Суммирование ряда.

[Cara]

Приведу несколько интересных задач:

1)
Найти формулу описывающую сумму ряда 1+11+111+1111+...., соответсвенно 1-первый член, 11-второй и т.д. Подставляешь в формулу любое количество членов и находишь сумму :-))))

2)
0,0,0,1,0,2,0,1,1,2,0,2........
Дайте закон объясняющий эту последовательность. Я понимаю, что под эти цифры можно найти бесконечное число законов, но все-таки попробуем.....

3)
На сколько частей можно разрезать тор (бублик) тремя плоскостями?

4)
И на сколько остроугольных треугольников можно разрезать квадрат? (интересует минимум треугольников)

Ответы легко найти у меня в дневнике (я веду его не часто, поэтому он маленький).
Решайте в удовольствие.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Comments

[Килько]

На четвертый вопрос сразу и почти не раздумывая (лишь запуская пейнт) могу дать ответ: три =) Если одну из сторон квадрата разбить на два равных отрезка некоторой точкой, а затем из этой точки провести два отрезка к углам, противолежащим разбитой надвое стороне.
В третьем вопросе не совсем понятно, нужно искать максимальное или минимальное количество частей?.. Можно лишь предполагать, что максимальное. Тогда... В студии получилось десять. Но описать я это не в состоянии =)
А вот первое и второе не даются. Да и поздно уже думать. Пора спать.
Хотя, вот кстати формула для первого: ∑(i = 1; x; ∑(j = 0; i - 1; 10^j)) =))) По крайней мере, Mathematica по этой формуле решения дает для x < 10000. Десять тысяч не решает - памяти не хватает (даже в файле подкачки). А две тысячи решает. Больше двух тысяч не пробовал - долго ждать.

[Cara]

На четвертый вопрос сразу и почти не раздумывая (лишь запуская пейнт) могу дать ответ: три =) Если одну из сторон квадрата разбить на два равных отрезка некоторой точкой, а затем из этой точки провести два отрезка к углам, противолежащим разбитой надвое стороне. Прямоугольные треугольники не относяться к остроугольным. И даже если бы относились твой ответ не минимум, можно было бы разбить на два треугольника...

∑(i = 1; x; ∑(j = 0; i - 1; 10^j)) =))) Естественно это не формула для суммы. ))))

[Sensile]

Killen
По поводу четвертого - таким образом получаются один остроугольный и два прямоугольных треугольника. Или я что-то не поняла?

[tattyana]

4) минимум для меня ноль - не резать (переучила ФАН)

[Килько]

Sensile Ну что вы так... Все прям испортили... Все, блин, эти треугольники съели мой моск. Полчаса рисовал - ни в какую. Мне же питаться чем-то нужно! А я только проснулся и... Брр...

[Cara]

Мне же питаться чем-то нужно!
Питайся моском!

[chebur12]

1)

на вскидку


(1)+(10^i+1)+(10^(i+1)+10^i+1 )+(10^(i+2)10^(i+1)+10^i+1 ))....

короче думаю про десятичные логарифмы в общем... может прологарифмировать её представить единицы, десятки и сотни через логарифм и с предлами канибудь тут поиграться



lg10+Lgi+Lg(i-10^j) : 111 при i=n ......3,2,1 ????7 СЧЕтчик изменяется тысячами, сотнями, десятками,
а j=0,1,2....m


Lg10=1 ; ну както покрутить надо Lg1=0

[Amicus Plato]

Cara Тор, по-моему, на восемь... Больше что-то никак не могу придумать... Там же максимум имелся в виду?
Нет?

[Amicus Plato]

1)
Найти формулу описывающую сумму ряда 1+11+111+1111+...., соответсвенно 1-первый член, 11-второй и т.д. Подставляешь в формулу любое количество членов и находишь сумму :-))))

Сильно мешает представление в компьютере чисел с плавающей точкой (((
Написала программу, а отследить "начертание" не удается...
Ну, сначала-то всё просто:
123456789

потом:
12345678900
123456789011
1234567890122
...
12345678901234567899
1234567890123456789010
12345678901234567890121
123456789012345678901232
...
1234567890123456789012345678...

Короче, всё хорошо, кроме младших разрядов, в которых всё плохо... ))))))))
на втором витке младший разряд дублируется, на третьем — всё совсем вкось идет... (((
Плохо... )))))
В смысле: я плоха...
Надо думать...

[Cara]

Amicus Plato Да имелся в виду максимум.
Я тоже сначала пытался вывести закон из 123456789.... но мой совет - брось это. Попытайся подойти с другой стороны.

