Информационное

[Amicus Plato]

Всех желающих приглашаю к дискуссии.
В двух словах тема ее такова:
"Встречаются ли в природе бесконечные множества или это чисто математическая абстракция?"
Находится она здесь:
organon.diary.ru/?comments&postid=38836891

@темы: Техническая запись

---

Парадокс брадобрея

[Amicus Plato]

Этот парадокс уже является переформулированным парадоксом Рассела о множествах.
Его формулировка, вроде бы, тоже принадлежит Расселу.

Наверняка этот парадокс, известный не меньше парадокса лжеца, знаком многим.
Вот довольно цветистая его формулировка (в литературе чаще можно встретить этот парадокс в виде одного предложения).

Допустим, что в некотором поселке нет бородатых людей и все мужчины бреются либо сами, либо у местного брадобрея.
Пусть также нам известно, что в этом поселке есть закон, согласно которому брадобрей бреет тех и только тех, кто не бреется сам.
Спрашивается: бреет ли брадобрей самого себя?
Оказывается, что ни "да", ни "нет" ответить нельзя. Если он бреет самого себя, то он относится к категории тех, кто бреется сам, а людей этой категории, согласно закону, он не должен брить. Значит, брадобрей себя брить не может.
Если же он не будет брить самого себя, то он относится к категории тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз и должен брить. Значит, он должен бриться сам.

Получается так называемая "петля": если брадобрей бреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он, напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущее рассуждение.
Выход из сложившейся ситуации брадобрей для себя найти не может...

Объяснение (развенчание)
Оно, как всегда, весьма прозаично.
Здесь мы столкнулись с петлей, которая замкнулась на разных уровнях иерархии, приняв их за один.
Что это означает?
Это означает, что при формулировке закона поселка: правила, которым должен руководствоваться брадобрей, — не были учтены иерархические различия. Закон должен относиться ко всем жителям поселка, кроме самого брадобрея, так как брадобрей в данном случае относится к другой иерархической категории.

Если же не учитывать иерархических различий и не уточнять правило, которым должен руководствоваться брадобрей, то парадокс говорит только о том, что такого брадобрея быть не может.

Вот еще два "популярных" варианта парадокса Рассела:

Варианты

Еще один вариант:
В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров», где должен жить мэр Города мэров?

И ещё один:
Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

@темы: Парадоксы, Теория множеств, Amicus Plato

---

Отображение квадрата на его сторону

[Amicus Plato]

Напомню вопрос.
Он заключался в том, имеют ли квадрат и его сторона равные мощности. То есть, равно ли в них "количество точек"? Сравнимы ли типы бесконечности для обозначения количества точек отрезка и количества точек двумерной фигуры?
На первый взгляд, ответ очевиден: "конечно же нет!" Ведь в квадрате помещается бесконечное число отрезков длиной в его сторону!

Однако, чтобы доказать, что это не так, что множества эти "соизмеримы", и более того, равномощны, ("имеют одинаковое количество точек", нам надо всего лишь задать взаимно однозначное соответствие из точек квадрата в точки его стороны (и обратно).

Оговорюсь сразу: я не могу найти, где я это вычитала, и поэтому не помню в точности, как там выглядит "предельный переход" — отображение точек, которые лежат на сторонах квадрата. С внутренней областью всё ясно. А насчет границы: это уже мой личный изворот.

Итак, доказательство.
Пусть у нас есть произвольный квадрат. Примем его сторону за единицу. Тогда в координатной плоскости каждая его точка будет иметь координаты (х,у) вида:
x = 0,x1x2x3...........
y = 0,y1y2y3...........

То есть, х и у будут представлять собой конечные или бесконечные десятичные дроби в диапазоне от 0 до 1.
Теперь обратимся к точкам на границе.
В одном из комментариев в этом сообществе я уже показывала, что когда речь идет от числах вещественных, две записи единицы полностью эквивалентны:
1,0000000000000000... = 0,999999999999999999999...
Поэтому точки на границах квадрата мы будем представлять с соответствующей координатой (у для верхней стороны и х — для правой) равной 0,9999999....

Тогда отображение ЛЮБОЙ точки квадрата на отрезок оси от 0 до 1 можно представить в следующем виде:

z = 0,x1y1x2y2x3y3............

То есть всего навсего зададим координаты точки зэт на отрезке [0;1], чередуя цифры записи икса и игрека.
Таким образом, КАЖДАЯ точка этого квадрата нашла свое уникальное место на его стороне.
Обратно, по каждой точке стороны можно единственным образом восстановить точку квадрата: цифры, стоящие на нечетных местах после запятой, образуют мантиссу (дробную часть) координаты х (абсциссы), а цифры, стоящие на местах четных, образуют мантиссу ординаты — у.

