рисуем смайлик

[WildOscar]

На одном из первых занятий в этом году дал профессор по вышмату (calculus)
Никаких сверх знаний не нужно, школный уровень математики )

Задание звучало так: define the following picture by means of one equation

Если можно так сказать, то как бы нарисовать это на координатной плоскости с помощью одного уравнения =)

Не очень сложное, но мне понравилось, первый challenging question в моём универе.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Аксиоматика теории множеств V.

[Amicus Plato]

Начинаю описывать систему Z (Цермело-Френкеля).
В этой системе, как воспоследовало из определения равенства в прошлой записи, имеется лишь один неопределяемый предикат «∈».
Все ее атомарные предложения будут иметь вид: х ∈ у. Отношение "не принадлежит" будем записывать так: х ∉ у.

И теперь сразу с места в карьер.

И теперь сразу с места в карьер.

Определение I. Если для всех х х ∈ у влечет х ∈ z, мы будем говорить, что у есть подмножество z (или включено в z); если к тому же есть по крайней мере одно такое w, что w ∈ z, но w ∉ у, то мы будем говорить, что у есть собственное подмножество z.
Соответствующие символы суть: y ⊆ z и y ⊂ z

Из определения I немедленно следует

Теорема. Каждое множество есть подмножество самого себя (х ⊆ х); х ⊆ у и y ⊂ z влечет за собой х ⊆ z. Иными словами, отношение ⊆ рефлексивно и транзитивно. В то же время отношение ⊂ иррефлексивно, асимметрично и транзитивно.

Между отношениями ∈ и ⊆ (первое из которых является первоначальным, а второе вводится по определению) имеется серьезное различие.
Путаница в их употреблении, усугубленная свойственной индоевропейским языкам двусмысленностью, — известно, что связка "есть" использовалась последователями Аристотеля в обоих этих (и многих других) смыслах, — на раннем этапе развития логики имела гибельные последствия. Если придерживаться нашей терминологии, то каждое множество включает (comprises) себя само и свои подмножества, но, вообще говоря, не содержит (contains) ни себя, ни своих подмножеств.

Первым логиком, обратившим внимание на необходимость этого различения, был, по-видимому, Фреге; после же работ Пеано жертвами путаницы между ∈ и ⊆ становятся лишь начинающие ().
Всё это не означает, однако, что нельзя было бы развить теорию отношения, которое объединяло бы в себе (но не смешивало!) свойства отношения принадлежности и включения. Фактически именно это и проделал Лесьневский.
(sic! Про Лесьневского я как раз недавно писала вот здесь.)

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

---

Трехмерная спираль

[Vivi-vivi]

Коллеги, добрый день! Помогите, плиз, разобраться как математически описать трехмерную спираль.

@темы: Поп-математика, Вопросы

---

Аксиоматика теории множеств IV. Отношение равенства

[Amicus Plato]

Продолжаю.
Итак, напомню подход с):
с1) два предмета считаются равными, если каждый предмет, содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой;
с2) предметы считаются равными, если они имеют одни и те же члены.

Что пишут об этих подходах авторы?
***
Очевидно, что второй способ приводит к тому, что в универсуме рассуждения существует самое большое один "индивид" (не-множество); поэтому он непригоден для таких систем, универсум рассуждения которых в подразумеваемой интерпретации может содержать предметы, не являющиеся множествами (в обычном понимании слова "множество") и ipso facto (тем самым) не содержащие членов.

Куайн пришел к интересному выводу, что это обстоятельство не является неизбежным. Он рассматривает индивиды как особого рода множества, (или, вернее классы, единственным членом которого являются они сами), и таким образом вводит равенство обычным путем (согласно методу b)), не отказываясь в своей онтологии от индивидов. Согласно Куайну, ситуация может быть описана по-иному, а именно ∈ - отношение интерпретируется как "есть член (чего-либо) или равен (чему-либо)" в зависимости от того, является ли второй предмет классом или нет.

