Задачка про министров-взяточников

[Disprein]

За круглым столом сидят министры (коих не меньше трех) некоторого государства. Известно, что министры берут взятки, но сумму взяток для каждого министра не знает никто, кроме самого министра. И ни один министр ни за что не поделится этой информацией ни с одной живой душой, потому что это дело подсудное.
Однако глава государства потребовал от кабинета министров предоставить ему среднюю сумму взяток на одну министерскую душу.
Как действовать министрам, если все они заинтересованы в том, чтобы глава государства получил нужную ему информацию, но ни один из них не хочет раскрывать сумму своих взяток?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

[Диана Шипилова]

Теорема: ln 2 = 0.

Доказательство.
Рассмотрим разложение ln 2 в бесконечный ряд:
ln 2 = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + …
Перегруппируем слагаемые:
ln 2 = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)
Тогда получаем, что
ln 2 = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...) – 2∙(1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...).
Скомбинируем первые слагаемые в ряд:
ln 2 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...) – 2∙(1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...),
ln 2 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...) – (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...).
Следовательно, ln 2 = 0, что и требовалось доказать.

@темы: Парадоксы

---

Сорок неверных жен

[Диана Шипилова]

Другая версия истории о голубоглазых и кареглазых дикарях, которую когда-то выкладывал Тротил. Из книги Гамова и Стерна «Математические головоломки».

Великий султан ибн-аль-Каз был очень обеспокоен большим количеством неверных жен среди жительниц столицы его государства. Сорок женщин открыто изменяли своим мужьям, но, как это часто бывает, хотя об их неверности знали все, их мужья оставались в полном неведении относительно поведения своих жен. Дабы наказать падших женщин, султан издал указ, разрешавший мужьям неверных жен убивать их, разумеется, если мужья вполне уверены в измене нечестивиц. В указе султана ничего не говорилось о числе неверных жен и не назывались их имена. Говорилось только, что такие случаи в главном городе Квазиабабии известны, и предлагалось мужьям предпринять что-нибудь для неповторения супружеских измен впредь. Но к великому удивлению законопослушных подданных султана и всей городской полиции ни в день объявления указа, ни в последующие дни не стало известно ни об одном случае убийства неверной жены мужем. Прошел целый месяц — никаких результатов. Стало создаваться впечатление, что обманутые мужья не очень-то заботятся о том, чтобы спасти свою поруганную честь.
— О великий султан, не объявить ли нам имена сорока неверных жен, — предложил однажды визирь ибн-аль-Казу, — коль скоро мужья слишком ленивы, чтобы самим справиться со своими проблемами?
— Нет, — возразил султан, — подождем. Мои подданные ленивы, но они, несомненно, весьма хитроумны и очень мудры. Я совершенно уверен, что очень скоро последуют действия.
И действительно, на сороковой день после оглашения указа действия внезапно последовали. В одну ночь были убиты сорок женщин. Как показало незамедлительно проведенное расследование, это были те самые сорок распутниц, которые, как всем было известно, изменяли своим мужьям.
— Не понимаю, — воскликнул пораженный случившимся визирь, — почему сорока обманутым мужьям потребовалось так много времени, чтобы предпринять решительные действия, и почему они предприняли, наконец, действия в один и тот же день?
— Все очень просто, мой дорогой Ватсон, — засмеялся султан. — Должен признаться, я ожидал, что добрая весть придет именно в тот день, когда она пришла. Мои подданные, как я уже говорил, может быть, очень ленивы, чтобы организовывать слежку за женами и устанавливать их верность или неверность, но они показали, что достаточно умны, чтобы разрешить возникшую проблему путем чисто логического анализа.
— Боюсь, что не понимаю тебя, о великий султан, — промолвил визирь.