Сумбурно несколько вышло.
Поэтому, если что, — говорите сразу.

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

---

[Amicus Plato]

Начинаю наполнять раздел ссылок.
Буду по мере поступления (нахождения) чего-то интересного складывать всё туда.

Теперь в меню сообщества (слева) под кнопкой "Выход" появилась кнопка "Ссылки"
Первая ссылка на книгу И. В. Ященко "Парадоксы теории множеств".
Мне она показалась очень интересной!

Поскребу по сусекам и, думаю, в ближайшее время добавлю туда еще.
Постараюсь каждый раз извещать об этом и отдельными записями.

@темы: Техническая запись

---

[Amicus Plato]

Прежде чем ответить на вопрос, можно ли однозначно отобразить квадрат на его сторону, приведу вольные выдержки из работы Павла Флоренского "Обратная перспектива", где я впервые и прочитала об этой проблеме.
Кстати, у Флоренского решения не дается.
Решение я вычитала через несколько лет совсем в другом месте. Оно меня восхитило своей простотой.
Но однако, ГДЕ я об этом читала, — хоть убейте не помню. А сама это самое "простое решение" помню весьма приблизительно...
Поэтому пока только лирика.
Советую от всей души: прочитайте!
Речь вначале идет, собственно, о живописи.

П. Флоренский. Обратная перспектива.

Что значит воспроизвести некоторую реальность?
Это значит привести точки воспринимаемого пространства в соответствие с точками некоторого другого пространства, в данном случае – плоскости. Но действительность по меньшей мере трехмерна, – даже если забыть о четвертом измерении, времени, – плоскость только двухмерна. Возможно ли такое соответствие? Возможно ли трехмерный образ отобразить на двухмерном протяжении, хватит ли в последнем точек, соответствующих точкам первого, или, математически говоря: мощность образа трехмерного и таковая же двухмерного могут ли быть сравнимы? — Ответ, естественно напрашивающийся на ум, — «Конечно, нет», — «Конечно, нет, ибо в трехмерном образе — бесконечное множество двумерных разрезов, и, следовательно, мощность его бесконечно больше мощности каждого отдельного разреза». Но данный выше ответ, по-видимому, естественный, не может быть признан правильным. Определеннее: мощность всякого трех- и даже многомерного образа точно такая же, как и мощность любого двух- и даже одномерного образа. Изобразить четырех- или трехмерную действительность на плоскости можно, и можно не только на плоскости, но и на любом отрезке прямой или кривой линии. При этом такое отображение можно установить БЕСЧИСЛЕННЫМ множеством соответствий!
...
Ограничимся случаем изображения квадрата со стороною в одну единицу длины на прямолинейном отрезке, равном стороне вышеозначенного квадрата, — т.е. СЛУЧАЕМ ИЗОБРАЖЕНИЯ КВАДРАТА НА ЕГО СОБСТВЕННОЙ СТОРОНЕ; все другие случаи легко могут быть рассмотрены по образцу этого. Так вот, Георг Кантор указал аналитический прием, при помощи которого устанавливается соответствие между каждой точкой квадрата и каждой точкой его стороны: это значит, что если нам даны х и у - местоположение в любой точке квадрата, то некоторым единообразным приемом мы отыщем z, определяющую некоторую точку стороны квадрата, изображение вышеозначенной точки самого квадрата; и наоборот, если указана произвольная точка на отрезке — изображении квадрата, то отыщется и изображаемая этою точкою точка самого квадрата. Таким образом, ни одна точка квадрата не останется неотображенной, и ни одна точка изображения не будет пустой, ничему не соответствующей: КВАДРАТ БУДЕТ ОТОБРАЖЕН НА СВОЕЙ СТОРОНЕ. Подобно этому может быть отображен на стороне квадрата и на самом квадрате – куб, гиперкуб и вообще квадратовидное геометрическое образование ЛЮБОГО и даже БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОГО числа измерений.
…
Итак, непрерывные множества все между собою равномощны. Но, обладая одинаковой мощностью, они не имеют одних и тех же «умопостигаемых» или «идеальных» чисел в смысле Кантора, т.е. не «подобны» между собою.
Иначе говоря, нельзя отображать их друг в друге, не затрагивая их СТРОЕНИЯ. При установке соответствия нарушается либо непрерывность изображаемого образа (- это когда хотят соблюсти взаимную однозначность изображаемого и изображения-), либо взаимная однозначность того и другого (-когда сохраняется непрерывность изображаемого-).
…
Иначе говоря, изображение квадрата на линии, или объема на поверхности, передает все точки, но неспособно передать форму изображаемого, как целого, как внутренне определенного в своем строении предмета: передается содержание пространства, но не его организация. Чтобы изобразить некоторое пространство со всем его точечным содержанием, необходимо, образно говоря, или столочь его в бесконечно тонкий порошок и, тщательно размешав его, рассыпать по изобразительной плоскости, так чтобы от первоначальной организации не осталось и помину, или же разрезать на множество слоев, так что нечто от формы останется, но расположить эти слои с повторениями одних и тех же элементов формы, а с другой стороны с взаимным проникновением этих элементов друг через друга, следствием чего оказывается воплощенность нескольких элементов формы в одних и тех же точках изображения.
В итоге: ИЗОБРАЗИТЬ ПРОСТРАНСТВО НА ПЛОСКОСТИ ВОЗМОЖНО, НО НЕ ИНАЧЕ КАК РАЗРУШАЯ ФОРМУ ИЗОБРАЖАЕМОГО.

