос в Лидсе, проводя свои первые годы жизни в железнодорожном вагончике расположенном в поле. По началу, будучи подростком, он не выделялся среди своего окружения, до тех пор пока болезнь не уложила его на шесть недель - недель, которые он провел в постели в компании с книгой Лэмба Исчисление бесконечно малых (Lamb Infinitesimal Calculus). Фишер был очарован, и на протяжении всей своей жизни пронес страсть к логике и математике.
Однако последующая учеба в Лидском Университе была ему не по душе, и по окончанию обучения, он приступил к работе в семейной фирме Kingfisher (Lubrication) Ltd. Там он разрабатывал новое машинное оборудование для ускорения производства смазочных материалов, а также изобретал новые способы производства высокоточных пружин.
В 1960 году Фишер покинул фирму и создал там же в Лидсе свою новую Denys Fisher Engineering. И когда фирма уже проработала год, он выиграл контракт на поставку для НАТО всех пружин и прецизионных компонентов для детонаторов 20 мм пушки. Это было особо трудное задание, требующее производство маленьких пружин подобно часовым. Такое, что никакая другая британская фирма в то время не была уверена, что способна их производить. Фишер был неустрашим и потратил шести месяцев на исследование механизмов и разработку спецтехники.
Оказав должным образом впечатленное на НАТО он получает контракт на 50 000 фунтов стерлингов на производство пяти миллионов единиц.
Эти ассигнования придают ему уверенность и предоставляют ему время необходимое для более полного погружения в проект. Еще в Викторианскую эпоху люди были увлечены идеей использования шестеренок для создания узоров, но их скромные достижения в значительной степени были забыты. Фишер же уже некоторое время стремился продолжить эти достижения. И когда он проводил Рождество 1962 с семьей дома, то развлекался постройкой различных рисовательных машинок из деталей детского конструктора Meccano. Неудовлетворенный своими результатами, он пока отложил эти изыскания – и только через шесть месяцев спустя он наконец как Архимед смог прокричать Эврика.
А произошло это так. Как то в воскресенье вечером он слушал Девятую симфония Бетховена, а по окончанию хоральной части музыкального произведения ему было видение: новое устройство должно быть сделано из набора перфорированных пластиковых шестеренок и зубчатых реек.
Он поспешил к себе в мастерскую, где и создал свой прототип Спирографа из шестеренок и зубчатых направляющих колец от деталей детского конструктора Meccano. Вначале он предполагал использовать свое изобретение для создания инструмента для рисовальщиков, но по совету коллег, он решил продавать Спирограф как игрушку.
Он потратил 20 месяцев на усовершенствование своей игрушки и 1000 фунтов стерлингов на патентование ее в 16 странах. В марте 1965 года первый Спирограф поступил в продажу в универмаг Шофилд в Лидсе. Телепередача о спирографе на детской программе BBC Blue Peter оказалось решающим, и в следующем году по всей Великобритании было продано более четверти миллионов комплектов. Спирограф был признан «Самой лучшей образовательной игрушкой года Великобритании» с 1966 по 1969 год.
Познакомившись с Иосифом Штайнером, соучредителем фирмы Kenner Products,- которая в то время уже успешно распространяла пластилин Play-Doh (из которого впоследствии изготовлялись актеры Звездных Войн), он едет в Америку. Фишер заключает соглашение с фирмой по производству детских игрушек Kenner, и вот Спирограф на пути к глобальному успеху.
Способность Спирографа рисовать за один проход цветочные узоры идеально подходила для эпохи психо идиллии и хиппи. Овалы, звезды и кольца нарисованные Спирографом вскоре были на абажурах, вышивках, рождественских открытках, и даже на новогодней обложке британского журнала Панч за 1967 год. В том же году Спирограф был связан с компьютером IBM в Австралии, который установил, что устройство может делать в общей сложности 15625 узоров. Было продано более 100 миллионов единиц в 85 странах.
На волне этого успеха Фишер сумел продать свою компанию в 1970 году. Прежде чем компанию Denys Fisher Toys купила компания Hasbro, она уже производила еще одну известную игрушку – фигурки Dr Who.
Фишер поселился в Дамфрисе до своего переезда в Clappersgate, Cumbria, в 1980-х. Он продолжал сохраняет страсть к изобретательству и разрабатывает другое рисующее устройства Cyclex. Он также работает с фирмой Hasbro по совершенствованию Спирографа.
В 1940 году он женился на Элизабет Стивенсон. У них были дочь и двоих сыновей. Позже он женился Кейт Уэйд в 1969 году. У них было двое сыновей.