(продолжение в комментариях)

@темы: Парадоксы, Головоломки и занимательные задачи

---

Кросспост из моего дайри. Гипотрохоиды и их уравнения

[Диана Шипилова]

Маме кто-то подарил линейку-спирограф — забавный прибор, с помощью которого можно чертить самые разнообразные линии. Принцип следующий: в самой линейке два круглых отверстия разных размеров, но граница у них не гладкая, а с зубчиками, и плюс к этому еще набор из трех шестеренок с дырками в разных местах. Чтобы начертить линию, нужно положить шестеренку в круг, поставить вертикально стержень в одну из дырок и вращать шестеренку вдоль круга до тех пор, пока стержень не вернется в исходное положение, описав замкнутую линию, причем эти линии могут иметь самый разнообразный вид в зависимости от того, какой круг мы выберем, какую шестеренку и какую дырку.
С цветными стержнями это должно смотреться еще красивее, потому что можно комбинировать линии разных цветов, но тут, увы, ничего не вышло, потому что у меня нашлись только черные и синие стержни, а с такой цветовой гаммой не развернешься. Я исчертила кучу бумаги, а потом, уже ночью, мучаясь бессонницей, подумала, что это же надо чертить на компьютере! Уж там можно выбрать цвета, какие захочешь, да и программа для построения графиков у меня есть… Дело за малым — смоделировать уравнение движения точки.

полуночные рассуждения

Я понимала, конечно, что открываю Америку и при желании я могла бы найти эти формулы на следующее утро, но задача так захватила меня, что я принялась рассуждать. Уравнения координат, конечно, должны быть параметрически заданы через время. Точка, описывающая линию (как, кстати, она называется? Улитка Паскаля? Гипотрохоида?..) совершает два движения… так, для начала разберемся с обозначениями. Пусть R — радиус большого круга, r — радиус катящейся шестеренки и k — расстояние от края шестеренки до дырки. Мозг потихоньку начал закипать. Итак, центр шестеренки совершает движение по окружности радиуса R – r. Эти уравнения составить легко:
х = (R – r)cost,
y = (R – r)sint.
Отлично. Дырка тоже вращается по окружности вокруг центра шестеренки, радиус этой окружности, очевидно, равен r – k. За то время, когда шестеренка сделает один оборот в большом круге, вокруг своей оси она повернется… сколько же раз? Я помнила, что здесь есть какой-то подвох. По идее-то должно быть в R/r раз больше оборотов, но… Так, вспомнила. Если бы шестеренка вращалась с внешней стороны окружности, набегал бы один лишний оборот. А у нас, соответственно, на один оборот будет меньше, т.е. R/r – 1.
Мозг закипел окончательно, а сон все не шел. Итак, если сложить два движения, то должны получиться вот такие уравнения:
х = (R – r)cost + (r – k)cos((R/r – 1)t),
y = (R – r)sint + (r – k)sin((R/r – 1)t).
Так? Нет, подозрительно это, что-то здесь не то. Известно, что если катить внутри окружности вдвое меньшую окружность, то точка на ее краю опишет отрезок прямой, а именно диаметр. А у нас что получается? R = 2r, k = 0…
x = (R – R/2)cost + (R/2 – 0)cos((2 – 1)t) = Rcost,
y = (R – R/2)sint + (R/2 – 0)sin((2 – 1)t) = Rsint.
Это же окружность, а не диаметр… Где же я ошиблась? Попробуем еще раз представить оба движения… Ага, вот оно! Если центр шестеренки движется против часовой стрелки, как следует из уравнений выше, то тогда сама шестеренка будет вращаться по часовой стрелке! Меняем один плюс на минус, и вот он, окончательный результат!
х = (R – r)cost + (r – k)cos((R/r – 1)t),
y = (R – r)sint – (r – k)sin((R/r – 1)t).
Утром я тут же записала формулы и полезла экспериментировать. Все сработало! Вот некоторые смоделированные мною линии:

картинки

(R = 24, r = 16, k = 3),


(R = 32, r = 7, k = –2),


(R = 36, r = 11, k = –10).
Кроме того:
при R = 3r, k = 0 получается дельтоида;
при R = 4r, k = 0 получается астроида,
и вообще при k = 0 получаем разнообразное семейство гипоциклоид.