Примечание 1
И вот тут совсем по-другому уже звучит вопрос  Omnicide:
т.е. мы не считаем априорно, что элемент принадлежит самому себе? например "а ∈ а" не верно/не всегда верно?
То есть ответ оказывается с точностью до наоборот тому, что был дан здесь.
И это не говорит о том, что ответ был неправильным
Просто кроме всего прочего (как оказалось) теория множеств складывается как наука чуть ли не на наших глазах.
Еще полвека назад люди не знали того, что сейчас так свободно проходят в школе.
И вот прямо на примере одной книги, мы видим генезис всех фундаментальных понятий!
Притом, что то, что мы сейчас считаем классикой, для авторов этой "классики" было новейшими достижениями. И не всегда бесспорными. И иногда очень смелыми...

Примечание 2
Про отношение равенства это еще не всё. Но продолжение буду выкладывать прямо в комментариях к этой записи. Чтобы не множить сущности))

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

---

Аксиоматика теории множеств III. Отношение равенства

[Amicus Plato]

Оооо!
Я, например, открыла для себя много нового.

Отношение равенства

В книге Френкеля, Бар-Хиллела отношение равенства понимается в одном определенном смысле. Но сначала они говорят, что во взгляде на то, какое место в системе занимает это отношение и какова же его роль, можно занять одну из трех существующих позиций.
Вот эти-то позиции я сейчас и перечислю. Цитировать буду только местами, потому что изложение достаточно громоздко; где это возможно, ограничусь пересказом.

Итак, три позиции.

а) Отношение равенства считается принадлежащим к лежащей в основе логике. У Ф.и Б-Х, как я уже писала, в основе теории взято функциональное исчисление первого порядка. Так вот, вместо него можно взять функциональное исчисление первого порядка с равенством. И всё. ))) Тогда: х и у считаются равными, если «они обозначают одну и ту же вещь» (с) Цермело.
Это иногда приводит к смещению употребления и упоминания знаков, но от этой путаницы можно избавиться при помощи тавтологического замечания, что х и у равны, если они суть одна и та же вещь.
На мой взгляд, всё это с одной стороны слишком просто, с другой же, если мы будем относиться к этому серьезно, слишком сложно. Корни всего этого нужно искать в дебрях феноменологии (это опять же мнение частное и спорное). Так что тут можно подискутировать, если будет желание, а мы переходим ко второй позиции.

б) Равенство рассматривается в качестве одного из первоначальных отношений системы (наряду с ∈ ). То есть знак «=» можно было бы взять в качестве второго первоначального двухместного предиката. При этом нужно было бы ввести аксиомы, которые обеспечили бы рефлексивность, транзитивность и симметричность равенства.
(Я сейчас их быстренько перечислю (полуформально), потому что не все же помнят их навскидку:
1) рефлексивность: х=х
2) симметричность: х=у ⇒ у=х
3) транзитивность: х=у и у=z ⇒ х=z
В каждом из этих выражений по всем переменным кванторы всеобщности. Т.е. это выполняется для любых индивидных имен нашей модели).
Из этих трех аксиом следует, что равенство является отношением эквивалентности, а также его подстановочность по отношению к другому первоначальному отношению ∈.
То есть: из того, что х ∈ у и х=х' следует х' ∈ у;
а из х ∈ у и y=y' следует х ∈ у'.

с) Знак равенства вводится посредством определения.
(И вот тут начинается то, что либо просто вышло из употребления, либо я с этим никогда не сталкивалась. Но очень интересно!)
В нашем случае это можно сделать двумя различными способами: либо в соответствии с традицией, идущей по крайней мере от Лейбница, согласно которой два предмета считаются равными, если каждый предмет, содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой, либо же предметы считаются равными, если они имеют одни и те же члены.

(Выделение жирным мое)))
Далее идет обсуждение обоих из перечисленных в с) способов. Оно очень интересно, но оставлю его на потом.

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

---

Аксиоматика теории множеств II

[Amicus Plato]

Давайте разбираться с вопросами, поставленными в прошлой записи.

