[Фабий]

Хочу предложить ещё одну задачу, которую узнал летом. Над ней думали очень много, пока один человек не решил.

Условие
100 заключённых. Им дают ночь на то, чтобы договориться, а после предлагают следующее задание:
всех разводят по одиночным изолированным камерам и по одному выводят в особую комнату, где есть выключенная изначально лампочка и выключатель. Этот выключатель человек может, уходя, оставить в любом положении из двух (вкл/выкл). Водить могут людей в любом порядке, даже по несколько раз подряд. В какой-то момент очередной заключённый, заведенный в комнату с лампочкой, должен точно сказать, что до него в этой комнате побывали все остальные. И тогда их освобождают. В случае ошибки всех казнят. Логика прямая, никаких подвохов.

@темы: Бесконечность, Головоломки и занимательные задачи

---

Задачка

[Amicus Plato]

Эта задача появилась сегодня в сообществе !Не решается алгебра/высшая математика? ... ПОМОЖЕМ! с просьбой о помощи.
Она уже решена)))
Решил ее  Trotil.
Но всем, кто хочет поупражняться, — от души рекомендую!
Задача волшебная.
Знаний математики не требуется.

Фишки
На столе лежат красно-черные фишки, из которых 34 - черной стороной вверх и 16 - красной стороной вверх. В комнате выключен свет; Вы можете только перемещать фишки и переворачивать их другой стороной. Нужно разделить фишки на две группы, в каждой из которых должно быть одинаковое количество фишек, лежащих красной стороной вверх.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Простота и совершенство

[Amicus Plato]

О простых числах я уже рассказывала, когда писала про решето Эратосфена.
Но древние греки, неутомимые исследователи, не остановились на такой скупой классификации чисел.
Они поделили их не только на простые и составные.
Нет, они пошли гораздо дальше!
Напомню, что простым числом называется число, которое не имеет делителей кроме единицы и себя самого. Все остальные числа называются составными.
Пример:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,.... — простые числа;
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ... — составные числа.

Число 1, в отличие от всех остальных, не является ни простым, ни составным. Потому что простое число по определению должно иметь два делителя: себя самого и единицу. А у единицы делитель всего один — она сама.

И простых и составных чисел бесконечное множество. То есть нет наибольшего простого числа — за ним обязательно существует еще большее простое.
Вы, может быть, не поверите, но многие люди занимаются этим и в наши дни: пишут программы для вычисления нового самого большого простого числа.

Вот, что пишет Википедия:
----------------------------------------------------------------------------------------
Наибольшим известным простым числом по состоянию на сентябрь 2006 года является
2^32582657 − 1.
Оно содержит 9 808 358 десятичных цифр и является 44-м известным простым числом Мерсенна (M_32582657).
...
За нахождение простого числа из более чем 10⁷ десятичных цифр EFF назначила награду в 100000 долларов США.
---------------------------------------------------------------------------------------
Древние греки, наделявшие все свои научные открытия мистическим смыслом, считали, что простые числа появились в мире раньше составных. Составные — уже вторичны, и в них нет божественного начала.
Теорему о том, что самого большого простого числа не существует, доказал Евклид в своих "Началах".

Но составные числа тоже оказались не такими уж безнадежными.
В них скрыто множество удивительных свойств.
Про число 142 857 я писала не так давно.
Но это единичное число. А мы сейчас посмотрим на некоторые общие закономерности.
Возьмем любое составное число и посчитаем сумму его делителей (всех, кроме его самого).

Возможны варианты:

1) сумма больше исходного числа.
Например, число 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6. Сумма делителей равна 16.
16>12.
Такие числа называются избыточными.

2) сумма меньше исходного числа.
Например, число 15 делится на 1, 3 и 5. 1+3+5=9
9<15
Такие числа называются неполными.

И наконец:
3) сумма делителей равна самому числу.
Например:
6=1+2+3;
28=1+2+4+7+14
Такие числа пользовались у греков особым уважением. Они называли их совершенными.

А есть числа-друзья. Такие, что сумма делителей одного из них равняется другому, и наоборот.
Самый известный пример — это 220 и 284.
Делители 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Их сумма равна 284.
Делители 284: 1, 2, 4, 71, 142. Их сумма даст нам 220.
Такие числа так и называются дружественные )))

Среди простых чисел тоже есть особенные. Они называются близнецами. Это такие пары простых чисел, которые отличаются на 2.
Например:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), и т.д.
Все пары близнецов, кроме самой первой, имеют вид: 6n+-1.
Существует гипотеза, что таких пар бесконечно много, но доказать это пока никому не удалось.

