[Диана Шипилова]

Задача из книги Мартина Гарднера. Мне очень понравилось ее решать, предлагаю и вам Формулирую по памяти.

Представим себе тонкий резиновый шнур длиной в 1 км, который может растягиваться на сколь угодно. Он закреплен в одном конце, и на этом же конце сидит червячок. Червячок проползает 1 см, и после этого шнур растягивается еще на 1 км. Затем червячок снова проползает 1 см, а шнур растягивается на 1 км, потом снова то же самое... Доползет ли когда-нибудь червяк до второго конца шнура?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Comments

[Amicus Plato]

Что-то противное внутри меня шепчет, что доползёт, поскольку по логике он никогда не доползёт

[Диана Шипилова]

Amicus Plato
Логичное рассуждение

[Ela]

А червячка растянувшийся на километр шнур на каком расстоянии от перовначальной точки оставляет ? В смысле - вот прополз он свой сантиметр - а шнур удлиннился где именно? Между первым концом и червячком - или между червячком или вторым концом? ))

[Диана Шипилова]

Ela

а шнур удлиннился где именно?

Шнур растягивается равномерно

[Amicus Plato]

Ela
Я так понимаю, он растягивается равномерно. За один конец он привязан, а за другой кто-то тянет.

[Amicus Plato]

Диана Шипилова
ага. Пардон

[Фабий]

Тогда, при первом растяжении шнур удлиняется в два раза. То есть, 1 см, оставшийся позади червяка, превратится в 2 см... Потом он проползёт ещё 1см - теперь 3 см за ним.... Шнур удлинится на пловину, и это прибавит ещё полтора сантиметра за червячком.... Тут, по ходу, нужно сумму биноминального ряда искать - кажется, так это называется..?

[Диана Шипилова]

Фабий

[Фабий]

1+1+1+1,5+1+5,5/3...
Тогда выходит, что каждое энное удлинение шнура будет продвигать червячка на S/n, где S - расстояние, оставшееся позади... А шнур при этом будет равен 1+n
Значит ,нужно оценить lim n->бесконечность (1+n)/(S/n)...
=>lim n->Б. (n+n^2)/S

Так ,что ли...?

[Диана Шипилова]

Фабий
Можно проще) Но, может, и так получится.

[Фабий]

З

Фабий
Можно проще) Но, может, и так получитс я.

Да, наверняка есть и более простые пути, как с задачей о мухе Фон Неймана....)

[Диана Шипилова]

Фабий
Хорошо; как в вашей формуле связаны n и S?

[Фабий]

Я ,похоже, всё-таки ошибся. Нужно же ещё скаладывать всё....

1+n - длина шнура после n растяжений.
S/n - расстояние, на которое продвигнает червячка каждое энное растяжение
S/n+0,00001 - расстояние, на которое гельминт провигается каждый раз.
Значит делить нужно на сумму S/n+0,00001, начиная от n=1...
Вот только как это сделать - я не знаю) Ни пределов, ни бинома не помню уже((

[Диана Шипилова]

Фабий
Да, так действительно очень сложно получается...

[Фабий]

А если логически....
Растяжение увеличивает абсолютное расстояние до конца, но не относительное. Следовательно, если смотреть, сколько процентов пути червяк оставляет позади - то этот процент не меняется при очередном растяжении шнура. То есть, в каком бы месте С шнура АВ червяк не находился, отношение АС/АВ не изменится. Но он движется! Значит, процент будет расти:
(АС/АВ)_n+1>(АС/АВ)_n
=> при n стремящимся к бесконечности, процент когда-либо дойдёт до ста и шнур кончится, что и требовалось доказать!)

[Диана Шипилова]

Фабий
Вы правы, процент действительно будет расти. Но отсюда еще не следует, что он дойдет до ста, увы.

[Фабий]

Диана Шипилова, а, вы имеете ввиду, что он прирост может уменьшаться до бесконечности..?

[Диана Шипилова]

Фабий
Он не "может", он действительно уменьшается Но вы на верном пути.

[Заболекарь]

Получается гармонический ряд. Доползёт.

[Заболекарь]

[Диана Шипилова]

Заболекарь

Получается гармонический ряд. Доползёт.

Все верно

Я бы объяснила свое решение так. Сначала червяк проползает 1/100000 шнура, потом — 1/200000, потом — 1/300000 и т.д.
1/100000 + 1/200000 + 1/300000 + ... = 1/100000(1 + 1/2 + 1/3 + ...) — в скобках гармонический ряд, рано или поздно он перерастет 100000.

нематематический ответ:
при растяжении шнур будет натягиваться до тех пор, пока не порвется)) и тогда червячок вполне сможет доползти до его конца.

[Диана Шипилова]

В условии сказано, что шнур может растягиваться на какую угодно длину, следовательно, он не порвется)))

Диана Шипилова нет таких материалов, чтобы безболезненно на километры растягивались

[Заболекарь]

Можно ещё вот что учесть: если шнур будет растягиваться достаточно быстро, а червячок будет ползти достаточно быстро, шнур рано или поздно обмотает всю планету, растения погибнут, червячок выдышит весь кислород и задохнётся. Но и до этого не дойдёт, потому что червячок умрёт от голода раньше.

[Фабий]

Диана Шипилова нет таких материалов, чтобы безболезненно на километры растягивались

Вспоминается задача:
дана бесконечна длинная и абсолютно тонкая, невидимая, нерастяжимая электронейтральная нить. Нати нить.

[Диана Шипилова]

Фабий
))))

[Гость]

А, сам червячок растягивается?

[Диана Шипилова]

Гость
Нет, его можно принять за материальную точку)))

Диана Шипилова
Сначала червяк проползает 1/100000 шнура, потом — 1/200000, потом — 1/300000 и т.д.
1/100000 + 1/200000 + 1/300000 + ... = 1/100000(1 + 1/2 + 1/3 + ...) —
в скобках гармонический ряд, рано или поздно он перерастет 100000.

Ну и что?
Не понятно как эти вычисления связаны с исходной задачей,
не считая шнура, червячка и стотысячной доли.