Разбираемся по пунктам

1. Индивидные переменные
Относительно области индивидных (или предметных) переменных в подразумеваемой интерпретации не предполагается ничего (хе-хе), кроме наличия некоторого правильно определенного непустого класса предметов, так называемого универсума рассуждений, или рассматриваемого мира. Ничего, пока, в частности, не предполагается относительно мощности этого класса, ни даже о его конечности или бесконечности.

Это почти точная цитата из "Оснований теории множеств". Таким образом, из нее нам следует вынести, что теми самыми буквами x, y, z, w, t, p,... мы можем обозначать абсолютно что угодно из нашего универсума рассуждений. Имя можно присвоить любому находящемуся там объекту, независимо от его внутренней структуры. Фактически получается, что на самом первом этапе мы даем имена всему, что попадает в поле нашего зрения.

2. Область определения отношения принадлежности ∈
Область определения отношения — это то, что должно стоять вот здесь: ". ∈ --" вместо точки: ".", слева от знака принадлежности.
То есть это такие индивиды, которые могут чему-то принадлежать. Всё, что потенциально может принадлежать хоть чему-то, автоматически попадает в область определения отношения принадлежности.
Эта область определения, иными словами, состоит из всех предметов, которые принадлежат по крайней мере одному предмету, (или являются подходящими для членства).
Мы, вслед за Френкелем, будем называть эти предметы элементами.

3. Область значений отношения принадлежности ∈
Область значений отношения — это, как нетрудно догадаться из предыдущего пункта, то, что должно стоять вот здесь: ". ∈ --" вместо тире: "--", справа от знака принадлежности.
И здесь наступает самое интересное.
Класс тех предметов, которые содержат в себе в качестве членов по крайней мере один предмет, мы считаем состоящим из множеств. То есть множество определяется как любой предмет, имя которого корректно оказалось в правой части отношения ". ∈ --".
)))
Такое вот определение)))

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

---

Аксиоматика теории множеств

[Amicus Plato]

Для того, чтобы разобраться в доказательстве парадокса Банаха-Тарского, или хотя бы просто посмотреть, на чем оно строится, нужно понять, что же представляет собой аксиома выбора.
Можно было бы просто сформулировать ее, но всё же я считаю, что надо немножко расширить контекст. Аксиома выбора — это хоть и стоящая особняком, но всё же часть целостной системы. Системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Предварительные соображения )

Поэтому, думаю, будет уместным рассказать хоть немного об аксиоматике теории множеств ZF и потом непосредственно обратиться к аксиоме выбора.
Наивная теория множеств, основанная Георгом Кантором, кратко описана в сообществе вот здесь.
Все аксиомы системы Цермело-Френкеля я беру из книжки Френкеля, Бар-Хиллела "Основания теории множеств". Но постараюсь всё-таки немного облегчить их нотацию (и понимание).

Самое интересное в этом деле — это определение множества.
Множество, как многим известно, понятие первичное, неопределяемое.
Но всё-таки надо попытаться по каким-то косвенным признакам догадаться, с чем мы имеем дело)))
Сейчас мы этим и займемся.

Представьте себе, что мы демиурги, и начинаем создавать некую теорию, имея очень небольшой "стратегический запас". Нам дали:
1) бесконечный список индивидных переменных: x, y, z, w, t, p,... ("а в случае надобности, — как пишет Френкель, — и других букв")));
2) логические связки: ~ (не), ∧ (конъюнкция, логическое умножение, И), ∨ (дизъюнкция, логическое сложение, ИЛИ), → (импликация, следование, ЕСЛИ-ТО);
3) два квантора: ∀ (квантор всеобщности; "∀х" читается: "для любого икс"), ∃ (квантор существования; "∃у" читается: "существует игрек")
4) одно единственное отношение, отношение принадлежности, обозначаемое двухместным предикатным символом: ∈.
Что такое двухместный? Что такое предикатный?
Предикатом можно без особого зазрения совести считать функцию, которая принимает только два значения: истина и ложь. А вот сколько переменных у этого предиката, такова его и "местность" (еще часто говорят "арность"). Таким образом, отношение принадлежности задается бинарным предикатом.

Выражение х &isin у читается как "х принадлежит у", "х содержится в у".
Если х при этом и вправду содержится в у, то выражение х &isin у истинно, в противном случае, оно ложно.