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato

---

[Amicus Plato]

Дорогие участники сообщества!
Жизнь некоторые дневниковые глюки распорядились так, что многие участники помимо воли стали и постоянными читателями )))
Разрешите поприветствовать вас в этой ипостаси, а также, помимо этого, напомнить отписаться назад, если вы не хотите читать записи сообщества из френдленты.
А в качестве бонуса картинка.
Сегодня я об этом (в частности) рассказывала на лекции.
Сортировка массива методом пузырька.



И заодно вопрос.
Умом я понимаю, что сложность этого алгоритма О(n²).
Но он ведь работает быстрее метода простого перебора?
Так ведь?
А у перебора тоже О(n²)!
В чем тут собака зарыта?

@темы: Техническая запись, Вопросы

---

[Amicus Plato]

А кроме того, сегодня день рождения Альберта Эйнштейна!
С чем я вас от души поздравляю!


"Видите ли, телеграф - это что-то вроде очень-очень длинной кошки: вы ее дергаете за хвост в Нью-Йорке, а ее голова мяукает в Лос-Анджелесе, понимаете? Радио - это то же самое: вы передаете сигнал из определенного места и он принимается в другом. Единственное различие - в этом случае нет никакой кошки".
Альберт Эйнштейн

А вот история прямо-таки один в один кусочек выкладываемой тут моей статьи. Про ассоциативную память:

История о телефонных номерах
Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер её телефона очень сложно запомнить:"24-361. Запомнили? Повторите!"
Эйнштейн удивился: "Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате".

@темы: ))), Люди

---

Вот такое оно, число Пи ))))

[Amicus Plato]

π=3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

С ПРАЗДНИКОМ!

@темы: ))), Amicus Plato

---

Сегодня праздник

[Trotil]

Не знаете, какой?

А я вот знаю - сегодня день числа ПИ!

А все потому, что сегодня март (3), 14 -тое!

Подравляем всех, кто родился в этот день!

@темы: )))

---

Цитата

[Amicus Plato]

142 857

Приведем загадочное число, с которым связано много историй.
Начнем с умножения и посмотрим, что происходит.

142 857 * 1 = 142 857
142 857 * 2 = 285 714
142 857 * 3 = 428 571
142 857 * 4 = 571 428
142 857 * 5 = 714 285
142 857 * 6 = 857 142

Постоянно появляются одни и те же цифры, меняя свое положение и двигаясь как лента.
А дальше?

142 857 * 7 = 999 999

Если прибавить 142 + 857, получим 999.

14 + 28 + 57 = 99

142 857² = 20 408 122 449

Если мы сложим первую и вторую части этого числа:

20 408 + 122 449

получим:

...

142 857

(с) Бернард Вербер.

А вопрос у меня таков.
Туману тут подпущено много. Но каковы обоснования таких интересностей?
Ясно, что число это делится на 3, 9 и 27.
Кроме того, оно делится на 11. А числа, делящиеся на 11, способны на многое.

А вообще получается:
142 857= 3³*11*13*37

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Поп-математика, Публикации

---

Загадка...

[Trotil]

Один остров населен племенем, у членов которого бывают только голубоглазые или с глазами карего цвета. Всего на острове живет 1000 человек, из них 100 голубоглазых и 900 кареглазых. Все они как один придерживаются религии, которая строго запрещает им знать цвет своих глаз (в зеркала или воду они никогда не смотрят), или обсуждать цвет глаз кого-либо на острове. Каждый из них знает цвет глаз всех остальных, кроме себя, и если вдруг узнает цвет своих глаз, то он обязан, по своей религии, совершить публичное ритуальное самоубийство на площади на глазах у всего острова, в ближайший полдень.

В один прекрасный день на остров приплывает путешественник из далеких стран, и вскоре сдруживается со всеми жителями острова, которые полностью доверяют ему во всем.

Однажды вечером он созывает их всех, чтобы попрощаться и поблагодарить за гостеприимство. В конце своей речи он замечает, в частности, что для него - а у него голубые глаза - было приятной неожиданностью обнаружить в этой части света голубоглазого островитянина.

Вопрос: что происходит после этого заявления?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

8 марта

[Amicus Plato]

Поздравляю всех читательниц и участниц сообщества с праздником и предлагаю тематическую задачу.
Она несложная, как и положено праздничной задаче))))

Представить число 80308 в виде суммы нескольких чисел так, чтобы их произведение также было бы равно 80308.

