Вот задались академической группой вопросом, с которого числа начинается натуральный ряд. Варианта, конечно, два: ноль и единица. Обычно говорится, что в русскоязычной литературе отсчёт идёт с 1, а в зарубежной с 0. С другой стороны, в работах логиков (а не математиков) фигурирует 0 в качестве пресловутого начала. Так как же всё-таки верно? Неужели, это вопрос персональных взглядов и приверженности той или иной концепции?
вторник, 21 октября 2008
Комментарии
-
-
21.10.2008 в 19:25Произведем сдвиг натурального ряда: если к каждому натуральному числу прибавить 1, то получится тот же самый натуральный ряд и еще одна точка — ноль или один, — в зависимости от идеологических убеждений граждан, то ли они считают, что ноль – натуральное число, то ли нет.
А вообще, этому посвящена одна из первых записей сообщества:
www.diary.ru/~Organon/p18589301.htm
-
-
21.10.2008 в 19:34-
-
21.10.2008 в 19:45А каковы эти основные операции?
И чем "с нулем" отличается от "без нуля"? ))
И так и так только складывать мы можем безопасно. Вычитать — уже нет.
-
-
21.10.2008 в 20:12Зарубежье разное бывает. Я вот в Гёттингене учусь, тут с 1. Хотя и про 0 сообщают.
-
-
21.10.2008 в 20:21фик его знает...
я же на самом деле всесторонний анализ не проводила...
Просто прочла кажется у Пенроуза, что он натуральный ряд с нуля считает. И еще потом у кого-то, и не раз...
Вот и сделала ложное индуктивное заключение)
Бывает)
-
-
21.10.2008 в 21:08И, кстати, ноль - это первая _цифра_ в цифровом ряду.
ИМНСХО, так: ноль - суть точка начала отсчета, а единица - суть первая значимая цифра. Поэтому речь, скорее, не о приверженности той или иной концепции, а о сути той или иной задачи. Если рассчет абстрактный - то точкой отсчета служит нулевая отметка. Если же рассчет конкретный - то мы берем единичу в качестве первого реального значения.
-
-
21.10.2008 в 21:35компьютерщикам, как мне кажется, сугубо по барабану, чем они оперируют: натуральными числами или целыми неотрицательными. Я имею в виду "терминологию и определения". Т.е. прагматиков вопросы классификации, как правило, интересуют ровно настолько, чтобы они могли не путаться в терминологии и друг друга однозначно понимать.
Может, я опять необоснованно обобщаю, но сама программистом 13 лет проработала))) У нас было именно так.
-
-
21.10.2008 в 21:38Наличие нуля дает нам нейтральный элемент относительно сложения
В этом случае имеем множество с ассоциативными операциями сложения и умножения и нейтральными отн. них, то есть как по сложению, так и по умножению N будет образовывать моноиды
Без нуля - по умножению моноид, а по сложению только полугруппа
Куликов (наш автор) 0 включает в множество натуральных чисел
-
-
21.10.2008 в 21:43А! Ну точно, непростительно стормозила я насчет сложения! ((((
А про "включать-не включать": вот так вот даже в самом "простом" вопросе однозначности не найдешь.
В Википедии вон написано, что только в трудах Бурбаки ноль входит в натуральные числа...
-
-
21.10.2008 в 21:53Нет, ты правильно ответила
Основные операции + и *, относительно них оно замкнуто будет
Вот просто дальше иначе выстраивается
А симметричных (обратных, противоположных) по-любому не будет, то есть вычитания и деления нет
Википедия как всегда не совсем права
Я вот все хочу отсканить учебник Куликова
Он от 1979 года, а почему-то в электронном виде не встречается
А мне учебник нравится
Большой только - 559 стр (это я о скане). Но зато вся почти алгебра и теория чисел
А однозначности нет - это точно. Все зависит от договоренности
-
-
21.10.2008 в 21:57дай точное название! Я у себя в Колхозе погляжу!
Там много чего старого есть!
-
-
21.10.2008 в 22:05Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел
Только у меня есть поиск по трем крупнейшим библиотекам колхоз, мехмат и homelab. Он ничего не дает
gen.lib.rus.ec/
-
-
21.10.2008 в 22:24у меня же на дисках!
Я поищу.
-
-
21.10.2008 в 22:26нету(((
-
-
21.10.2008 в 22:32-
-
21.10.2008 в 22:43Хотя, понятно, что самого нового на них нет.
-
-
21.10.2008 в 22:50Я не знаю((
там ведь поиск как организован - надо либо фамилию, либо часть названия и он выдает список
А полного каталога нет
Да и вообще все полузакрытое ( мехматовская она вообще закрытая, а тут все таки хоть что-то оттуда можно повытягивать)
-
-
21.10.2008 в 22:54я не их поиском ищу)
Я их все скинула на диск и ищу уже средствами тотал коммандера))
Потому что бродить по их каталогам это крайне утомительно и нелепо (((
А так за пять секунд всё видно. Только надо не ошибиться в фамилии или названии.
