Задача о параде планет

[krystofer]

Я уверен, что все знают что такое парад планет, но для тех, кто забыл:
парад планет - это когда они в какой-то момент времени выстраиваются в линию. Есть полный и неполный парад планет (я думаю интуитивно понятно).
Так вот задача, примем,что Меркурий вращается с частотой 1, Венера - 2, Земля - 3, ..., Нептун - 8. Сейчас парад планет. Через сколько времени мы будем снова иметь парад планет.
Немножко сложнее: как найти время нового парада планет, если частоты вращения планет заданы произвольными рациональными числами?

Comments

[Dagda]

нок

[Amicus Plato]

Dagda
и я того же мнения

[Dagda]

Amicus Plato мы друг друга поняли)

[Крутой Ник]

ну нет, нок это если они вернутся в первоначальное положение, а они же могут выстроиться и в любом другом месте

krystofer, 1-8 это не частоты, а периоды обращения, нет?

[Amicus Plato]

Dagda
ага)
но судя по всему не поняли Кристофера )))

Omnicide а-а... я как-то не подумала даже...
почему-то решила, что речь о "том же месте" идет... (((

[Dagda]

Amicus Plato пойду составлять уравнения)

[Amicus Plato]

Насколько я теперь понимаю, это всё равно что задача с часами с восемью стрелками))) И с периодами обращения, равными 1, 2,3,...8 единиц. (На обычных часах — 1 и 12). Две стрелки совпадают дважды за период самой быстрой стрелки. С восемью надо поглядеть, сколько получится.

[Dagda]

Amicus Plato типа того)

[Крутой Ник]

ну что? какие идеи? я думаю, надо выписать уравнение изменения координат для каждой "стрелки" (чето типа уравнение движения по окружности) и взять за условие, чтобы косинус угла между каждой "стрелкой" и, например, самой маленькой равнялся 1 (т.е. угол был бы 0).

[Dagda]

Omnicide я думаю, что надо в угловых координатах писать уравнения и эти угловые координаты приравнивать?

[krystofer]

Omnicide
да это периоды вращения)

[Крутой Ник]

Dagda, получается? я, честно говоря, плохо представляю, как уравнения написать

[Dagda]

Omnicide не очень...
krystofer а они со светилом тоже должны быть на 1 линии или не обязательно? и все по одну сторону от него или пофигу?

[Amicus Plato]

У меня сегодня было полпары свободной, и за это время я пришла к интересным выводам ))
Не знаю только, как их написать.

Пусть вместо планет у нас стрелки часов. Это ведь не меняет ничего.
Рассмотрим самую медленную стрелку с периодом 1 и в паре с ней каждую из остальных.
(Это лучше нарисовать, конечно.)
Предполагается, что стартуем из положения 12:00.
1) Период 2.
Получается, что за то время, пока медленная сделает один оборот, быстрая сделает их два. И притом, они ни разу в промежуточном положении не окажутся на одной линии. Первый круг быстрой стрелки завершится на половине круга медленной, и вторую половину круга медленной займет еще круг быстрой. Она догонит ее в положении 12:00.
2) Период 3. За один оборот медленной быстрая сделает 3 оборота. Пересекутся они один раз в анти-12:00, т.е. нижнем надире. Первая сделает полкруга, вторая полтора.
3)...
Рассуждения легко продолжить.
Схема получается такая. (Не знаю, как ее написать только, чтоб было понятно, о чем речь).
Обозначим за х "дробную часть пути", на которой происходит встреча... Блин, ну сейчас на примерах поясню.

Для периода 1, сочетающегося с периодом n найдем все координаты встреч:

1/x={n/x} где фигурными скобками {*} я обозначаю дробную часть числа. Т.е. просто отбрасываем целое число кругов, пройденных быстрой стрелкой, а дробная часть быстрой стрелки должна совпасть с положением медленной. А она равна числу 1/x.
Смотрите, что выходит:

n=3
1/x={3/x} чтобы слева и справа осталось по 1/x, нужно, чтобы 2/x было целым. Тогда:

3/x=2/x+1/x
{3/x}=1/x
2/x — целое число.
После первого круга 2/x=1
Отсюда х=2.
1/2=1/2
Отсюда пересечение только одно в 1/2 круга, т.е. в его надире. Ну и после третьего круга в 12:00 они сойдутся опять.