@темы: Amicus Plato, Цитаты

---

[Amicus Plato]

В каждой шутке есть доля шутки.

Знаете, что мне подумалось тут.
Просто поговорили с  Sensile о разном восприятии простых вроде бы обозначений...
И я вспомнила то, что меня не то что бы "мучает", но хотелось бы знать, есть ли тут хоть какая-то связь.

Почему ребра куба (ну, любого параллелепипеда) называются ребрами?

Не потому ли что их 12?
(Столько же сколько пар ребер у человека?)
А?

@темы: ))), Amicus Plato, Вопросы

---

[Amicus Plato]

Задача про Деда Мороза открыла нам поразительные горизонты и перспективы.

Она показала, что операции с бесконечными множествами нужно производить не то что даже "аккуратно", но с большим пиететом.

И первое, что всегда надо делать, — выяснить мощности множеств, которыми мы собираемся оперировать.

"Мощность" для бесконечного множества равнозначна "числу элементов" для множества конечного.
Мощности множеств определяются специальными числами — "кардиналами".
Самое "маленькое" – это счетное множество, такое, в котором все элементы можно пронумеровать. Скажем, множество всех натуральных чисел. Его мощность кардинальным числом обозначают אо – алеф-ноль!
Все действительные числа образуют множество мощности א – алеф. Мощность א называется мощностью континуума. Причем, есть такая теорема Кантора, из которой следует, что для каждого кардинала, существует кардинал больше него. То есть, бесконечности все уплотняются, и нет этому конца. Бесконечность одних множеств вкладывается в бесконечность других.

Два бесконечных множества равномощны, если существует взаимно однозначное отображение из одного множества в другое.

Например множества всех натуральных чисел и всех положительных четных чисел равномощны.
Отображение, устанавливающее связь между ними: n —> 2n
То есть, на первый взгляд, четных чисел вдвое меньше.
Оказывается, это не так.
Чисел, делящихся на 3, на 5, на 10 и даже на сто миллионов в совокупности ровно столько же, сколько и всех натуральных чисел вместе.
Это не парадокс. Это факт.

А теперь внимание, вопрос:

Как вы думаете, квадрат и сторона квадрата имеют одинаковую мощность?
То есть в них одинаковое "количество точек"???

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

---

Еще к теме множеств и парадоксов

[Disprein]

Новогодняя задачка.

У Деда Мороза есть волшебный мешок с конфетами. Конфет бесконечное количество, и все они пронумерованы натуральными числами (ну то есть конфет счетное множество).
Дед Мороз приходит к детям с этим своим мешком.
За минуту до полуночи Дед Мороз дает детишкам конфету с номером 1.
За полминуты до полуночи Дед Мороз забирает у детишек конфету с номером 1 и дает им конфеты с номерами 2 и 3.
За четверть минуты до полуночи Дед Мороз забирает у детишек конфеты с номерами 2 и 3 и дает им конфеты с номерами 4, 5, 6 и 7.
За одну восьмую минуты до полуночи...
В общем, в каждый такой момент Дед Мороз забирает у детишек ранее выданные им конфеты и выдает вдвое больше конфет с очередными номерами.
Вопрос: сколько конфет окажется у детишек в полночь?

Я думаю, решение с комментариями ответа надо будет потом поместить в этот же пост, чтобы превратить его из думательного в познавательный)

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Развенчание парадокса Греллинга

[Amicus Plato]

Сначала попробуем формально записать то, что в прошлой записи обозначалось лишь неформальным описанием.