@темы: Поп-математика

---

[Чеширец]

Теоретически, подобная запись должна быть ко дню числа Пи.
Нашел очень симпатичную песню.
Kate Bush. Pi

слова

Sweet and gentle sensitive man
With an obsessive nature and deep fascination
For numbers
And a complete infatuation with the calculation
Of PI

Oh he love, he love, he love
He does love his numbers
And they run, they run, they run him
In a great big circle
In a circle of infinity

3.1415926535 897932
3846 264 338 3279

Oh he love, he love, he love
He does love his numbers
And they run, they run, they run him
In a great big circle
In a circle of infinity
But he must, he must, he must
Put a number to it

50288419 716939937510
582319749 44 59230781
6406286208 821 4808651 32

Oh he love, he love, he love
He does love his numbers
And they run, they run, they run him
In a great big circle
In a circle of infinity

82306647 0938446095 505 8223…

Не совсем ролик(от ролика там cтатичная картинка и песня). Youtube

---

[Trotil]

Задача не очень сложная, но показалось мне занимательной.

Задача Банаха о спичечных коробках.

Известный польский математик Стефан Банах имел привычку носить в каждом из двух карманов пальто по коробку спичек. Всякий раз, когда ему хотелось закурить трубку, он выбирал наугад один из коробков и доставал из него спичку. Первоначально в каждом коробке было по n спичек. Но когда-то наступает момент, когда выбранный наугад коробок оказывается пустым.

Какова вероятность того, что в другом коробке осталось k спичек?

---

[Amicus Plato]

Опять всплыла тема о трудностях понимания математики учащимися.

Длинно и путанно

У меня не то что бы появились кардинально новые соображения, но кое-какими наблюдениями всё же поделюсь.
Ну, во-первых, то, что касается любой дисциплины — не только математики. Очень важен хороший эмоциональный контакт учителя с учениками. Если расположил их к себе, считай уже полдела в кармане. А математики как правило люди гораздо более эмоционально сдержанные, чем носители знаний из других областей науки. Вот и не всегда получается этот самый "хороший контакт". Сдержанность принимается за холодность и безразличие... А отсюда и куча других недоразумений.
Оговорюсь: всё здесь не касается детей, увлеченных математикой. Речь идет о тех детях, которых как раз увлечь не получается.
Я вот, например, замечаю по своим занятиям: те, кого я могу расположить к себе, понимают меня гораздо лучше тех, кому я не нравлюсь. Отдаю себе отчет, что никакую Америку я тут не открыла, но специально первые занятия посвящаю исключительно "созданию отношений". Потому что прекрасно понимаю, что иначе потом мне же и настанет труба. Если никто меня понимать не будет. Даю легкие задачи, ставлю кучу пятерок, говорю, какие все молодцы-умницы. И это приносит плоды. Но не такие весомые, как хотелось бы.
Но самое главное — и это тоже не ново — состоит, конечно, ни в каких ни в личностных взаимоотношениях. Главное состоит в умении систематически работать. А если его нет, всё остальное не считается. И чем старше, тем труднее такие вещи нарабатываются.
Вот мне, в определенном смысле, повезло. У меня курс начинается с основ комбинаторики и теории вероятностей.
До этого я по собственной инициативе провожу одно занятие по матлогике и одно по теории множеств. Ибо куда же в лезть, комбинаторику и теорию вероятностей, ничего не зная о множествах.
Но мы пробегаем всё по таким верхам, что на первой лекции (да и на нескольких последующих) я говорю: "Нам повезло! Мы начинаем учить такие темы, которые вы не знаете совсем! Поэтому мы начинаем с нуля! Я понимаю, что у многих из вас в школе с математикой было плохо. У некоторых плохо было и на первом курсе. Так вот, для того, чтобы понять наши с вами темы, вам не нужно практически никаких предварительных знаний! Разве что таблица умножения. Всё остальное я вам расскажу. Поэтому стоит просто ходить на лекции и практики, не пропуская, и от занятия к занятию мы будем продвигаться вперед, каждый раз узнавая что-то новое! Это несложно! Главное, не создать себе пробелов, которые чем больше, тем труднее восполняются."
И так я говорю долго и не раз.
Для демонстрации такого неслыханного понимания математики вызываю на практике каждого к доске, с каждым решаю по задаче, чего бы это ни стоило, — и ставлю пятерку. Если уж совсем дуб, то четверку, приговаривая, что для первого раза очень неплохо.