Решать можно всем вне зависимости от гендерной принадлежности ))))

@темы: Головоломки и занимательные задачи, поздравления

---

[Cara]

Здрагствуйте!
Хочу загадать интересную задачу.
Начну с простого.
Какой максимальной длины отрезок можно вписать в квадрат?
Какой максимальной площади квадрат можно вписать в куб?
Какого максимального объема куб можно вписать в гиперкуб? Это собственно и задача.

Но можно продолжить, если будет желание ))).

Без сроков.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

[Чайный наркоман]

Если правильно понимаю специфику сообщества, то нате вам мальенькую задачку. Даже две.) Дети их как правило решают лучше, чем взрослые.)

Первая задачка
Продолжите последовательность:
1
11
21
1211
111221
... - ?

Вторая задачка
В некотором царстве, в некотором государстве жил был царь... И скучно ему было, прям жуть...
И был у него огромный четырёхугольный плац, вымощеный мрамором...Четыре свинарника, возведенные по углам, радовали глаз изяществом пропорций...
И велел он разместить своему шуту-раздолбаю в четырёх угловых свинарниках 24 поросёнка (ёжика, таракана, в общем того чего надо...) так, чтобы при обходе плаца число поросят в очередном свинарнике неизменно оказывалось ближе к 10, чем число поросят в предыдущем...
Собственно, разместите.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Еще немного об античности

[Amicus Plato]

Пожалуй, открытия античных ученых впечатляют меня гораздо больше открытий ученых нынешних.
Как, не имея в руках никаких инструментов, не имея за спиной никакого "опыта предыдущих столетий", — только на основе собственных наблюдений и умозаключений, — доходить до вещей поистине глобальных?! Как совершать такие открытия?

Сегодня я расскажу об Эратосфене Киренском.
В математике он известен многими вещами, и, наверное, в первую очередь своим знаменитым решетом, решетом Эратосфена, — алгоритмом, позволяющим выбирать простые числа из натурального ряда, "просеивая" все остальные.
См. здесь

Но я расскажу о другом. Именно Эратосфену принадлежит открытие способа вычисления размеров Земли (и применение его на практике).
Это просто потрясает любое, даже самое богатое, воображение!

Измерение размеров Земли)))

Ну, во-первых, выходит, к третьему веку до н.э. ни для кого не составлял секрета тот факт, что Земля имеет форму шара. То есть у Эратосфена это уже само собой разумеется.
Для нахождения размеров Земного шара Эратосфену всё же понадобился один прибор. Называется он ска-фис (иногда просто: скафис). Речь о нем пойдет ниже.
С помощью этого прибора Эратосфен проделал измерения, позволившие вычислить размеры Земли. Измерения он производил в Александрии.

А ход его рассуждений был таков.

К югу от Александрии находился другой город— Сиена, (ныне Асуан).
Эратосфен знал, что Сиена обладает одной замечательной особенностью. В полдень в день летнего солнцестояния Солнце в нем находится в самом зените, предметы не отбрасывают тени, и отражение Солнца видно на дне даже очень глубоких колодцев. (Сиена лежит на Северном тропике).
Отсюда Эратосфен заключил, что солнечные лучи в Сиене в этот день падают под углом точно 90°. Кроме того, раз Сиена лежит строго к югу от Александрии, то они находятся на одном меридиане.
(Я смотрела как-то давно по карте — мне показалось, что не лежат... Но сколько воды с тех пор утекло...)))
Для измерения угла падения солнечных лучей в Александрии Эратосфен воспользовался скафисом — чашеобразными солнечными часами со штырьком и делениями внутри них.

Эратосфен и скафис

Установленные вертикально, эти солнечные часы по тени от штырька дают возможность измерить высоту Солнца над горизонтом.
В полдень дня летнего солнцестояния, когда Солнце над Сиеной поднялось настолько высоко, что все предметы перестали отбрасывать тени, т.е. ровно на 90°, Эратосфен измерил его высоту на городской площади Александрии. Высота Солнца в Александрии, по измерениям Эратосфена, оказалась равной 82° 48'.
Стало быть, разность углов падения солнечных лучей в Александрии и Сиене составляет
90° 00' - 82° 48' = 7° 12'.
Это составляет примерно 1/50 часть полного круга (360°).
Таким образом, расстояние от Александрии до Сиены примерно равно 1/50 длины меридиана (т.е. окружности Земного шара).
Если измерить расстояние между городами, задача оказывалась решенной.
Но в то время точно измерить такое расстояние, к сожалению, нельзя было никак!
Необходимые данные о расстоянии между городами пришлось взять из рассказов купцов, водивших торговые караваны из Александрии в Сиену.
Купцы говорили, что расстояние между ними составляет примерно 5000 греческих стадиев, и Эратосфен был вынужден воспользоваться этим значением.