[Amicus Plato]

Cara а насчет максимума: восемь — неправильно??? Можно на больше?

Зато с цифрами очень красиво выходит...
С другой стороны уже завтра попробую подойти... Ибо тесты высасывают мою душу... (((

[Amicus Plato]

Cara а тор и плоскости в каком пространстве? Не Минковского случайно? Там всё возможно...
Да даже если и Лобачевского взять, тоже неоднозначно... )))

[Килько]

У меня тор на все десять разделился, но дальше - никак.
Как-то у вас программка не так работает... Кажется... У меня на программке и вручную получались несколько другие числа:
1234567900
12345679011
123456790122
...
1234567901234567899
12345679012345679010
123456790123456790121
1234567901234567901232

Я закономерность вообщем-то уловил, но она сложна для моих куриных мозгов, я не могу по ней восстановить определенный элемент. Самый простой элемент в этой закономерности: последовательность 123456790, повторяющаяся столько раз, сколько десятков элементов суммируется. Дальше идет последовательность из нескольких цифр, количество которых определяется значением нулевого разряда (т.е. значением цифры из разряда единиц) количества суммируемых элементов ПЛЮС количество десятков. Но это-то понятно. А вот само значение этой последовательности восстановить не удается, хотя она вполне прощупывается. Но вот не хватает мне мозгов, чтобы сделать последний шаг и свести все это вместе... У меня программка максимум две тысячи элементов суммирует (Mathematica 5.1) (а может и больше... Я пробовал две тысячи, затем сразу десять тысяч. Десять тысяч она не смогла вычислить - памяти не хватило, у меня вместе со свопом "всего лишь" пять гигов =)). А в качестве формулы я использовал это: ∑(i = 1; x; ∑(j = 0; i - 1; 10^j))

[Amicus Plato]

Killen у меня обычная убогая программка в ВБА:

Private Sub CommandButton1_Click()
Dim sum As Double

sum = 0

For i = 0 To 100
For j = 0 To i
sum = sum + 10 ^ j
Next
Debug.Print sum
Next

End Sub

Только не понимаю: по-моему результаты у нас один в один совпадают...
Только мы не на верном пути ))))))))))))))))))))

[Amicus Plato]

Killen и дальше сотни слагаемых я не считала. Да как выяснилось и толку нет... На 15-м знаке она уходит в полную несознанку: выдает число с плавающей точкой...

[Sensile]

Как я поняла, здесь надо не программу, а просто формулу вывести

[Amicus Plato]

Sensile программа — исключительно "для наглядности", поскольку, как я понимаю, формула нужна именно записи числа. С суммами, слава Богу, все мы разобрались )))
А когда видишь начало ряда вживую, как-то легче представлять то, что ближе к хвосту...
Однако, как оказалось, не в этом случае...

[Килько]

Amicus Plato Дык, что-то вы с прогой не то... Напутали.
Sensile Прогаем мы для того, чтобы получить некоторые числа из этой последовательности и по ним попробовать эту формулу вывести =)

[Amicus Plato]

Killen отчего? Прога верная...
А числа, что написаны, — не из нее. Она гораздо раньше кроме мантиссы ничего не выдает.
Числа получены эмпирическим путем на калькуляторе )))
Там вполне допускаю миллиона два ошибок. Ибо никогда не была сильна в выполнении большого количества арифметических действий...

[Sensile]

Здесь, по-моему, сразу было понятно, что по частным случаям закономерность не уловить
Вернее, может и уловить, но не записать аналитически

[Amicus Plato]

Sensile это смотря как обобщать... Мало ли... Ну, не получилось так, посмотрим, как можно по-другому )))

[Килько]

Sensile Уловить-уловить! Но, блин, нужна пара чашек кофе, хорошее настроение, хорошая еда в животе и полнейшая тишина =)

[Cara]

Amicus Plato Тор в трехмерном евклидовом пространстве.
Когда кто-нибудь решит, приведу полностью ход своих мыслей при решении задачи.

[Sensile]

Killen
Слишком много дополнительных условий=)
Лично у меня их никогда одновременно не было=)

[Килько]

Cara А с тором десять - это не максимум? Нда...
Sensile Да, но тем не менее =) Я-то уж точно с формулами не справлюсь, в силу своей едва ползающей математики =))

[Sensile]

Что-нибудь типа такого не пойдет?

[Килько]

Sensile Это решение?..

[Sensile]

Killen
Не знаю=) Типа того

[Cara]

Sensile Еще нет

[Sensile]

Cara
А что здесь не то?