[Amicus Plato]

Задача про Деда Мороза открыла нам поразительные горизонты и перспективы.

Она показала, что операции с бесконечными множествами нужно производить не то что даже "аккуратно", но с большим пиететом.

И первое, что всегда надо делать, — выяснить мощности множеств, которыми мы собираемся оперировать.

"Мощность" для бесконечного множества равнозначна "числу элементов" для множества конечного.
Мощности множеств определяются специальными числами — "кардиналами".
Самое "маленькое" – это счетное множество, такое, в котором все элементы можно пронумеровать. Скажем, множество всех натуральных чисел. Его мощность кардинальным числом обозначают אо – алеф-ноль!
Все действительные числа образуют множество мощности א – алеф. Мощность א называется мощностью континуума. Причем, есть такая теорема Кантора, из которой следует, что для каждого кардинала, существует кардинал больше него. То есть, бесконечности все уплотняются, и нет этому конца. Бесконечность одних множеств вкладывается в бесконечность других.

Два бесконечных множества равномощны, если существует взаимно однозначное отображение из одного множества в другое.

Например множества всех натуральных чисел и всех положительных четных чисел равномощны.
Отображение, устанавливающее связь между ними: n —> 2n
То есть, на первый взгляд, четных чисел вдвое меньше.
Оказывается, это не так.
Чисел, делящихся на 3, на 5, на 10 и даже на сто миллионов в совокупности ровно столько же, сколько и всех натуральных чисел вместе.
Это не парадокс. Это факт.

А теперь внимание, вопрос:

Как вы думаете, квадрат и сторона квадрата имеют одинаковую мощность?
То есть в них одинаковое "количество точек"???

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

Comments

[lyambda]

Amicus Plato какие умные вещи пишешь аж жуть

[Amicus Plato]

lyambda вещи обычные ))
Говори: одинаковое количество точек, или нет?

[lyambda]

Amicus Plato да ты шо, мать. Я же пост еще не читала. Сейчас прочту

[Amicus Plato]

lyambda

[lyambda]

Amicus Plato жесть! есть два варианта:
1. Количество точек одинаково
2. Количество точек разное
Длина стороны и периметр фигуры конечны, но множество точек внутри конечного отрезка бесконечно.
Вообщем по человеческой логике разное, но на самом деле одинаковое

[Sensile]

Amicus Plato
Я правильно поняла -сторона квадрата и множество точек квадрата, считая и те, которые внутри его границы? или квадрат как совокупность четырех сторон?
Во втором случае сторона и квадрат (4 стороны) равномощны
В первом надо еще подумать

[Amicus Plato]

Sensile Квадрат как двумерная фигура: совокупность точек плоскости, ограниченная четырьмя сторонами.
Первый случай из твоих двух.

[Amicus Plato]

lyambda я не про "периметр" — я так сказать про "площадь"
Равномощна ли двумерная фигура одномерной?
Точно так же можно задать вопрос: существует ли биективное отображение плоскости на прямую; пространства на плоскость и т.д.

[Sensile]

Amicus Plato
Вот интересно - обозначения R, R^2 (для двухмерного) R^3 (для трехмерного)
Что-то такое помнится....
Буду пытать память)))

[lyambda]

Amicus Plato я матан всю жизнь пересдавала, но пока не вижу в этом ничего не возможного на бесконечности. У меня такое ощущение, что эта область математики до конца не изучена и поэтому там может быть все

[Amicus Plato]

Sensile Возьми квадрат со стороной единица, чтоб мороки меньше было! )

lyambda Это скорее теория множеств...
Просто когда я об этом прочитала, испытала нешуточный шок.

Хотя парадокс Банаха-Тарского пожалуй всё равно "круче"!..

[lyambda]

Amicus Plato я его вчера из-за Деда прочла. Всегда знала что Банах монстр, но не думала что настолько

[Trotil]

Прямое произведение счетных множеств - счетно... А вот как дела с континуумом - не помню. Точки на прямой и - в квадрате - это ведь континуум?

[Amicus Plato]

Sensile

Вот интересно - обозначения R, R^2 (для двухмерного) R^3 (для трехмерного)

Гм...
А я ведь никогда не воспринимала это как степени ))))
Только как индексы "мерности" пространства
)))

[Amicus Plato]

Trotil да, мощность алеф.

*Кантор же, кстати и выдвинул (и доказал(?)) континуум-гипотезу.

[Amicus Plato]

lyambda я про Банаха такой ужас прочла в Википедии...
Зарекусь наверно биографии читать ((((

[Sensile]

Trotil
Вот и я не помню

[Amicus Plato]

Sensile, Trotil мощность континуум имеют довольно разные (по своей природе) множества.