Введем обозначения: прилагательные обозначим маленькими буквами: р, g, ..., а выражаемые ими свойства обозначим, соответственно, большими буквами: Р, G, ...
Предложение "Прилагательное р применимо к себе" символически запишется в форме Р(р), а предложение "Прилагательное р не применимо к себе" запишется в форме не-Р(р).

Если относительно некоторого прилагательного р установлено не-Р(p), то по принятому определению, прилагательное р будет гетерологическим.
Обозначив свойство "быть гетерологическим" через G получим следующее формальное определение гетерологичности:

ДЛЯ_ВСЕХ p, таких, что выполняется G(p) следует не-P(p) (*)

(Здесь мне сильно не хватает кванторов и стрелочек)

Это общее определение. Теперь подставим в него прилагательное "гетерологический".
Обозначим его буквой g.
Тогда при р=g из условия (*) получим противоречие: для g выполняются G(g), и не-G(g) вместе. То есть g являясь гетерологическим одновременно им же и не является!

Парадокс этот снимается тем же самым: различением предметного языка и метаязыка.
Предполагается, что первоначально мы рассматривали только прилагательные некоторого предметного языка, которые мы и разделили (без пересечения) на аутологические и гетерологические; прилагательное же "гетерологический" появилось только при описании этой классификации и, значит, относится к метаязыку.
Поэтому в условии (*) квантор общности: "ДЛЯ_ВСЕХ", — имел смысл "для всех прилагательных предметного языка" и, значит, наша подстановка р=g не была правомерной.

@темы: Парадоксы, Amicus Plato

---

Парадокс Греллинга, двоюродный брат парадокса Берри-Ришара

[Amicus Plato]

Этот парадокс, вполне возможно, при поверхностном взгляде покажется парадоксом лингвистическим. Или, может, семантическим. Однако же на мой взгляд, он очень и очень близко подводит нас к парадоксу Рассела (речь о котором еще впереди).

Парадокс был сформулирован в 1908 году двумя математиками: Куртом Греллингом (1886-1941) и Леонардом Нельсоном (1882-1927).

Перед тем как изложить сам парадокс, дадим два определения. Или, точнее, просто разобьем все имена прилагательные на два класса по некоторому признаку.

Аутологические и гетерологические прилагательные

Некоторые прилагательные, обладают тем самым свойством, которое они называют. Некоторые, но, естественно, далеко не все. Сейчас я очень надолго задумалась над примерами, и ничего хорошего придумать так и не смогла. Поэтому потчую вас примерами найденными:
1) прилагательное «русское» само является русским,
2) «многосложное» — само многосложное,
3) «шестислоговое» само имеет шесть слогов.
Такие слова, относящиеся к самим себе, называются самозначными, или аутологическими.

Однако в подавляющем большинстве прилагательные не обладают свойствами, которые они называют.
1) «Английское» не является английским (оно тоже русское))),
2) «однослоговое» — не состоит из одного слога,
3) "новое" далеко не ново.
И вот здесь смело могу сказать: "и т.д." — примеров таких прилагательных можно придумать сотни.
Прилагательное "красный" — не красно; "длинный" — не длинно, "короткий" — не очень-то коротко (особенно по сравнению с длинным)...
Слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, называются инозначными, или гетерологическими.
Очевидно, что все прилагательные, обозначающие свойства, неприложимые к словам, будут гетерологическими.

Это разделение прилагательных на две группы кажется ясным и не вызывает возражений.

Однако именно здесь мы заметим, что слово "гетерологический" тоже является прилагательным.
Парадокс возникает, как только задается вопрос: к какой из двух групп мы отнесем это слово?
Если оно аутологическое, оно обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, оно не имеет называемого им свойства и должно быть поэтому аутологическим.

Оказалось, что парадокс Греллига был известен еще в средние века как антиномия выражения, не называющего самого себя.
Но, не найдя своего разрешения, антиномия была благополучно забыта на полтысячелетия.

@темы: Парадоксы, Amicus Plato

---

[krystofer]

Я давно думаю над проблемой:
Как можна выразить оператор сумирования с помощью оператора умножения, кроме тривиального случая, когда элементы суммирования одинаковые, конечно?
Тоесть как выразить а+b~a*b

@темы: Вопросы

---

Логические парадоксы. Парадокс осужденного

[Amicus Plato]

Да-да! Опять мы говорим про осужденных!
Поиски информации о парадоксе Ришара — брате-близнеце парадокса Берри, дали неожиданные результаты.
Я нашла Парадокс осужденного.
Привожу полностью сам парадокс и его развенчание. С ним я раньше не сталкивалась вообще!
Поразительная вещь.