Но в этом году убедилась еще раз, что все эти увещевания мало чего стоят, потому что ежели нет у человека навыка трудиться день за днем, — ничего не будет!
В математике — точно ничего.
На занятия ходит меньше половины студентов, и у меня уже паника. Я не знаю, что делать целый семестр на теорвере с теми, кто пропустит комбинаторику! Вот правда не знаю.

В гуманитарных науках на этот счет, мне кажется, проще. Если ты вчера не прочел "Как закалялась сталь", то сегодня тебе ничто не помешает читать "Войну и мир". Но если ты не умеешь складывать дроби, ни в какой из областей математики тебе делать нечего.

===
И отдельная вещь. Стиль преподавания.
Знаете, с чем я недавно столкнулась. Мы, преподаватели, наверное некоторых вещей за собой не замечаем. Не замечаем и того, что многое из того, что кажется нам "в самом деле очевидным", таковым не является. То есть, понятное дело, что нам всем кажется, что мы объясняем максимально доступно. Но это "максимально доступно" — с высоты наших знаний. А человек, сидящий перед нами, не понимает таких вещей, в непонимании которых мы не можем его даже заподозрить...
Сейчас попробую пояснить, потому что эта мысль стала для меня своего рода откровением.
В этом году весной и летом и уже частично осенью я много занималась с сыном своей знакомой. Мальчик завалил множество предметов, в частности, дифуры, дискретную математику и теорвер. И я готовила его к пересдачам. Из того, что ему было нужно, некоторых тем я не помнила совсем, и мне приходилось вспоминать их с нуля, а некоторые я преподаю вот уже много лет.
Так вот, самое удивительное, что те темы, которых я не помнила, и которые мы разбирали вместе с ним, — оба как новички, — он понял гораздо лучше! Видимо, потому что мы с ним разговаривали на одном языке. Языке посвящаемых неофитов.
Те же темы, в которых я чувствовала себя как рыба в воде, и объясняла их со всею доступной мне доходчивостью — не могу сказать, что он не понял, — понял, но хуже. Причем, заметно хуже. Так, что можно проследить закономерность.
И вот тут я подумала еще одну вещь...
Есть задачи, которые я решаю со студентами из года в год, начав еще ассистентом, и ведя практику за другим лектором, и сейчас, уже читая сама свой курс.
Когда я начинала преподавать (а это было через несколько лет после окончания вуза, и я много чего забыла), задачи казались мне очень сложными. Как сейчас помню, в понедельник у меня были пары, и всё воскресенье напролет я готовилась, решая все задачи подряд, и иногда подглядывая в ответы.
А потом объясняла студентам. И они каким-то волшебным образом меня очень хорошо понимали. Очень хорошо! Выше всяких моих ожиданий.
А теперь вот эти же самые задачи кажутся мне проще некуда, но кроме меня обычно в аудитории решить их никто не может...
Можно, конечно, списать это на деградацию подрастающего поколения, на то, что сейчас у меня объективно более слабые студенты, потому что другой вуз и другие специальности...
Но мне кажется, дело не только в этом. Просто с ростом профессионализма у преподавателя теряется со студентами "связь дилетантов", которая позволяет двум слабым понять друг друга гораздо лучше, чем слабый в состоянии понять сильного...
Вот, где-то так.

Дорогие модераторы, извиняюсь, если это не по теме сообщества

---

[Amicus Plato]

Дорогие участники и читатели сообщества!
Дорогие взрослые дети, взрослые взрослые и детские дети!
От всей души поздравляю вас с Днем знаний и началом нового учебного года!
Пусть всем ученикам будет интересно учиться, а всем преподавателям — интересно учить!
И пусть и те и другие преподносят друг другу побольше приятных сюрпризов!
ПОЗДРАВЛЯЮ!

---

Всех с 1 сентября! С днем знаний!

[Sensile]

Дорогие члены сообщества!

Поздравляю всех с Днем знаний! Желаю, чтобы новый учебный год был интересным и успешным для всех - и тех, кто учит, и тех, кто учится, и тех, кто помогает учиться!

---

Две задачи

[Диана Шипилова]

...из книги Tribute to Martin Gardner. Очень понравились

1. Приведите к стандартному виду многочлен P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)…(x – y)(x – z).