Каждая формула вида ". &isin --", где "." и "--" замещены переменными, является правильно построенной.

Вот, собственно, и всё, что у нас есть.

Кроме того, у нас есть вопросы, на которые мы хотим получить ответы:
1. Что мы называем именами x, y, z, w, t, p,...? Что это за индивидные переменные? Откуда они берутся? Чем являются?
2. Что стоит слева и справа от знака &isin в правильной формуле: ". &isin --"? Переменные, имеющие один и тот же статус? Или разные? Как они называются? Накладываются ли на них какие-нибудь ограничения?
Об этом я напишу в следующий раз )))
Как оказывается, теория множеств проста, только если не копать вглубь.
Мы сильно не углубимся, но всё же небольшой пласт снимем.

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

---

Задача о параде планет

[krystofer]

Я уверен, что все знают что такое парад планет, но для тех, кто забыл:
парад планет - это когда они в какой-то момент времени выстраиваются в линию. Есть полный и неполный парад планет (я думаю интуитивно понятно).
Так вот задача, примем,что Меркурий вращается с частотой 1, Венера - 2, Земля - 3, ..., Нептун - 8. Сейчас парад планет. Через сколько времени мы будем снова иметь парад планет.
Немножко сложнее: как найти время нового парада планет, если частоты вращения планет заданы произвольными рациональными числами?

---

Парадокс Банаха-Тарского II

[Amicus Plato]

Парадокс об удвоении шара еще называют парадоксом Банаха-Тарского-Хаусдорфа, потому что существует менее известный и более ранний парадокс Хаусдорфа, который похож на парадокс удвоения шара и имеет тот же принцип доказательства.
В самом деле, почему речь идёт не о "развенчании", как это было раньше с другими парадоксами, а о доказательстве?

Почему?

Да потому что за этими парадоксами скрываются теоремы. Теоремы, которые доказываются абсолютно строго. Единственный их "недостаток" состоит в том, что они полностью противоречат нашему "здравому смыслу", нашим законам логики, нашим представлениям о мире. И поэтому, конечно, люди, сталкивающиеся с этим, по мере "вникания в проблему" должны испытывать некоторые смешанные чувства от небольшого замешательства до мистического ужаса (в зависимости от собственной впечатлительности))).
Единственное, что здесь для меня абсолютно неясно, как можно было додуматься до этого? Если многие, даже читая уже готовые теоремы с доказательствами, отчаянно отказываются верить этому, то каково же было это придумывать?
Не буду вдаваться в математические подробности, потому что они для меня пока еще сложны настолько, что в рамки школьной программы уместить я их не могу...
Но я работаю над этим ))) Думаю в ближайшее время посвятить несколько записей основаниям теории множеств, различным ее аксиоматикам, и в том числе аксиоме выбора, на которой и основывается доказательство парадокса Банаха-Тарского. Долгое время считалось, что этот парадокс как раз и служит ее (аксиомы выбора) опровержением. А всё дело в том, что аксиома эта неконструктивна.
Я сейчас намеренно упрощу дело, но всё же попытаюсь объяснить, в чем тут загвоздка. Аксиома выбора гласит, что если у нас есть семейство непустых и непересекающихся множеств А_i, то мы можем составить новое множество В, взяв в него ровно по одному элементу из каждого множества А_i. Казалось бы, чего проще? Казалось бы, где здесь может быть противоречие? Однако же аксиома не дает нам никаких указаний насчет способа, которым мы должны выбирать элементы из этих множеств.
Очень мне нравится фраза из Википедии: Бытует мнение, что доказательства, полученные с привлечением этой аксиомы, имеют иную познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё.
Но на этой аксиоме стоит остановиться отдельно.
Сейчас только скажу, что она используется при доказательстве парадокса Банаха-Тарского-Хаусдорфа.
И, наконец, сформулирую сам парадокс.

Парадокс удвоения шара
Трёхмерный шар можно разбить на конечное число «кусков» и составить из них два таких же шара. При этом для удвоения шара достаточно пяти кусков, но четырёх недостаточно.

