Парадокс маляра

[Диана Шипилова]

Предлагаю вашему вниманию парадокс, который изложил в энциклопедии «Аванта+» Владимир Дубровский.

Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку (рис. 1), состоящую из прямоугольников: первый из них — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 × 2 см, а каждый следующий вдвое уже и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см², а общая площадь пластинки бесконечна. Разумеется, чтобы всю ее покрасить, потребуется бесконечное (по объему или массе) количество краски. Но представьте себе «сосуд» (рис. 2), получаемый при вращении пластинки вокруг ее прямого бесконечного края. Сосуд состоит из цилиндров. Высота k-го цилиндра равна 2^{k – 1} см, радиус — 2^{1 – k} см, а значит, его объем равен π∙2^{1 – k} см³. Таким образом, объемы цилиндров образуют убывающую геометрическую прогрессию, их сумма конечна и равна 2π см³. Заполним этот сосуд краской. Погрузим в него пластинку и вытащим ее; конечно, она вся будет окрашена с двух сторон.
Так все же, можно окрасить пластинку?!

@темы: Бесконечность, Парадоксы

Comments

[Disprein]

Да, можно покрасить исходную пластинку конечным количеством краски, если уметь на каждый следующий прямоугольник наносить слой краски, скажем, вдвое меньшей толщины, чем на предыдущий (что, собственно, и предполагается при погружении пластинки в сосуд). Ключевой момент — в таком умении. Более того: таким способом можно выкрасить не только ступенчатую, но и ровную бесконечную полоску с постоянной шириной в 1 см, а также более широкие полосы — хоть в метр, хоть в тысячу километров ширины. Пожалуй, такой маляр был бы на вес золота, он мог бы покрасить одной банкой краски что угодно и каких угодно размеров - и банка еще была бы почти полна)

[Диана Шипилова]

Disprein
Отличное объяснение ))

[inquisitor]

Континуальные множества еще и не такое позволяют... Как и множества нулевой меры.

Погрузим в него пластинку и вытащим ее; конечно, она вся будет окрашена с двух сторон.

Она НИКОГДА не будет окрашена вся. Потому, что погружение бесконечно длинной пластинки будет происходить бесконечно долго.
В любой момент времени будет непокрашенная часть.

[Trotil]

Вот интересно как. Объемы цилиндров уменьшаются, а площадь осевого сечения остается постоянной...

[Sir Konrad Weller]

Disprein , к сожалению, рано или поздно наступит моемнт, когда на пластинке окажется слой краски в одну молекулу и тоньше красить уже будет некуда.

[Disprein]

Sir Konrad Weller, вот вечно физики испортят такую удобную математическую модель!)

[Garryncha]

Disprein, да, классное объяснение!:-)

[inquisitor]

В частном случае расположения ёмкости и пластинки, пластинка вообще останется непокрашенной. Кончик пластинки не удастся поместить в банку за конечное время.

Ошибка автора парадокса в том, что он рассмотрел объекты целочисленной размерности. Если взять фрактальную мочалку Серпинского, то площадь её поверхности будет бесконечной, а объем конечным (в смысле декартовых произведений конечных линейных размеров). Мочалку можно покрасить, окунув её в ёмкость с краской.

[Garryncha]

inquisitor, а почему нельзя совать пластинку в банку со всё увеличивающейся скоростью?:-) Тогда можно поместить пластинку в банку за конечное время.

[Trotil]

Garryncha

Не поможет. Вот если банку положить набок и в ней сделать поперечный разрез...

[Garryncha]

Trotil, почему не поможет?

[Trotil]

Garryncha

Потому что конец банки недостижим при любой возможной конечной скорости.

[Garryncha]

Trotil, допустим, первую часть длиной 1см я прохожу за 1с, вторую часть длиной 2см я прохожу за 1/2с, третью часть длиной 4см — за 1/4с и т.д. Итого мне понадобится 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2с, чтобы засунуть пластинку в банку.

[Дилетант]

Здорово!!!
Класс!

Ну а вот кстати, если правда положить банку на бок и сделать поперечный надрез, как тогда это можно объяснить?
Нет, понятно, что когда-то и ширина пластины и, соответственно, радиус банки станут меньше молекулы... Но всё-таки?

inquisitor
насчет фракталов — уж мы тут как-то спорили-спорили — так ни до чего и не договорились....