Модель Эратосфена

Таким образом, получилось, что окружность Земли равна 5000 * 50 = 250 000 стадиям.
По некоторым источникам у Эратосфена получилось 252 000 стадий.
В любом случае этот результат просто поражает воображение!
Диаметр Земли, вычисленный Эратосфеном, оказался всего лишь на 80 км меньше, чем фактический полярный диаметр!

Все рисунки имеют копирайт))) (с) — Интернет

@темы: Amicus Plato, Люди, античность

---

Головоломка замороченная

[Trotil]

Введем обозначение "x" будет округлением числа x до ближайшего меньшего целого:

"1" = 1
"1.1" = 1
"1.5" = 1
"1.99" = 1
"2" = 2

(я знаю, что это по-другому обозначается, но у меня таких символов нет )

Рассмотрим последовательность "x", "2x", "3x"....

Пример: x=3/4: "3/4", "6/4", "9/4", "3" = 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7...

Теперь перехожу к задаче.

Составить две такие последовательности:

x1 = sqrt(2)
x2 = 2 + sqrt(2)

И объединить их, упорядочив все элементы последовательности по возрастанию - мы получим некую третью последовательность P(n)

Вот такая безумная абракадабра действий.

А вопрос простой - найти зависимость P(n) между членами ряда и номером места.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Petals Around the Rose )))

[Amicus Plato]

Ну, раз уж речь зашла о головоломках, то вот еще)))
Она несложная, но тем не менее забавная )))

gusew.livejournal.com/106191.html

Взято у  Ingwar13.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

[Amicus Plato]

А помните ли вы этот тест?
www.hr-portal.ru/pages/hu/logika.php
Я совершенно забыла! Вспомнила благодаря [L]Carven von Xanadu[/L], который нашел его здесь же )))
Если кто не видел или забыл, рекомендую )))
Набрала изумительное количество очков: 30 из 30 при полном отсутствии всяческого мышления ( в том числе и логического) по причине празднования ДР ))

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Интересные ссылки

---

Задача про Пифагора

[Amicus Plato]

Честно говоря, давно уже собиралась (и давно надо было) написать про древнегреческих математиков.
Сегодня напишу про Пифагора. Напишу совсем чуть-чуть, гораздо меньше, чем можно было бы рассказать об этом удивительном человеке!
Само Пифагорейское учение — вещь очень загадочная и неоднозначная!
Учение это было одновременно научным, мистическим, религиозным, и я бы сказала "музыкальным". Интересы пифагорейцев были очень и очень обширны.
В некоторых современных исследованиях пишут, что все открытия, приписываемые Пифагору, — не его! Точнее, НЕ ВСЕ — его. Что у пифагорейцев было принято, дабы не давать поводов для проявления гордыни, смирять все свои амбиции, и, соответственно, своими открытиями возвеличивать единого Пифагора, и более никого: все остальные — просто анонимы.
А вообще, заповеди у них были весьма чуднЫе; и самые главные, основные из них, — вовсе не касались занятий наукой)))) Они носили скорее суеверно-обрядовый характер: типа перво-наперво не есть бобов. Уж не помню, где я об этом читала.
Затем: мешать золу в печке, чтобы не оставлять след от горшка; начинать обуваться всегда с правой ноги, а мыть сначала левую... Ну, и т.д. Куча всяких приятностей.
Но учение Пифагора о числах!!! Это блеск, независимо от того, кто до этого додумался — Пифагор, или его подвижники — какая разница.

Теософия пифагорейцев тоже была удивительна. Они верили в переселение душ и в освобождение от колеса сансары (цепи перерождений) с помощью математики и музыки...

Но всё же, рассказывать о числах мне чуть более привычно. У пифагорейцев к числам отношение было более чем уважительное. Они придавали числам мистический смысл. Знаменитое Пифагорово изречение гласит: "ВСЕ ВЕЩИ СУТЬ ЧИСЛА".
Пифагор же придумал так называемые треугольные и прямоугольные числа. (Но об этом я расскажу уже в следующий раз).

Сегодня напишу только всем известную историю про "Пифагоровы штаны".