Можете себе представить???
Когда речь идёт о бесконечности, это дело одно... То есть бесконечным числом кусков вроде бы никого и не удивишь... Мало ли что в бесконечности может случиться... Но пять?!!...
Единственное, что "утешает" — это такая же "неконструктивность" парадокса, как неконструктивность аксиомы выбора. Он говорит, что сделать это можно, но не говорит, как. И как это сделать, не знает никто... Или почти никто...

И вот тут я как раз перехожу к той части, ради которой я и подняла эту тему. Додумалась я до этого далеко не первая. Ссылок в интернете много. Но я на первенство и не претендую ))))
Я просто к тому, что это ведь какая суперская аллюзия на Евангельские пять хлебов! А?
То, о чем человек может мыслить лишь как об абстрактной возможности, от которой голова идёт кругом, для Бога — лишь апостериорное подтверждение Его практических (и вполне конструктивных) возможностей.
Пять хлебов было поделено в строгом соответствии с парадоксом Банаха-Тарского )))

Подтверждение

6.1 После сего пошел Иисус на ту сторону моря Галилейского, в окрестности Тивериады.
6.2 За Ним последовало множество народа, потому что видели чудеса, которые Он творил над больными.
6.3 Иисус взошел на гору и там сидел с учениками Своими.
6.4 Приближалась же Пасха, праздник Иудейский.
6.5 Иисус, возведя очи и увидев, что множество народа идет к Нему, говорит Филиппу: где нам купить хлебов, чтобы их накормить?
6.6 Говорил же это, испытывая его; ибо Сам знал, что хотел сделать.
6.7 Филипп отвечал Ему: им на двести динариев не довольно будет хлеба, чтобы каждому из них досталось хотя понемногу.
6.8 Один из учеников Его, Андрей, брат Симона Петра, говорит Ему:
6.9 здесь есть у одного мальчика пять хлебов ячменных и две рыбки; но что это для такого множества?
6.10 Иисус сказал: велите им возлечь. Было же на том месте много травы. Итак возлегло людей числом около пяти тысяч.
6.11 Иисус, взяв хлебы и воздав благодарение, роздал ученикам, а ученики возлежавшим, также и рыбы, сколько кто хотел.
6.12 И когда насытились, то сказал ученикам Своим: соберите оставшиеся куски, чтобы ничего не пропало.
6.13 И собрали, и наполнили двенадцать коробов кусками от пяти ячменных хлебов, оставшимися у тех, которые ели.
6.14 Тогда люди, видевшие чудо, сотворенное Иисусом, сказали: это истинно Тот Пророк, Которому должно прийти в мир.

Евангелие от Иоанна. Глава 6

@темы: Парадоксы, Поп-математика, Теория множеств, Amicus Plato, Анти-бесконечность

---

Альфред Тарский

[Amicus Plato]

Про Тарского написано, конечно же, гораздо больше, чем про Банаха. Поэтому не буду подробно останавливаться на его биографии, — об этом можно прочитать в Википедии и в других энциклопедиях.

Альфред Тарский и не только...

Альфред Тарский

Альфред Тарский был одним из ярчайших представителей Львовско-варшавской философской школы.
Мне он известен более всего как логик. Как исследователь "истины". Им была создана теория истинности; ему принадлежит так называемая "семантическая концепция истинности"; его результаты в этой области легли в основу формальной семантики.
Так случилось, что прежде чем я познакомилась с работами самого Тарского, мне довелось узнать о нем через его предшественников и последователей (или исследователей).
Альфред Тарский был учеником замечательнейшего математика-философа-феноменолога Станислава Лесьневского. Именно с него у меня началось очень и очень тесное знакомство с Львовско-варшавской философской школой.