[Дилетант]

Garryncha

допустим, первую часть длиной 1см я прохожу за 1с, вторую часть длиной 2см я прохожу за 1/2с, третью часть длиной 4см — за 1/4с и т.д.

В пределе для нахождения скорости получится неопределенность: бесконечность, деленная на бесконечность.

[Garryncha]

Дилетант, да какая разница, что получится в пределе для нахождения скорости? Время-то будет конечное, его предел считается без всяких неопределённостей: сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

[Garryncha]

Дилетант, кстати, в пределе для скорости не будет неопределённости, а будет бесконечность: бесконечность делить на ноль.

[Дилетант]

Garryncha

бесконечность делить на ноль.

а, ну да!

Ну, время-то конечно, но это даже похуже отбирания конфет у детей до полуночи... Или не "похуже"(?)...
Одним словом, правомерно ли запихивать бесконечную длину за конечное (и даже бесконечно малое) время?

[Фабий]

Ну а вот кстати, если правда положить банку на бок и сделать поперечный надрез, как тогда это можно объяснить?

Ну, тогда встаёт тои же вопрос, только со скоростью линии разреза))

[Garryncha]

Дилетант, а почему не правомерно? Я не знаю, почему неправомерно.:-)
А отбирание у детей конфет до полуночи — это жестоко.:-)))

[Фабий]

Ну а вот кстати, если правда положить банку на бок и сделать поперечный надрез, как тогда это можно объяснить?

Ну, в принципе, если мы пренебрегаем физическим диаметром молекулы, на который указал Sir Konrad Weller, то, полагаю, и физическим ограничение скорости света пренебречь можно....
А то так можно и капиллярный эффект начать расчитывать: при малом сечении краска просто не будет оставаться на пластинке....)

[Amicus Plato]

Фабий

Ну, тогда встаёт тои же вопрос, только со скоростью линии разреза))

Ну... Ээээ...
Понимаешь, я так думаю, что пусть бы разрез уже был реальностью, данной нам в ощущение)
Как сама пластина и банка.
А то мы так договоримся, что их тоже не существует, потому что они не могут быть созданы за конечное время при конечной же скорости.

А вообще, о, да! Бедная теория относительности)))))))))

Garryncha
боюсь, Эйнштейн бы возражал))
Ну и даже если дело не в ограничении скоростью света.
Бесконечность, деленная на ноль, — это уже другая бесконечность. И про нее мы ничего сказать не можем...

[Sir Konrad Weller]

Я дятълъ.
Парадокса нет. Мы просто не сможем засунуть пластинку в емкость, так как засовывать надо с конца, а конца-то у нее и нет.
А вот если представить себе щель по всей длине цилиндра, то:
1. В какой-то момент толщина пластинки станет больше ширины щели - толщина-то постоянная.
2. Краска вытечет нафиг.

[Amicus Plato]

Sir Konrad Weller
никто не мешает нам сказать, что ширина щели равна ширине пластины.
Краска не вытечет, потому что щель сверху)))

[Sir Konrad Weller]

Amicus Plato.
Физика мешает.
Кстати, та же физика говорит, что, начиная с определенного цилиндра, туда уже не влезет не то, что пластинка, а и молекула краски.
Или мы тут работаем ос сферическим конем в вакууме?

[Garryncha]

Amicus Plato, у нас сказочный мир, тут бы Эйнштейн не возражал.:-)
А зачем нам что-то говорить об этих бесконечностях?:-)

[Дилетант]

Sir Konrad Weller
Думаю, именно со сферическим конем мы и работаем)

Garryncha
Насчет Эйнштейна соглашусь, а вот насчет этого:

А зачем нам что-то говорить об этих бесконечностях?:-)

нет.
Бесконечности нужно различать. Без этого никуда.

В равенстве ∞/0 = ∞ бесконечности слева и справа разные.

[Garryncha]

Дилетант, в каком смысле разные? И когда их нужно различать?

[Дилетант]

Garryncha
В прямом смысле разные.
Про бесконечность слева я ничего толком не знаю (если это равенство безотносительно нашей задачи брать).
Но бесконечность справа ее "мощнее".
Например, если мы умножим обе части этого равенства на 0, получим вот что:
∞ = ∞*0
Правая бесконечность, умноженная на 0 (при условии, что 0 тот же самый, что и раньше))), даст вновь бесконечность.
Про левую мы такое сказать не можем)))

[Garryncha]

Дилетант, ну да, правая растёт быстрее левой.:-) Причём именно с указанным Вами (тобой?) свойством.:-)