Парадокс осужденного

Начнем с наиболее распространенной формулировки данного парадокса:

Приговоренного бросили в тюрьму в субботу. "Тебя повесят в полдень", - сказал ему судья, - "в один из семи дней на следующей неделе. Но когда именно тебя повесят, ты узнаешь лишь утром в день казни". Судья славился тем, что всегда держал свое слово.

После произнесенного судьей, оставшись в камере наедине с осужденным, адвокат рассуждал так: "В последний день следующей недели, т.е. в субботу (неделя на самом деле начинается в воскресенье, а не в понедельник, как думают нормальные люди)), тебя повесить не могут, ведь ты бы уже знал об этом в пятницу днем, после того как тебя не повесят. Значит, последним днем, когда тебя могут повесить, является пятница. Но и она отпадает по той же самой причине: о казни в пятницу ты бы знал уже в четверг после обеда. Аналогично отпадают все остальные дни, кроме завтрашнего. Но и завтра тебя не могут повесить, т.к. ты уже сейчас знаешь это".

Таким образом, не нарушив судейского обещания, привести приговор в исполнение невозможно, хотя в самом приговоре нет никаких логических противоречий.

Другой формулировкой этого парадокса является "яйцо-сюрприз" (когда ваш друг кладет яйцо в одну из N коробок и утверждает, что обнаружение яйца при последовательном открывании коробок станет для вас неожиданностью).

Источником этого парадокса может служить следующая история: как-то раз в 1943 или 1944 году шведское радио сообщило о том, что на следующей неделе будет объявлена учебная воздушная тревога. Чтобы проверить готовность шведских ПВО учения решено провести внезапно, т.е. ни один человек не сможет предугадать в каком часу она будет объявлена. Л. Экбом, преподаватель математики из Стокгольма, усмотрел в этом логический парадокс и обсудил его со своими студентами, а позже один из его учеников, будучи в 1947 году в Принстоне, услышал одну из вариаций этого же парадокса из уст известного австрийского, с 1940 года жившего в США, математика и логика Курта Геделя (1906 - 1978).

Основная попытка разрешить этот парадокс базируется на неоднозначности трактовки понятия "знание". Что считать таковым? Либо когда человек знает, как в данном случае, из уст другого, который никогда не лжет, что какое-то событие должно произойти и поэтому в этом абсолютно уверен (и тогда парадокс действительно существует), либо когда событие уже произошло, ведь как бы ни был человек уверен в том, что оно произойдет, он этого не знает, до тех пор, пока оно не случится (и тогда парадокса нет - палач приходит, например, в среду, и узник, после рассуждений адвоката, будет очень ему удивлен). Следовательно, нужно договориться о терминах, а это, по уже известному нам замечанию Webster`а, вещь полезная.

Взято отсюда:
absolute.times.lv/psm/paradoxes/paralog.html

UPD. Много думала )))
Развенчание, как мне кажется, из рук вон плохо! То есть, может, оно и хорошо само по себе, но к данному парадоксу слабо применимо!
Единственное, что ДЕЙСТВИТЕЛЬНО СЛЕДУЕТ из рассуждений адвоката: так это то, что осужденный не доживет до пятницы.
Однако же никто не помешает известить его утром понедельника.
В таких вещах просто-напросто нельзя инвертировать время (в общем случае) или последовательность действий (как в случае с яйцами-сюрпризами).
Хотя... Вот с яйцами... Может нет? А?
Насчет же ПВО я вообще слабо представляю, поскольку мы из области дискретного уже попадаем в область континуальных событий... Там-то как это работает?

запись создана: 07.12.2007 в 10:59

@темы: Парадоксы, Amicus Plato

---

Заметки о женской логике

[Dieter Zerium]

Этот пост мало связан с математикой, поэтому его при случае можно удалить, но всё же...

Беклемишев Дмитрий Владимирович - многие из нас учились по его учебникам линейной алгебры и аналитической геометрии, он профессор МФТИ, доктор педагогических наук.

Но помимо основной деятельности Дмитрий Владимирович пишет интересные заметки и статьи, например эта:
Заметки о женской логике

@темы: Интересные ссылки, Публикации

---

А вы говорите: "теорема Ферма, теорема Ферма...."