Пифагоровы штаны

Со школьных времен в нас сидит намертво: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".


a² + b² = c²

Однако же для Пифагора доказательство этой теоремы стало серьезнейшим ударом по всему его представлению о мироустройстве!
Бедный Пифагор! Как только он доказал эту теорему, полетели в тартарары все его теории о соизмеримости, сечениях, пропорциях, среднегармоническом и т.д. До этих самых пор он полагал, что геометрию можно описать арифметикой в ее тогдашнем виде. А оказалось — нет!
Даже такая простая вещь, как прямоугольный треугольник не может быть описана рациональными (соизмеримыми) числами!

Итак, несоизмеримость.
Это очень просто и очень красиво!

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник.
Такой, как я специально нарисовала на картинке. В нем a=b.
Тогда теорема перепишется в виде:
a² + а² = c²
или
2a² = c²

То есть квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату любого из катетов. Предположим, что каждый катет равен единице; какова в таком случае длина гипотенузы?



Про корень из двух и вообще про корни мы, естественно, ничего не знаем.

Допустим, что ее длину можно выразить в виде обыкновенной дроби: m/n.

Тогда квадрат этой гипотенузы равен m²/n², и все это равно двум, так как длины катетов — единицы, и, соответственно,

1² + 1² = 2 ⇒

m²/n² = 2 __________________________________________________ (1)

Если m и n имеют общий множитель, разделим их на него, и впредь будем считать, что m и n взаимно просты, то есть, общих множителей не имеют.
В таком случае по крайней мере или m, или n должно быть нечетным (если оба четные — значит, у них есть общий множитель двойка, а мы дробь уже сократили).

Из (1) вытекает:
m² = 2*n², ________________________________________________________ (2)
и, следовательно, m² — четное и, стало быть, m — четное, a n — нечетное.

В таком случае, если m — четное, запишем его в следующем виде: m = 2*р.
Тогда подставим в (2) вместо m — (2*р). После возведения в квадрат получим:

4*p²=2*n²;

сократим на два: n²=2*p², отсюда n — четное, что противоречит допущению.

Тогда, наше исходное предположение неверно!
Гипотенузу нельзя измерить дробным числом m/n!

Вот, без всяких корней, пришли к существованию иррациональных чисел!
Т.е. чисел, не представимых в виде обыкновенных дробей, и следовательно, в виде конечных или периодических десятичных дробей.
То есть, длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетом 1 — это бесконечная десятичная дробь, которую никогда нельзя вычислить точно.
Стало быть, в самом простецком треугольнике длины сторон несоизмеримы!

А ведь вся теория мироустройства Пифагора была завязана на гармонии и на соизмеримости!
И вдруг — нельзя точно найти отношение гипотенузы к катету!
Это, конечно, стало сильным ударом для учения...

Однако... На самом деле я хотела рассказать даже не об этом.
Пифагор — одна из самых легендарных личностей античного мира. А уж историй про пифагорейцев — вообще не счесть! Одна из историй (о становлении его учения) такова:
Пифагор с самого начала был довольно-таки экстравагантен в своих взглядах. Это хорошо для большого ученого, но плохо для ученого никому не известного. И сперва учение его отталкивало и шокировало. И никто не хотел у него учиться. Ходят слухи, что первому своему ученику он сам предложил платить за то, чтобы только он у него учился!
Да. Именно с этого начиналась пифагорейская школа!

А вот теперь задачка:
Ученики Пифагора
На вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий учёный Пифагор отвечал так: "Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы". Сколько учеников было у Пифагора?

@темы: Поп-математика, Amicus Plato, Люди, античность

---

О переборе паролей

[Trotil]

Пусть мощность множества возможных паролей - N (например, для 32 бит оно будет равно 2^32)

Задача - угадать пароль перебором возможных комбинаций.

Способ 1: последовательно перебирать все варианты: 0, 1, 2, .. N-1.
Способ 2: Случайно генерировать число y<N и опробовать его в качестве пароля.

Найти матожидание числа опробований до нахождения верного пароля (задача не сложная, поэтому ответы приводить пока не буду - пишите в комменты) - М1 и M2.

Интересней другое. M2 является верхней средней оценкой. И никакие хитрые способы не заставят повысить эту оценку. Она не зависит от того, сколько раз в год вы меняете пароль. Даже если вы будете менять его каждый день - алгоритм все равно наткнется на ваш пароль в среднем за M2 шагов.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

[ninjais]

Кто-нибудь, объясните простым языком что такое сюръективность и инъективность?

@темы: Вопросы

---

[Sw.Hurt]

с математическими науками у меня не очень, поэтому может кто-нибудь объяснит



(найдена картинка на просторах дайри)

=)

@темы: Головоломки и занимательные задачи