Задача о параде планет

[krystofer]

Я уверен, что все знают что такое парад планет, но для тех, кто забыл:
парад планет - это когда они в какой-то момент времени выстраиваются в линию. Есть полный и неполный парад планет (я думаю интуитивно понятно).
Так вот задача, примем,что Меркурий вращается с частотой 1, Венера - 2, Земля - 3, ..., Нептун - 8. Сейчас парад планет. Через сколько времени мы будем снова иметь парад планет.
Немножко сложнее: как найти время нового парада планет, если частоты вращения планет заданы произвольными рациональными числами?

Comments

[Trotil]

> Парад планет - это когда планеты на одной прямой находятся,
> а прямых можно провести бесконечное множество...

Если частоты - рациональные - парад может быть только в конечном числе точек.

-------------

А в общем случае не уверен, что ответ можно записать.
Думаю, что в общем виде можно записать только общий вид решения уравнений КТО для каждой возможной точки (число которых предварительно ищется), а затем для конкретных значений ищется, какое число меньше.

[xahondria]

...ээ... тут же вроде витала идея составить систему уравнений в полярных координатах(не важно в каких в общем-то). Ну, она и была бы общим решением.

А что такое "уравнения КТО"?

[Trotil]

в полярных координатах

Не пробовал так записывать. Навскидку, если решать преобразованием к sin(x) и sin(phi) (cдвиг) - получится что-то нерешаемое высоких степеней.
Если приравнивать углы (с учетом периода) - получаем систему уравнений, решаемую через КТО (согласен - уравнения КТО - звучит терминологически неверно).

КТО - китайская теорема об остатках.
(я сразу записывал эти уравнения)

Сложность в том, что для произвольных частот нельзя в общем виде указать, в какой точке произойдет встреча раньше, в какой позже.

Если я в чем ошибаюсь, поправьте меня.

[xahondria]

хи, а КТО забавная теоремка, я раньше даже не слышал о ней 0_о спс))

О. Теперь я понял, в чём сложность. А что, если построить графики движения планет от времени, и посмотреть, где они пересекутся первый раз? =)

А еще, раз уж число точек пересечения конечное, можно найти все возможные точки пересечения, и посчитать во всех них время. Где время меньше, там и ответ.

Хотя оба метода... для компа. Было б интересно какое-нибудь простое и гениальное общее решение найти)

[krystofer]

Amicus Plato
рациональные числа представляем в виде обыкновенных дробей, приводим к общему знаменателю. После чего ищем НОК/2 всех числителей
!!!ответ верный, поздравляю!!!

[xahondria]

krystofer
Неа.
Частоты 1/12, 1 и 60. Они рациональные.
Приводим к общему знаменателю: 1/12, 12/12 и 720/12.
НОК числителей НОК(1,12,720) = 720.
НОК/2 = 360 Х_Х Это что? О_О

Ладно, НОК частот правда глупо искать, наверно надо искать НОК периодов, чтоб время в ответе получить. Попробуем:
Периоды 12, 1, 1/60.
Приводим к общему знаменателю: 720/60, 60/60, 1/60.
НОК/2 = 360 Х_Х ой. Что это? 360 часов??? Быть такого не может =)

АА, на знаменатель забыл поделить, точно! 360/60 = 6 часов... ой. похоже эпик фэйл. Ответ неправильный -_-
Правильный ответ 7/6.

[krystofer]

xahondria
Давай рассмотрим твой ответ. Частота у нас имеет размерность в оборотах/час. Умножаем частоты на ответ и получаем положение стрелок (ведь они стартуют с одного места): 1/12*7/6=7/72=0,09722222...; 1*7/6=7/6=1,166666....; 60*7/6=70. Получаем разные положения стрелок. Поэтому ответ 7/6 неверный. При ответе 720 или 360 получаем целые числа оборотов, значит имеем верное решение. Вопрос в том нет ли менших верных чисел? Мой ответ - нет.

[krystofer]

Рассмотрим задачу с более простыми рациональными частотами 1/2 (квадратик), 1/3 (треугольник), 1 (круг). Решение вы видите на рисунке - они встретятся через 3 часа.

[xahondria]

Ага, туплю =) ответ и правда с потолка взял и не проверил Х_Х
Взял в руки ручку и бумажку, записал систему, и пришел к выводу что для решения НОК удобно использовать. лол.
Спасибо за вправление мозгов)

[Trotil]

Имеем следующее: пусть x - время

Есть стрелки: cекундная, минутная и часовая.

Секундная (C) делает оборот за 60 секунд, минутная (M) - за 3600 секунд и часовая (Ч)- за 43200 секунд.

Этап первый: пробуем определить точки возможных встреч (если в стартовой задаче она очевидна и все упрощает, то здесь это выливается в отдельный этап)

Итак: после старта

С и М встретятся на 360/59 градусе (и потом на 360*2/59 градусе, на 360*3/59 градусе и т,д),
M и Ч встретятся на 360/11 градусе (и потом на 360*2/11 градусе, на 360*3/11 градусе и т.д.)

Так вот - нет таких i и j ( не равных нулю, чтобы 360*i/11 = 360*j/59 < 360

И встреча возможно только на месте старта - через 24 часа.