[Amicus Plato]

Это просьба сугубо необязательная.
Просто ВДРУГ кто-то что-то знает на этот счет.
Расскажите пожалуйста, есть ли ДОСТУПНЫЙ ДЛЯ ПОНИМАНИЯ способ решать линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными?
С общим решением у меня вопросов нет )
Меня интересует логика в нахождении частного решения. Ибо от меня она ускользает.

@темы: Вопросы

---

Запись более чем годичной давности

[Amicus Plato]

"Поднимаю" одну свою запись, а вернее копирую ее заново.
Круг читателей сообщества за этот год претерпел значительные изменения, а задача эта уж очень мне нравится!
Надеюсь понравится она и вновь прибывшим читателям.
Остальным же (тем, кто уже в курсе) будет надеюсь не слишком назойливым напоминанием, о том, как удивителен мир вокруг ))

**************************************************************

Хочу тоже отметиться задачей.
Но задача моя будет совсем иного рода — не "на смекалку". Решение она имеет элементарное, — дело тут совсем не в этом.
Моя цель — показать, как парадоксален мир, в котором мы живём, к которому мы привыкли, и о котором думаем иногда со скукой.
Давайте открывать глаза на такие мелочи! Себе и друг другу.

Задача. Представьте себе, что мы обвязали веревкой земной шар по экватору. Обвязали очень туго, так что между землей и веревкой нет никакого зазора. (Рельефом пренебрегаем))).
А теперь представьте, что мы взяли другой кусочек веревки длиной 1 метр (с запасом на узелки), разрезали большую веревку в любом месте экватора, и вставили туда этот метровый отрезок. То есть, увеличили длину веревки на один метр.
Спрашивается: Пройдет ли котенок в зазор, образовавшийся между земной поверхностью и веревкой.

(Задача почерпнута в детстве из какого-то математического научпопа).

Еще раз повторяю — решение очень легкое. Дело не в нем, дело в ответе!

Дискуссия по этому поводу здесь:
www.diary.ru/~Organon/?comments&postid=18918473
Там же и решение, но оно, я думаю, затруднений и так не вызовет!

@темы: Поп-математика, Amicus Plato

---

Развенчание парадокса Берри

[Amicus Plato]

Как я и говорила раньше, сами парадоксы кажутся мне гораздо более "логичными", чем их развенчание!
И вот наконец-то я нашла этому объяснение.
Не сама — нашла в тексте уже цитируемой мною статьи.

Сейчас расскажу всё по порядку.
Парадокс Берри, как и парадокс лжеца, относится к так называемым "языковым" парадоксам. То есть его появление обязано тому, что мы смешали два языка: предметный и метаязык.

В рассматриваемой нами фразе речь идет о различных описаниях названного числа, сделанных на некотором предметном языке, следовательно, в этой фразе утверждается, что эти описания должны содержать не менее 100 слов предметного языка; сама же эта фраза относится к метаязыку и поэтому может содержать и меньшее количество слов.
Собственно, вот и всё объяснение...

Однако, хоть эти два парадокса (лжеца и Берри) говорят нам о том, что мы должны четко разделять предметный язык и метаязык, это оказывается возможным далеко не всегда! То есть практически никогда!
Дело в том, что мы все разговариваем на ЕСТЕСТВЕННОМ ЯЗЫКЕ. Не отдельно на предметном, отдельно на мета-, даже будь мы самыми великими семиотиками... Всё равно человеческий язык — это язык естественный.

А естественный язык является семантически замкнутым языком: он одновременно является и предметным языком, и метаязыком по отношению к самому себе.

И именно поэтому в естественном языке и возникают такие семантические парадоксы.
Эти парадоксы можно объяснить (sic!), но исключить (sic! sic!) их появление в естественном языке мы не в состоянии.

И под катом опять маленькая цитата, которая вполне объясняет нашу неудовлетворенность объяснениями этих парадоксов.
Выход заключается в создании искусственных символических и иерархических языков и большой осторожности в сомнительных случаях. В предметном языке и в метаязыке мы должны пользоваться разной символикой. Следует еще отметить, что рассмотренные семантические парадоксы мы объясняли необходимостью различения языка и метаязыка, но существует и большое число других объяснений. К сожалению, однако, ни одно из них не стало общепризнанным и поэтому проблему объяснения парадоксов нельзя считать окончательно решенной. Наличие в познании различных иерархических уровней можно проиллюстрировать и на целом ряде других примеров.

@темы: Парадоксы, Amicus Plato

---

Парадокс Берри

[Amicus Plato]

Еще один парадокс, связанный со смешениями предметного языка и метаязыка, носит название парадокса Берри.

