Пятый постулат Евклида и Абсолютная геометрия

[Amicus Plato]

Пятый постулат Евклида еще известен как "аксиома параллельности".
Если посмотреть на запись пяти постулатов, то сразу бросится в глаза, насколько пятый отличается от четырех остальных.
Первые четыре очень лаконичны, интуитивно очевидны, и сразу понятно, о чем в них идет речь.
Что касается пятого, о чем идет речь в нем, конечно, тоже понятно, но сформулирован он уже совсем иначе.
И бросается в глаза это не только нам.
Пятый постулат волнует математиков с тех самых времен, как были написаны "Начала".
Было бы естественно предположить, что это не постулат, а теорема, и попытаться ее доказать.
Снова процитирую этот постулат (на этот раз с картинкой):

5. (Акс. 11.) И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.

Доказывать его начали практически все подряд комментаторы "Начал".
Первыми попытались это сделать Птолемей и Прокл.
Клавдий Птолемей

Больше мы знаем его как астронома и географа. Но однако он автор вот такой книги:

которую я очень хочу почитать.
Книга на либрусеке: здесь.

Про Прокла (извините за аллитерацию)) разговор пойдет дальше и будет подробней.

Сейчас подведу некоторое "резюме" словами Википедии:
В течение 2 тысячелетий не прекращались попытки исключить пятый постулат из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида». (Смилга В. П., стр. 4.) Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.

До "пересмотра научных представлений о геометрии Вселенной", я надеюсь, мы дойдем, а сейчас скажу пару слов о влиянии уже самого наличия пятого постулата на геометрию.
Именно благодаря ему возникла так называемая Абсолютная геометрия. Это та часть геометрии, все результаты которой не зависят от пятого постулата.
То есть это пересечение геометрий Евклида, Лобачевского и Римана.
(Насчет Римана — я пока не знаю, по праву ли я его сюда написала, потому что геометрия Римана отличается от сферической геометрии, которая как раз является полной противоположностью геометрии Лобачевского. Но я надеюсь, здесь мы разберемся общими усилиями).

Термин "абсолютная геометрия" был предложен Яношем Бойяи в 1832 году.
"Бойяи" — это транскрипция Википедии. В других солидных словарях его фамилия пишется "Больяй".
Это венгерский математик, и в Википедии он нем написана замечательная статья.
Переписывать ее мне не хочется, да и смысла нет.
Но вот почитать очень рекомендую: ru.wikipedia.org/wiki/Бойяи,_Янош

Что касается абсолютной геометрии, то к ней относятся первые 28 теорем «Начал» Евклида.

И еще цитата из Википедии:
Поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии.
Примерами других теорем, недоказуемых в абсолютной геометрии, являются многочисленные эквиваленты V постулата.

А я вот посмотрела повнимательней на текст "Начал" и впечатлилась.
Некоторые теоремы (которые там называются "предложениями") имеют несколько "необычные" формулировки.
Вот, к примеру:

Comments

[Диана Шипилова]

Хороший рисунок!))) Предложение 14 меня впечатлило. Особенно когда я поняла, о чем там речь)))
Про термин "абсолютная геометрия" не знала...

[Amicus Plato]

Диана Шипилова
Предложение 14 это еще не самый перл, просто оно в удачном месте страницы расположено, и его копировать было легче.
Некоторые предложения звучат как императивы
Например:


А рисунок не мой))
Википедийный )

[Диана Шипилова]

Некоторые предложения звучат как императивы

Ы!))))
Я про гифку — ее не ты делала?))

[Amicus Plato]

Диана Шипилова
не-а, не я))))
Теперь вот думаю: может, сделать авторскую?