-
-
21.10.2008 в 23:00И только так, как ты описываешь, можно найти
-
-
21.10.2008 в 23:16ну и я тебе про то же )
только я с дисками так же маялась, пока не
поумнела))))купила компьютер с большим винтом )Теперь у меня личный "полный каталог".))
А раньше совершенно мрачно было там что-то искать.
-
-
23.10.2008 в 23:31Если детали нужны-пороюсь в лекциях.
И, вообще, Ольга, почему вы меня не спрашивали, мол как ,если матан сдать не могу-нет мне доверия?)))
-
-
23.10.2008 в 23:37Все дело в том, что и аксиомы тоже можно подредактировать с учетом нуля. То есть строить аксиоматически именно такой натуральный ряд
Могу отсканить эту систему аксиом
-
-
23.10.2008 в 23:52подредактировать это сильно? или это в случае противоречий писать "исключая нуль".
А вообще, выложите скан, любопытно.
Оль, тебе наверняка помнится аксиоматика Пеано, у вас по ней что-то говорили, там с единицы.
-
-
24.10.2008 в 00:19Куликов Алгебра и теория чисел)
Здесь уже в список аксиом заложены операции сложения и умножения.
Мне «ближе» (привычнее) считать аксиомами Пеано следующие
Близко к Феферману Числовые системы
Тут уже операции вводятся не аксиоматически.
На самом деле, на мой взгляд, все равно какой аксиоматикой пользоваться. Главное, чтобы потом все выстраивалось в дальнейшем.
То есть мой взгляд гибкий
-
-
24.10.2008 в 00:32Потом существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
* перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
* обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются. (Википедия)
Так вот с точки зрения второго подхода (Бурбаки) 0 - натуральное число
Дословный текст аксиом Пеано (нашла в Инете, так что тапками не бить)
Текст < аксиом > < Пеано >, как он приведен в оригинальном издании < Пеано >.
«0 есть натуральное число»;
«следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
«0 не следует ни за каким натуральным числом»;
«всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
< Аксиома > полной индукции.
-
-
24.10.2008 в 00:50Что же касается всего остального - какие у нас появляются трудности, проблемы при использовании аксиоматики с нулём и без него?
-
-
24.10.2008 в 01:03Я не специалист по числовым системам
Какие могут появляться трудности???
На мой взгляд, это вопрос приверженности тому или иному подходу и аксиоматическое выстраивание будет приблизительно равным по трудности
И что вообще понимать под «трудностью»? под проблемой? Это ведь просто вопрос подхода. Кое-что будет меняться в формулировке и доказательстве теорем. Так или иначе система целых чисел будет определяться как минимальное комм., ассоц. кольцо, содержащее полукольцо натуральных чисел и т.д.
-
-
24.10.2008 в 10:47Насчет аксиоматики Пеано здесь тоже была запись, если это еще актуально:
www.diary.ru/~Organon/p39913091.htm
Там в тексте того поста с единицы...
Но моя точка зрения совпадает с тем, о чем пишет Sensile.
Кстати, для теоретико-множественного определния натуральных чисел, характерно, что ряд таки начинается с нуля.
Но опять же если вспомнить сколько боёв было в математических кругах во времена Кантора вокруг пустого множества, которое считали математической фикцией и пытались строить аксиоматику без него, то ничего, в принципе, удивительного в этом всём нет.
-
-
24.10.2008 в 10:53кстати там же в Википедии ниже текста, который ты привела, мне очень нравится приписка)))
Примечание: то, что первый элемент здесь 0, а не 1, принципиального значения не имеет.
-
-
24.10.2008 в 16:001) Пусть существует N(множество), n - Элемент N, в котором для любого n из N существует ровно один следующий (n+1)
2) любой n из N может быть следующим не более, чем у одного элемента N
3)Cуществует и единственный элемент N не являющийся следующим
4) Пусть M подмножество N такое что а) 1 принадлежит M б)Если m принадлежит М, то (m+1) принадлежит М.
тогда M=N -натуральный ряд.
Комментарии: Проблема такого определения натуральных чисел в том, что мы опираемся на аксиому мат.индукции, которая в свою очередь построена на принципах натурального ряда.
Более естественным является определение натурального ряда через пустые множества (обозначу их @)
вводить его можно по схеме
{@}; {@,{@}} и так далее.
тут лектор к сожаление не обременил себя деталями.
Свойства множества и введенные на нем операции не описываю.