Станислав Лесьневский

Он разработал свою триаду Прототетика-Онтология-Мереология как три теории, составляющие оснований математики. Я честно пыталась разобраться в нотации, которую он использовал в Прототетике, но не смогла... )))
Однако же, "по роду профессиональной деятельности" меня больше интересовала Мереология. Мереология Лесьневского это наука об отношении "часть-целое". По мысли Лесьневского эта его теория должна была прийти на смену теории множеств, которую в те годы до основания потряс парадокс Рассела, и многие ученые признали ее несостоятельность. По мнению Лесьневского, слабым местом теории множеств явилось постулирование пустого множества, которое он назвал "математической фикцией". Мереология была свободна от этого недостатка. Ее аксиоматика вполне обходилась без пустого множества и каких бы то ни было его аналогов. Естественно, теорию множеств мереология не заменила, но спустя больше чем полвека она нашла применение в других областях. Таких как алгебраическая лингвистика и онтологические исследования.
Однако же, рассказ я веду про Тарского.
Бертран Рассел в своё время отговорил молодого Людвига Витгенштейна от карьеры авиатора. Точно так же Станислав Лесьневский отговорил молодого Альфреда Тарского от карьеры биолога. Именно под его руководством Тарский написал диссертацию и получил степень доктора философии.
Кстати, помните, я писала про парадокс лжеца и его развенчание? Про смешивание языка и метаязыка? Это смешивание, а точнее, разделение этих двух языков было предметом пристального внимания Тарского. Потому что установление истины требует тщательнейшего разделения этих языков.
А вот насчёт "последователей" — работами Тарского я заинтересовалась не только благодаря Лесьневскому и Лукасевичу. (Ян Лукасевич — еще один ученый, которым я восхищаюсь. Один из главных представителей Львовско-варшавской школы. Он первым построил систему многозначной логики! И (если мне не изменяет память), первую бесконечнозначную логику тоже построил он).


Ян Лукасевич

Есть ещё современный финский учёный Яаакко Хинтикка.


Яаакко Хинтикка

Именно после его работы "Истина после Тарского" мне очень захотелось почитать и самого Тарского.
Вот.
В общем, извините за сумбур. Просто тема эта (логические исследования львовско-варшавской школы) чрезвычайно обширна и мною очень любима, хоть и сложна, и понимаю я там далеко не всё. И как об этом рассказать, ума не приложу...

@темы: Органон, Amicus Plato, Люди

---

Стефан Банах

[Amicus Plato]

Имя Стефана Банаха мне известно со времён учёбы в университете.
Банаховы пространства знакомы практически всем, кто изучал функциональный анализ.
Многие из нас были пуганы на функане теоремой Хана-Банаха. Однако же о самом Стефане Банахе и о его трагической судьбе я узнала значительно позже.

Стефан Банах

Вот что говорится о ним в энциклопедии "Кругосвет":
БАНАХ, СТЕФАН (Banach, Stefan) (1892-1945), польский математик. Родился 30 марта 1892 в Кракове.

В 1914 окончил Львовский политехнический институт. Познакомившись с Г.Штейнгаузом, увлекся математикой и в 1918 опубликовал первую работу по теории функций действительного переменного. С 1919 преподавал в Львовском политехническом институте, с 1922 — в Львовском университете. В 1924 стал профессором Львовского университета и членом-корреспондентом Польской Академии наук. Перед самой войной был избран президентом Польского математического общества. В 1939, после присоединения Львова к Украине, стал деканом физико-математического факультета Львовского университета. В годы немецкой оккупации Банах подвергся изощренным издевательствам: ученого использовали для кормления вшей с целью выработки противотифозной вакцины. После освобождения Львова Банах вновь возглавил физико-математический факультет Львовского университета. Умер Банах во Львове 31 августа 1945.
...
...
...

Но закончить хочу на более жизнерадостной ноте.
Те, кто играл в Что? Где? Когда? или даже просто читал вопросы игры, должны порадоваться:

Математик – это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик – тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик – тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии.

Стефан Банах

)))

@темы: Amicus Plato, Люди

---

Парадокс Банаха-Тарского

[Amicus Plato]

Продолжаю тему парадоксов.
На этот раз, похоже, опять не удастся обойтись одной записью.
Речь пойдет о парадоксе Банаха-Тарского. К нему я подбираюсь уже довольно давно.
Но дело в том, что парадокс этот, легко объясняемый на пальцах, не так-то просто "развенчивается"! Причём, "развенчивается" — тут не совсем правильное слово. Он скорее "объясняется". А еще точнее, "доказывается". Доказывается средствами высшей (или около-высшей) математики. Поэтому придётся сильно постараться, чтобы с одной стороны не пострадала содержательная часть, а с другой, чтобы записи остались в рамках сообщества, сиречь, в рамках школьного курса математики.
Ну-с. Начнём с истории. А точнее, с персоналий.