Этот парадокс почти в каждой статье о нем, называется "внешне простым"!
"Внешне" он, может, и простой, но если вдуматься, то речь тут идет о бесконечности, которую мы пытаемся "актуализировать" таким вот нехитрым способом. И, честно говоря, голова идет кругом.

Парадокс был указан в самом начале нашего века Д. Берри (надо поискать, как его звали, — что-то так с наскока не нашла), занимавшем должность библиотекаря Оксфордского университета.
Позже этот парадокс опубликовал Бертран Рассел.
В русской интерпретации он звучит так:
Каждое натуральное число мы можем назвать, используя при этом слова естественного языка (в нашем случае — русского).
Множество натуральных чисел бесконечно.
Множество же тех имен этих чисел, которые имеются в русском языке и содержат меньше, чем, предположим, сто слов, является конечным.
Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов.
Но выражение "наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке имени, слагающегося из менее чем ста слов" является как раз именем этого числа!
Это имя сформулировано в русском языке и содержит только семнадцать слов.
Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого в рамках множества имен не короче 100 слов — нет имени!

@темы: Парадоксы, Amicus Plato

---

[Дилетант]

У одного человека в своей френдленте (пожелавшего остаться неизвестным))) увидела задачку.
Задача эта (как я потом вычитала в других источниках) была на математической олимпиаде МГУ для пятых классов.
К сожалению, когда я ее прочитала, там уже добрые люди выложили решение.
Поэтому не знаю, смогла бы я решить ее сама....
Но однако же, решение есть, и оно единственно.
Если кто ЗНАЕТ, пожалуйста, не пишите сразу!
Если кто решил, (блин... даже не знаю...) ну короче, сделайте ваше решение на некоторое время видимым только мне )))))
Хочется чтоб все получили свою дозу удовольствия ))))))

Итак, задача.

Сидят в парке на скамейке два математика, голубей кормят. Один спрашивает:
- У тебя дети есть?
- Есть, два сына-дошкольника. Произведение их возрастов как раз равно количеству голубей у нашей скамейки.
Первый чешет в затылке, смотрит на голубей и вздыхает:
- Знаешь, этой информации недостаточно.
- Ну, еще мой старший сын похож на мать.
- Вот теперь я знаю ответ на свой вопрос.

вопрос: сколько лет сыновьям?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Вопрос или попытка поднять дискуссию

[lyambda]

Я преподаю математику более 5 лет. Параллельно читаю экономические дисциплины, был опыт прочтения IT-дисциплин. Из года в год прослеживается одна тенденция: студенты боятся математики. В их мозгу стоит мощный заслон на этот предмет. Они легко осваивают азы системного анализа, который, на мой взгляд, более тяжел для восприятия, но в упор отказываются разбираться в математике.
Как преодолеть заслон и победить студенческую не любовь к предмету? И был ли у вас страх перед каким-либо математическим разделом или всем предметом и как вы это преодолели?

P.S. Если пост не по теме сообщества, я заранее не возражаю против его удаления

@темы: Органон, Вопросы

---

О развенчании парадокса «Лжец»

[Amicus Plato]

Говорят, этот парадокс развенчал уже Аристотель. Но, честно говоря, я его трудов по этому поводу не читала.
То развенчание, о котором буду писать я, (даже нет: тут надо множественное число, – развенчаний будет много) относится (я так полагаю) к более позднему периоду.

Первое развенчание (как раз примерно аристотелевской поры) сводилось к тому, что здесь имеет место наша (моя) любимая рекурсия! Утверждение апеллирует к самому себе, то есть, имеет ссылку на самое себя. А это (якобы) означает, что оно бессмысленно!
И, значит, здесь вообще НЕ О ЧЕМ ГОВОРИТЬ! ЧТД! )))

Развиваясь, наука вообще и логика в частности пришли к понятию метаязыка.
То есть «языка над языком», языка, который содержит не имена объектов (предметов, процессов и явлений) действительности, а имена общие, не имеющие конкретного денотата, имена, именующие другие имена. (Это если так изъясняться не совсем научно, и где-то даже поэтически))

Не буду дальше упражняться в красноречии, поскольку еще раз подчеркну, я разочарована...
Не качеством логических построений, вовсе нет! Они где-то прекрасны ))) Тем более, что они неявно явно опираются на теорему Гёделя о неполноте!
Но всё-таки сам парадокс гораздо красивее их…
Поэтому привожу большую цитату из статьи и прячу ее под кат.