Например, множество всех подмножеств счетного множества.

Не думаю, что тут есть что-то универсальное.

Речь идет лишь о квадрате и его стороне.

[Cara]

Думаю, что одинаково... хотя вроде я давно читал про это.

1) Потому, что здесь подвох, если бы было бы наоборот думаю никто бы не спросил.
2) Можно предположить, что в любом n-мерном кубе столько же точек.

[Amicus Plato]

Cara
1) это не честно!
2) истинная правда!

[chebur12]

Amicus Plato я у тебя где-то читала... уж не поню в сообществе или нет, про отображния? проекцию куба... в разных метрических пространствах.... и что куб с увеличением метрики пространства отображается в проекции сначала в ребро потом в точку..........



Могу ошибаться...но, тут кажется что-то из этой оперы...?

[Amicus Plato]

chebur12 я же уже ответ повесила ))))

А про куб — это не у меня... Впервые слышу. Очень интересно!
Может, найдешь, где ты это видела?

[chebur12]

Amicus Plato

Может, найдешь, где ты это видела?

это врядли... в голове столько мусора... и откуда он взялся уже и не знаю

[Amicus Plato]

chebur12
плохо... (((

[Гость]

Amicus Plato, здравствуйте!!

Мощности множеств определяются специальными числами — "кардиналами"

обозначают אо – алеф-ноль

множество мощности א – алеф

Совершенно понятно, что кардиналов алеф ноль, а может быть и нет?!
Кто-нибудь может подсказать, мощность множества может быть промежуточной, те между "алефами" еще кардиналы есть?

[Amicus Plato]

Гость
Вопрос не совсем понятен: между мощностью счетного множества и мощностью континуум?
Это вы имеете в виду?
Скажу осторожно: пока между мощностью множеств рациональных (алеф-ноль) и действительных (алеф) чисел промежуточной мощности не найдено... Мало ли что дальше будет...
Не знаю, есть ли доказательство, что они в каком-то смысле плотны...
Может, это как раз доказывается континуум-гипотезой.

Совершенно понятно, что кардиналов алеф ноль, а может быть и нет?!

Что значит: "а может быть и нет"?

[Гость]

Amicus Plato

Что значит: "а может быть и нет"?

1 может множество кардиналов плотно в себе?
2 может кардиналов, континуум?
3 а может и еще больше...
интересно, а где-нибудь можно информацию найти, кроме как в талмудах по мат.анализу?
Спасибо за ответ, но я как бы не сомневался, что на числах кардиналы соответствуют положительным натуральным числам. А вот для множеств другой природы?-не связанных с выдумками(алгебра, геометрия, мат.ан,..) человека мужского пола. Где-то слышал, что если бы матриархат не рухнул из-за кровожадности самцов, то науки бы не было вовсе, или она(наука) развилась по пути, который сейчас описать не возможно, и не факт, что нашелся бы хотя бы один самец, разбирающийся в науке матриархата...
пример множества другой природы: количество возможных эмоциональных восприятий морского бриза...(интересно, а какая у этого множества мощность???)
кстати, я самец, и именно осознание придуманности науки (которую можно вызубрить не понимая) оттолкнуло меня от развития своих размышлений по ряду вопросов элементарной математики, и аналитической физики...

[Cara]

кстати, я самец,

Ржу нимагу )))))))))))))

[Гость]

Cara

Гость

кстати, я самец,

если несложно, вы представьтесь еще каким-нибудь альтернативным образом. А то с анонимом не слишком удобно разговаривать )

Насчет матриархата и самцовой науки — могу только наговорить кучу банальностей. В частности, про левополушарное и правополушарное мышление. Про то, что левое полушарие, отвечающее за формально-логическое мышление, как раз больше развито у "самцов" — это их прерогатива. И наука, создаваемая ими (это я уже от себя говорю), по большей части представляет собой построение и дальнейшее изучение и совершенствование модели, суррогата реальности, с которым мы напрямую связываем наше понимание этой самой реальности.
Однако же понимание наверняка может быть иного рода: как "откровение", как интуитивное постижение, как целостное восприятие, и т.д. Звучит диковато, но думаю, именно потому, что все мы вскормлены одной и той же традицией.

Тьфу ты. Теперь Гость — это я (Amicus Plato)))))

[Cara]

Amicus Plato

если несложно, вы представьтесь еще каким-нибудь альтернативным образом.

Он представился!!!!

кстати, я самец,