Как это часто бывает, когда множество людей думает об одном и том же, мысли начинают "материализоваться". В начале ХХ века многих математиков и логиков занимали мысли об аксиоматике теории множеств.
Этой теме в сообществе посвящена не одна запись.
И вот, как говорит народная мудрость, great minds think alike. Парадокс, о котором пойдет речь, был придуман двумя выдающимися математиками (а Тарский был еще и логиком и философом) Стефаном Банахом и Альфредом Тарским. И сделали они это независимо друг от друга!
Все мы знаем формулу Ньютона-Лейбница, тоже придуманную независимо двумя великими умами (однако же наверное знают не все, что сэр Исаак Ньютон просто уничтожил Готфрида Лейбница и морально и физически — буквально свёл его в могилу. Но это уже другая грустная тема), многие знают о машине Тьюринга и машине Поста — двух абстрактных вычислительных машинах, созданных также независимо друг от друга Аланом Матисоном Тьюрингом и Эмилем Леоном Постом. Обе машины были созданы для уточнения понятия «алгоритм». Тьюринг и Пост показали принципиальную возможность решения автоматами любой проблемы при условии возможности ее алгоритмизации. То есть любой алгоритм, который мы только можем себе вообразить, представим как с помощью машины Тьюринга, так и с помощью машины Поста. В этом плане они эквивалентны.

Так же и парадокс об удвоении шара (таково его второе название), Банах и Тарский открыли в 20-х годах ХХ века независимо друг от друга.
Неформально этот парадокс звучит так:

Любой шар можно разбить на конечное число кусков и составить из них два одинаковых шара того же радиуса, что и исходный.

Звучит совершенно невероятно!
Людям, близким к математике, очень рекомендую книгу Ященко "Парадоксы теории множеств", о которой я уже писала в сообществе. Вот глава про этот парадокс:
www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.ph...
Довольно полно, и вообще — понятно, об этом парадоксе написано в Википедии.
Ну а я, как всегда, постараюсь изложить это "своими словами".
Пока в качестве затравки картинка (правда она тяжёленькая получилась... простите):

@темы: Парадоксы, Поп-математика, Теория множеств, Amicus Plato

---

Комбинаторика и производная n-той степени.

[Trotil]

На первом курсе многие проходили ряд Тейлора и выводили по возможности энтую производную функции. Конечно, дело ограничивалось простыми вещами типа функциями e^x и x^n.

Между тем, даже такие простые случаи показывают, что из нахождения n-той производной получаются великолепные комбинаторные задачи. Простые и сложные.

Например, вчера я обнаружил, что n-тая производная функции exp(exp(-x)) выражается суммой слагаемых с коэффициентами в виде чисел Стирлинга второго рода S(n,k).

Пример номер 2: у(x) = sin(ln(x))

N-тая производная представляется в виде двух слагаемых a*sin(ln(x))/x^n + b*sin(ln(x))/x^n

А a и b - мнимая и вещественная части произведения (1+i)(1+2i)(1+3i)*...*(1+ni).

Эти два примера демонстрируют, что результаты могут быть весьма неожиданными, красивыми. Вылезают такие вещи, о которых не подозреваешь.

Жалко, что я нигде не видел подобных задач в курсе комбинаторики. Может, вам попадались?

---

Результаты тематического "Что?Где?Когда?"

[Фабий]

команда №1
капитан  Dieter Zerium

19

команда "Альтернатива"
капитан  Omnicide

29

команда №3
капитан  Дилетант

31

команда №4
капитан  FLASH-ka*

24

Итак, победителем признаётся команда №3!
Команда 3
Дилетант
Sensile
видам Дженнаро
lyambda
Smejana
chebur12



Рассмотрение ответов команд
Ссылки на обсуждения команд


Благодарю всех за участие и надеюсь, что все получили удовольствие от процесса игры!

