Парадокс маляра

[Диана Шипилова]

Предлагаю вашему вниманию парадокс, который изложил в энциклопедии «Аванта+» Владимир Дубровский.

Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку (рис. 1), состоящую из прямоугольников: первый из них — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 × 2 см, а каждый следующий вдвое уже и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см², а общая площадь пластинки бесконечна. Разумеется, чтобы всю ее покрасить, потребуется бесконечное (по объему или массе) количество краски. Но представьте себе «сосуд» (рис. 2), получаемый при вращении пластинки вокруг ее прямого бесконечного края. Сосуд состоит из цилиндров. Высота k-го цилиндра равна 2^{k – 1} см, радиус — 2^{1 – k} см, а значит, его объем равен π∙2^{1 – k} см³. Таким образом, объемы цилиндров образуют убывающую геометрическую прогрессию, их сумма конечна и равна 2π см³. Заполним этот сосуд краской. Погрузим в него пластинку и вытащим ее; конечно, она вся будет окрашена с двух сторон.
Так все же, можно окрасить пластинку?!

@темы: Бесконечность, Парадоксы

Comments

[Дилетант]

Garryncha
давай на ты ))

ну да, правая растёт быстрее левой.:-) Причём именно с указанным Вами (тобой?) свойством.:-)

Тогда описанный Disprein'ом маляр просто дитё, по сравнению с тем мастером, который будет с указанной скоростью запихивать эту пластину.
Причем, придется сделать ее "телескопической", сиречь, выдвижной (каким-то образом) — чтоб каждая часть выползала из предыдущей. Иначе у нее действиетельно нет конца, и не с чего начинать ее засовывать, как сказал Конрад.

[Garryncha]

Дилетант, давай на ты.:-) В сказочном мире можно быть невероятным умельцем!:-)

[Дилетант]

Garryncha

В сказочном мире можно быть невероятным умельцем!:-)

Всё равно надо различать разные виды "возможностей".

[Sir Konrad Weller]

Дилетант
Причем, прдется сделать ее "телескопической", сиречь, выдвижной (каким-то образом)
Тогда на ее вдвижение/выдвижение уйдет бесконечное количество времени.

Про щель. Учтите, что при наличии бесконечной продольной щели, краской может быть заполнена лишь половина этой трубы, то есть объем краски будет π см3.

По-моему тут та же проблема, что и с парадоксом Зенона про Ахилла и черепаху. Чистой математикой этот парадокс нерешим, но достаточно прибавить физику - и все становится на свои места.

[Amicus Plato]

Sir Konrad Weller
А что ты тогда скажешь про парадокс с конфетами?

[Amicus Plato]

Тогда на ее вдвижение/выдвижение уйдет бесконечное количество времени.

Так про это у Garryncha было, что время для засовывания каждой следующей секции обратно пропорционально ее длине.

[Sir Konrad Weller]

Какой парадокс с конфетами? Тот, что упоминали тут в начале обсуждения? А где он?
Так про это у Garryncha было, что время для засовывания каждой следующей секции обратно пропорционально ее длине.
И в апогее мы должны засунуть бесконечно длинную полосу за бесконечно малое время. Физика истошно пищит, брыкается и катается по полу.

[Дилетант]

Sir Konrad Weller
Про конфеты вот здесь:
www.diary.ru/~Organon/p38665255.htm

А про физику... Сам знаешь... ))) Физики ой как не любят математиков за их "актуальную бесконечность")))
И где-то я их понимаю)))

[Sir Konrad Weller]

Дилетант .
Вот-вот. В реальном физическом мире с бесконечностями достаточно напряжно.
*грустно* ну не понимаю я их. Даже бесконечность космоса для меня где-то на уровне начертательной геометрии : признаю существование, но понять не могу.
Тогда, простите, если оперировать бесконечностями, то покрасить пластину можно конечным количеством краски, но за бесконечно долгое время. Справа и слева от знака равенства здесь бесконечности.

[Sir Konrad Weller]

Дилетант , неееет. Только не Банах-Тарский!
Дилетант, ты жестокая женщина - я опять выпаду на пару дней из реальности, осознавая процесс раздвоения шара.
Чтоб им добро было, Банаху и Тарскому, за такое.

[Дилетант]

Sir Konrad Weller
А ты читал тут же "библейскую аллюзию" на этот парадокс? Она тоже чудо как хороша )))

[Sir Konrad Weller]

Дилетант
Ага. К сожалению - есть одна маленькая проблема: шары из парадокса нематериальны.
Вот если бы там была сферическая нематериальная рыба и сферический нематериальный хлеб - та да.

А ведь по сути дела, Библия суть попытка логически обосновать необоснуемое. Естественно, что парадоксы там один на другом, в том числе и математические.

[Диана Шипилова]

Ух ты, какое интересное обсуждение)))
Я воспринимаю этот сосуд (равно как и краску) исключительно как сферического коня в вакууме. О физической модели сосуда, мне кажется, здесь говорить вообще бессмысленно, так же, как и о молекулярной структуре краски
Мое объяснение ближе всего к Disprein'овскому. Если в условии сказано, что

Разумеется, чтобы всю ее покрасить, потребуется бесконечное (по объему или массе) количество краски.

, отсюда следует, что слой краски ненулевой. Какой бы он ни был тонкий, рано или поздно сосуд станет уже, и тогда получается, что окунуть пластинку с соблюдением условий невозможно. А если уж мы говорим, что сделать это все-таки можно, тогда выделенное предложение становится неверным.

[Sir Konrad Weller]

Диана Шипилова , если мы отбрасываем физику напрочь, то ответ, причем идеально верный, у нас в первом же комментарии.
Единственное что - красить пластинку конечным количеством краски придется бесконечное количество времени.

[Диана Шипилова]

Sir Konrad Weller
Ну да, я и сказала, что отличное объяснение