[Диана Шипилова]

sexstant
Большое спасибо! Теперь буду знать, кто же изобрел спирограф. Отличная идея!

В том же году Спирограф был связан с компьютером IBM в Австралии, который установил, что устройство может делать в общей сложности 15625 узоров.

Учитывая, что 15625 = 5⁶, можно строить некоторые догадки о количестве шестерен и отверстий в них...))

[Диана Шипилова]

sexstant
Все забываю спросить.

Сколько оборотов совершит малая шестерня до замыкания кривой

— вы же, судя по формуле, имели в виду число оборотов относительно центра большой окружности? Просто я решала задачу с точки зрения неподвижного наблюдателя: тогда оборотов будет все-таки (R – r)/НОД(R, r).

По поводу вашего вопроса.

Что такое "Неподвижный наблюдатель"?

[Диана Шипилова]

sexstant
Тот, кто не вращается относительно центра окружности. Например, я, когда наблюдаю за движением.

Теперь вы видите, что

число оборотов относительно центра большой окружности?

и

Тот, кто не вращается относительно центра окружности. Например, я, когда наблюдаю за движением.

одно и тоже

Проверил на спирографе. Действительно Вы правы. Приношу свои извинения. Просто все дело в моей нечеткой терминологии.
Итак с вашей помощью у нас получились такие формулы
N=R/НОД(R,r) -число пиков
K=r/НОД(R,r) -число пробегов малой шестерни по большой, оно же число оборотов малой шестерни во вращающейся системе координат
N-K= число оборотов малой шестерни относительно неподвижной системы координат

То есть все наоборот - у вас получилась формула для неподвижной системы координат, а я подразумевал вращающуюся

Кстати, для эпитрахоиды число оборотов малой шестерни относительно неподвижной системы координат будет =N+K
(возмите две одинаковые монетки и прокрутите одну вокруг другой. Будет N=1, K=1 и N+K=2)

Кстати, тут проглядывается аналогия с синодическим и сидерическим периодами (вспомните астрономию) для внешних и внутренних планет

[Диана Шипилова]

sexstant
Видимо, мы оба друг друга недопоняли Когда я говорила о

числе оборотов относительно центра большой окружности

, я подразумевала именно вращающуюся систему координат. Да, здесь действительно прослеживается аналогия с синодическим и сидерическим периодом, но я в тот момент об этом не думала

[Диана Шипилова]

K=r/НОД(R,r) -число пробегов малой шестерни по большой, оно же число оборотов малой шестерни во вращающейся системе координат

Что вы понимаете в данном случае под "числом оборотов"? Если число оборотов малой окружности вокруг ее собственного центра, то оно совпадает с числом пиков. Вы сами писали об этом в одном из комментариев выше.
По поводу всего остального согласна

Да действительно, опять неточно с моей стороны.
K=r/НОД(R,r) -число пробегов малой шестерни по большой. И на этом остановится
А далее его можно трактовать как число оборотов большой шестерни во вращающейся системе координат.

[Sognare87]

Здравствуйте!!! Диан, можно вот такой вопрос- вот первые скрины, это с помощью чего вы получили эти графики, на какой программе реализовывали их построение? З.Ы. Если не секрет) просто пишу диплом по циклоидальным кривым нужно Builder C++ реализовать их построение чтот не получаются) есть конечно вариант что я просто не правильно делаю, вот и интересуюсь на чем у вас реализация.

[Диана Шипилова]

Sognare87
Это программа для построения графиков GraphPlotter

[Sognare87]

Оу))) Приятно удивили) оперативно)) Спасибо большое!!!