2. Расставьте цифры от 1 до 9 в таком порядке, чтобы получившееся число делилось на 8 после зачеркивания одной цифры справа, делилось на 7 после зачеркивания двух цифр справа, на 6 — после зачеркивания трех цифр, и так далее до зачеркивания всех цифр, кроме первой.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Library Genesis (110 k)

[Robot]

Дублирую свое сообщение из сообщества «Не решается алгебра/высшая математика? ... ПОМОЖЕМ!»

08.08.2009 в 17:34

Пишет  Robot:

Дорогие друзья, моя любимая библиотека Library Genesis (которая питает и подборки литературы в сообществе) пополнилась 20-ю библиотеками (полными или частичными: от 10 тысяч книг InGSat до частных коллекций в несколько десятков книг) и выросла до 110 тысяч книг.
Цитирую основателя этой библиотеки  bookwarrior:
в состав нее вошли
ingsat 9859
fido.su.books 5044
ihtik 3944
gigapedia 3716
russianarms.ru 1533
kolxoz Chemistry 1141
botany 1066
Springer 860
avia 558
physics book collection 524
kolxoz GeoSciences 450
math 443
molbiol 293
Homelab new 274
homelab OpenStorage 186
kolxoz Medicine 148
Боевые искусства 82
pyrotech 69
military 29
"Насчёт гигапедии и ихтика, - пишет  bookwarrior, - имейте в виду, что там выбрано только то, что имеет для нас ценность, т.е. в основном научно-техническая литература. Многие вещи в TXT, коих в ихтике подавляющее большинство, и гуманитарно-развлекательно-беллетристическая часть гигапедии были откинуты.
Коллекция теперь занимает 680 ГБ."
Напомню о том, что писала ранее я: на 1 марта 2009 года в состав Library Genesis входили:
- весь основной KoLXo3 (диски 5-28);
- весь существующий lib.mexmat.ru на тот момент (DVD 1-69);
- весь Homelab: открытое хранилище и специальное хранилище CD 0-168
Поддерживается докачка.
Содержание в файле Excel 2007 (*.xlsx) выложено на главную страницу либгена (35 МБ). Это дамп всех присутствующих в коллекции книг в виде таблицы эксель.
К сожалению, пока еще не вошла в библиотеку Инфаната (её осмысленная часть), но энтузиасты Либгена активно работают в этом направлении.

Огромное спасибо  bookwarrior, Bill_G и всем-всем-всем, кто развивает данный ресурс.

@темы: Интересные ссылки, Литература

---

Представим мат.анализ без пределов

[dmd2001]

В 1797 году была издана знаменитая "Теория аналитических функций" Лагранжа, полное название которой читалось "Теория аналитических функций, содержащая начала дифференциального исчисления, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно малых, исчезающих, пределов и флюксий и сведенные к алгебраическому анализу конечных величин". Давайте попробуем представить альтернативную реальность, в которой основания математического анализа излагались бы без применения теории пределов. Как бы это выглядело? Предлагаю обсудить эту тему.

---

[Amicus Plato]

Продолжаю литературную тему.
На этот раз научная и научно-популярная литература о фракталах.

Подборка почти вся сделана  Robot, за что я выражаю ей бесконечную благодарность, и, надеюсь, все ко мне присоединятся.
Картинка, которую вы видите, взята с сайта: evolution.wsneo.com/russian/iteration.htm.
Специально даю эту ссылку, потому что там кроме хорошего описания множества Мандельброта, есть еще видео — отрывок из фильма серии Dimensions, ссылки на которую выкладывал в сообществе  Хранитель печати.
Видео очень впечатляет! И когда, как это было уже не раз, заводятся споры о существовании в природе бесконечности, хоть и понятно, что эта бесконечность не "природная", но всё равно — как доказательство выглядит очень убедительно.