@темы: )))

---

Та-дам!

[Amicus Plato]

Участникам ЧГК это наверняка будет интересно.
Запись судейства открылась!
Посмотреть ее можно здесь:
Результаты пока еще не совсем окончательные. Но думаю, для заинтересованных лиц сами критерии оценок и техника оценивания тоже очень немаловажны!

@темы: Техническая запись, Что? Где? Когда?

---

Быть или не быть... (иначе 1 или 0)

[Scroll]

Вот задались академической группой вопросом, с которого числа начинается натуральный ряд. Варианта, конечно, два: ноль и единица. Обычно говорится, что в русскоязычной литературе отсчёт идёт с 1, а в зарубежной с 0. С другой стороны, в работах логиков (а не математиков) фигурирует 0 в качестве пресловутого начала. Так как же всё-таки верно? Неужели, это вопрос персональных взглядов и приверженности той или иной концепции?

@темы: Натуральные числа, Вопросы

---

[Amicus Plato]

Навеяно игрой и анекдотом про экспоненту в интерпретации  Sir Konrad Weller.
Дорогие друзья, желаю вам, чтобы вы были так же физически и морально устойчивы как e^x, и при этом чтоб вас дифференцировали и интегрировали только по икс. )))

---

[Amicus Plato]

Дорогие участники и болельщики!
Вот мы и подводим итоги первого, но надеюсь, не последнего (и еще больше надеюсь, — регулярного) турнира «Что? Где? Когда?»
Конечно, не обходится без трений, но ничто не затмит нам того удовольствия, с которым мы отвечали на эти вопросы!
Все команды очень достойно справились с заданиями!
Огромное спасибо Фабию за колоссальную проделанную работу!

(Картинка "Экспонента на нижнем берегу и корень из нее" украдена)
От всей души благодарю всех участников!


Ссылки на обсуждения команд.
Команда 1 расходовала место очень экономно) У нее получилась одна запись:
www.diary.ru/~zerium/p50948225.htm#
Команда 2 (Альтернатива) напротив, места не жалела))))
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p50911969.htm#for...
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p50995907.htm
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p50994537.htm
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p50994187.htm
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p50993981.htm
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p51062224.htm
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p51062779.htm
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p51063034.htm
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p51064471.htm
www.diary.ru/~Omnicide-asylum/p51064747.htm
Команда 3 уложилась в три записи и море комментариев к ним:
www.diary.ru/~Diletant/p50958875.htm?from=0
www.diary.ru/~Diletant/p50994879.htm
www.diary.ru/~Diletant/p51034501.htm?from=0
Команда 4 пока еще запись не открыла.
Будем ждать.

запись создана: 20.10.2008 в 23:01

@темы: Что? Где? Когда?

---

[Фабий]

 Trotil согласился мне помочь в работе жюри, ибо одному сложно да и необъективно!
Так что теперь нас двое.

@темы: Техническая запись, Что? Где? Когда?

---

Дань

[Фабий]

Спасибо всем за участие!
Было очень увлекательно читать обсуждения и сопереживать, видя, как отбрасывают верные версии. Или же наоборот: радоваться, когда слаженная командная игра или чей-то инсайт выводил обсуждения из досадного тупика)
Как можно увидеть при открытии записей, многие команды выдвигали правильные версии ответов, но при этом отвечали на вопросы неправильно, выбирая не то, или же не отвечали вовсе. Что ж, такова реальность ЧГК. В этом сложность бытия капитаном)

Завтра я праздную День рождения, так что не обещаю быстрого реагирования и реагирования вообще. Скорее всего, в нете буду несколько минут, так что, соответственно, ничего конструктивного не успею. Все разбирательства, неувязки, оговорки и апелляции принимаю на u-mail или же смотрю их выложенными здесь, отдельным постом.

Ещё раз спасибо за дух соревнований и дружную поддержку!!
Рад встретить единомышленников...

Фабий

@темы: ))), Что? Где? Когда?