Давайте продолжим

n=4
1/x={4/x}
4/x=3/x+1/x
3/x=1 x=3
1/3=1/3 — это первое пересечение. Медленная стрелка прошла 1/3 круга, быстрая — 1 и 1/3.
Спустя точно такое же количество времени они встретятся еще раз: 2/3=2/3. И третий раз они встретятся в 12:00, когда быстрая стрелка сделает ровно 4 круга.

n=5
Встречи, как легко понять, будет 4.
В 1/4={1 и 1/4}, 2/4={2 и 2/4}, 3/4={3 и 3/4}, 4/4={4 и 4/4} (или 12:00).

Принцип понятен.
Но только у меня получается, что как раз им нужен будет нок раз.
А вот это уже не понятно))))
Короче, писанины много, но выкладки в общем, тривиальные! )))

Или они всё-таки могут быть по разные стороны от центра?

ПС У меня n — это именно частота вращения, а не период. Но это сути не меняет)))

[Dagda]

Amicus Plato вот и я в ступоре)))

[Trotil]

Раз нужна точка встречи всех планет, а планеты 1 и 2 встречаются только в месте старта, соотвественно и место встречи всех планет может быть только в точке старта!

[Amicus Plato]

Dagda
да, только я свой ступор на целый лист расписала

Trotil Но тогда ничего короче, чем нок у меня не выходит.
Разве что если они могут с двух сторон от центра оказаться: половина в зените (с четными периодами), половина в надире (с нечетными).

[krystofer]

Dagda
Amicus Plato
у меня тоже нок выходит когда они по одну сторону от светила, но по-опеределению парад планет, предполагает случай, когда планеты размещены по разные стороны от центра, так что этот случай тоже надо рассматривать.

[Amicus Plato]

krystofer
тогда нок/2 если навскидку...

[Trotil]

НОК/2 тоже получилось.

[Dagda]

ура)

[Крутой Ник]

а с произвольными рациональными числами?

[krystofer]

Amicus Plato
Trotil
Dagda
это и был верный ответ.
А теперь нужно ответить на вопрос Omnicide

[Amicus Plato]

krystofer, Omnicide
рациональные числа представляем в виде обыкновенных дробей, приводим к общему знаменателю. После чего ищем НОК/2 всех числителей.
Если я где-то ошиблась, не судите строго )))

[xahondria]

krystofer насчёт парада планет: а планеты-то могут в разных плоскостях ещё вращаться... (в задаче об этом ничего не сказано, правда...)

Так. По поводу решения НОК/2... ??? Упростим задачу и проверим практически:
"Задача с часами. Три стрелки - часовая, минутная и секундная. Время 00.00.00. Найти время, которое пройдёт до следующей "встречи" стрелок."
Фишка этой задачи, что ответ известен - 01.10.10. Попробуйте найти это значение через НОК/2

[Trotil]

xahondria

Это уже другая задача и там ответ не НОК/2

[xahondria]

Trotil
"Через сколько времени мы будем снова иметь парад планет?"
"Найти время, которое пройдёт до следующей "встречи" стрелок"
Тогда в чём принципиальное отличие задач?

[Trotil]

В точке встречи.

В параде планет она очевидна.

[xahondria]

Это из каких соображений она очевидна? O_o
Парад планет - это когда планеты на одной прямой находятся, а прямых можно провести бесконечное множество...

Надо ж в общем виде решить, а НОК/2 - частный случай. Короче он не будет решением для произвольно взятых частот (второй вопрос задачи).

[Trotil]

xahondria

Для данных частот - НОК/2
Так точнее выразился?