С развитием логики в нем стали видеть смешение двух языков: языка, на котором говорится о предметах, существующих в мире, и языка, служащего для описания самого такого "предметного" языка. В нашем обычном языке эти два уровня не различаются.
Было предложено другое объяснение, основанное на анализе одной весьма необычной особенности этого высказывания. Дело в том, что это высказывание одновременно является актом действия; причем как раз то, что в этом высказывании утверждается, в то же время становится и действием. Более того, высказывание и действие разорвать нельзя. Такие высказывания встречаются не так уж и редко. Например: "Я клянусь", "Я говорю", "Я лгу" (т.е.: "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно"), "Я слушаю" и т.п. Высказывания такого рода называются "перформативными" и к ним как считают некоторые авторы, не применимы какие-либо оценки их истинности. Их истинность зависит от того, когда, кем и где они употребляются.
Выше было сказано, что парадокс "Лжец" возникает из-за смешения двух языков. Как же связан этот парадокс с ними. Еще античные философы заметили, что каждое высказывание естественного языка выражает определенную мысль, но не несет никакой информации о том, истинна ли эта мысль или нет. Более того, они показали, что именно это утверждение об истинности того или иного высказывания не может быть выражено в естественном языке. Рассуждали они следующим образом. Пусть A0 есть некоторое высказывание, например: "1 января шел снег", и пусть это событие действительно имело место. Но так как из содержания высказывания А0 не следует, что оно истинно, то необходимо дополнительное высказывание A1: "Высказывание A0 истинно". Нетрудно, однако, заметить, что истинность высказывания A1 тоже ниоткуда не следует. Поэтому необходимо новое высказывание А2: "Высказывание A1 истинно" и т.д. до бесконечности.
Получается, что понятие истинности действительно не выразимо средствами естественного языка.
Впрочем это не совсем так. На самом деле доказано только то, что выше описанным способом нельзя выразить утверждение об истинности высказывания A0. Поэтому остается вопрос: "А нельзя ли это сделать каким-либо другим способом?" И вообще, неужели утверждение об истинности или ложности какого-либо конкретного высказывания нельзя сформулировать так, чтобы достоверность этого утверждения не вызывала сомнений?
Ответить на этот вопрос удалось только в начале XX века. К этому времени было осознано, что каждая теория описывает какую-то свою, вполне определенную предметную область и пользуется при этом только такими языковыми средствами, которые для этого необходимы. Если, например, взять арифметику, то ее предметной областью является множество натуральных чисел, а необходимым для описания этой области языком является язык, на котором можно говорить об операциях и отношениях, заданных на множестве натуральных чисел. Как же обстоит дело с "истинностью" арифметических высказываний? Общепринятое определение истинности как соответствия реальному положению дел в данном случае оказывается недостаточно ясным. Во-первых, существуют такие высказывания, непосредственная проверка истинности которых невозможна или весьма затруднительна. (Это, например, гипотеза о невозможности существования четверок Ферма.) Во-вторых, формализованные теории вообще абстрагируются от практики и выводят свои теоремы из одних только аксиом. В третьих, выяснилось, что даже после уточнения понятия "истинности", множество истинных формул арифметики тем не менее оказывается неописуемым на предметном языке арифметики. Это значит, что понятие "истинности" не выразимо на языке арифметики. Значит, это понятие относится к другому языку!
Таким образом, можно придти к выводу, что в познании существуют два уровня — две иерархические ступени. На первом уровне строится теория, описывающая некоторую предметную область (в данном случае— арифметику). Для описания этой области используется специальный, заранее фиксированный предметный язык. На втором уровне возникает метатеория, предметом исследования которой становится ранее созданная предметная теория первого уровня. В метатеории исследуется, в частности, вопрос об "истинности" высказываний предметной теории. Для этой цели используется специальный метаязык.
Предметный язык и метаязык — это разные языки, это языки, относящиеся к различным иерархическим уровням. Игнорирование этого обстоятельства неминуемо должно привести к противоречиям. Примером может послужить описанный выше парадокс "Лжеца". Покажем, что это действительно так.
С одной стороны, предложение "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно" относится к метаязыку, поскольку в нем говорится о ложности некоторого высказывания.
С другой стороны, поскольку о каком-то высказывании говорится, что оно ложно, то высказывание, ложность которого утверждается, должно относиться к предметному языку. Но в данном случае высказывание утверждает ложность самого себя. Значит, само это высказывание должно относится к предметному языку. Получается, что рассматриваемое предложение относится и к метаязыку, и к предметному языку. Но это же разные языки. Игнорирование этого различия и привело к парадоксу.

(c) Андреева Т.Ю., Саушкин М.Н. "Логические парадоксы"

@темы: Парадоксы, Amicus Plato, Публикации