Книги
Б.Мандельброт Фрактальная геометрия природы. - Москва: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.
Классическая книга основателя теории фракталов, известного американского математика Б. Мандельброта, которая выдержала за рубежом несколько изданий и была переведена на многие языки. Перевод на русский язык выходит с большим опозданием (первое английское издание вышло в 1977 г.). За прошедший период книга совсем не устарела и остается лучшим и основным введением в теорию фракталов и фрактальную геометрию. Написанная в живой и яркой манере, она содержит множество иллюстраций (в том числе и цветных), а также примеров из различных областей науки.
Для студентов и аспирантов, физиков и математиков, инженеров и специалистов
Скачать (djvu в архиве, 5,16 mb) rapidshare или ifolder

Ричард М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах. - М., Постмаркет, 2000. - 352 с.
Первое полноценное учебное пособие по новой, быстроразвивающейся математической дисциплине - до сих пор на русском языке выходили лишь монографии.
Хорошо подобранные упражнения и алгоритмы делают книгу отличным пособием для студентов старших курсов и аспирантов, специалистов по приложениям этой теории в различных областях от биологии до лингвистики.
Скачать (djvu (rar), 3,11 mb) rapidshare или ifolder




Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. - 528 с.
Основная цель книги — помочь читателю глубже понять, что такое самоподобие — возможно, наиболее важную из встречающихся в природе симметрии, а также продемонстрировать широчайший диапазон применений масштабной инвариантности в физике, химии, биологии,музыке и, в особенности, в изобразительном искусстве. Материал изложен на доступном уровне и снабжен множеством иллюстраций.
Книга будет полезна и интересна самому широкому кругу читателей.
Скачать (djvu (rar), 3,1 mb) rapidshare или ifolder



М.Газале. Гномон. От фараонов до фракталов. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 272 с.
Мидхат Газале описывает и объясняет свойства гномонов (самоповторяющихся форм), повествует об их долгой и живописной истории , исследует математические и геометрические чудеса , возможные с их помощью.
Этот информативный, увлекательный и прекрасно выполненный труд будет, несомненно, интересен всем, кого привлекают геометрические и математические чудеса, а также любителям математических головоломок и развлечений.
Скачать (djvu в архиве, 2,61 Mb ) rapidshare или onlinedisk.ru



Х.-О. Пайтген, П. Х. Ритхер Красота фракталов. - М. Мир, 1993. - 176 с.
Книга немецких математиков, посвященная динамике отображений комплексной плоскости и представляющая собой оригинальное введение в теорию нелинейных отображений. В ней много иллюстраций, мастерски выполненных с помощью современной вычислительной техники.
Для всех, кто занимается нелинейной динамикой, для всех интересующихся математикой и ее приложениями.
Скачать (djvu в архиве (качество не очень, разная ширина страниц), 4,31 Mb ) rapidshare или onlinedisk.ru



Божокин СВ., Паршин В.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 128 с.
Учебное пособие посвящено изложению основных идей фрактальной и мультифрактальной геометрии. Примеры различных фрактальных структур можно встретить во многих явлениях природы. Фрактальные образы с успехом используются при описании хаотического поведения нелинейных динамических и диссипатинных систем, турбулентного течения жидкости, неоднородного распределения материи во Вселенной, при исследовании трещин и дислокационных скоплений в твердых телах, при изучении электрического пробоя, диффузии и агрегации частиц, роста кристаллов и т.д. Много интересных идей фрактальной геометрии нашли свое применение в экономике при анализе колебаний курса валют, в биологии для объяснения морфологического строения различных биологических объектов, в физике твердого тела для описания перехода Андерсона металл-диэлектрик и других свойств неупорядоченных систем.
Пособие написано по материалам курсов лекций, прочитанных авторами в разное время на физико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного технического университета для студентов 4-5 курсов, обучающихся на специальностях "Биофизика", "Физика металлов" и "Спектроскопия твердого тела".
Пособие будет полезно аспирантам и студентам физических специальностей, интересующихся современными проблемами физики.
Скачать (djvu (rar), 0,85 mb) rapidshare или ifolder


Е.Федер Фракталы. - М., Мир, 1991. - 261 с.
В книге норвежского физика дается ясное и простое изложение математических свойств фракталов и описываются приложения теории фракталов в гидродинамике , океанологии , гидрологии . Приводятся методы компьютерной графики.
Для научных работников , аспирантов , студентов желающих ознакомиться с теорией фракталов и применять ее при описании различных явлений - от биологических до квантовомеханических.
Скачать (djvu (rar), 3,73 Mb) rapidshare или ifolder





Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 160 с.
Книга посвящена основам теории фракталов и состоит из двух частей и приложения. В первой части рассматриваются конструктивные фракталы, во второй - динамические, а в приложении приводится вспомогательный материал.
Конструктивные фракталы строятся с помощью достаточно простой рекурсивной процедуры, имеют «тонкую» структуру, т.е. содержат произвольно малые масштабы, и обладают самоподобием. Подобные фрактальные множества слишком нерегулярны, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке. Рассматриваются многочисленные примеры конструктивных фракталов (Кантора, Коха, Минковского, Серпинского, Леви и др.). Проводится их анализ на основе линейных преобразований и вычисления фрактальной размерности. Изложение сопровождается историческими справками.
Вторая часть посвящена фракталам, которые возникают в дискретных нелинейных динамических системах. Это множества, хаусдорфова (или фрактальная) размерность которых больше топологической размерности. К ним относятся одномерные комплексные эндоморфизмы, рассмотренные Жюлиа и Фату в начале 20 века. В книге приводятся основы современной теории подобных эндоморфизмов. Изложение иллюстрируется на примере фракталов Жюлиа, Мандельброта, Ньютона. В книгу включены новые результаты по гиперкомплексной динамике.
В приложении приводится вспомогательный математический материал из теории множеств, обсуждается определение линии, даются основы теории размерности и, прежде всего, хаусдорфовой размерности.
Книга может быть использована как учебное пособие по фракталам и ориентирована прежде всего на студентов физико-математических факультетов университетов. Первая часть доступна школьникам старших классов.

А это "опциональная" литература о фракталах. Так сказать "прикладные фракталы".

Э. Петерс Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике. М: Интернет-тренд, 2004 - 304 с
Настоящая книга посвящена изложению гипотезы фрактального рынка, как альтернативе гипотезы эффективного рынка. Фракталы, как следствие геометрии Демиурга присутствуют повсеместно в нашем мире и играют существенную роль, в том числе, и в структуре финансовых рынков, которые локально случайны, но глобально детерминированы, по мнению автора. В книге будут рассмотрены методы фрактального анализа рынков акций, облигаций и валют, методы различения независимого процесса, нелинейного стохастического процесса и нелинейного детерминированного процесса и исследовано влияние этих различий на пользовательские инвестиционные стратегии и способности моделирования. Такие стратегии и способности моделирования тесно связаны с типом актинов и инвестиционным горизонтом пользователя.
Для риск-менеджеров, финансистов, инвестиционных стратегов, технических аналитиков рынка, а также индивидуальных инвесторов и валютных спекулянтов самостоятельно выходящих на финансовые рынки мира, в том числе, и на рынок FOREX и рынки России.
В книге Синергетика и прогноз будущего говорится, что синергетика как наука – это "трехголовый дракон". Первая голова – романтическая, она занимается вещами, которые могут изменить всю парадигму науки в целом. Вторая голова – деловитая, конкретная, занимается применением синергетики на практике. Третья голова – "отвечает не на те вопросы, на которые отвечать приятно и полезно, а на те, на которые нужно". Видимо, Э. Петерс как раз и есть та "вторая голова" синергетики.
Скачать (djvu (rar), 3,9 Mb) rapidshare или ifolder

Могилевский Э.И. Фракталы на Солнце. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 152 с. - ISBN 5-9221-0179-Х.
Рассмотрен ряд явлений, связанных с дискретной структурой замагниченной плазмы («тонкой структуры») на Солнце на всех уровнях наблюдений. Показано, что в рамках магнитной гидродинамики непрерывных сред трудно понять природу основных явлений солнечной активности: вспышки и корональные выбросы масс, структурные особенности пятен и крупномасштабных магнитных полей.
Рассматривается модель солнечной замагниченной плазмы, состоящая из маломасштабных самоподобных элементов (фракталов), самоорганизующихся в системы (кластеры) и макрообъекты, «в чем-то подобные» фракталам. Квазистационарные фрактальные структуры солнечной активности в нелинейной солнечной среде связаны с волновыми процессами — образованием солитонов и их активной ролью в солнечных вспышках. Процесс самоорганизованной критичности трактуется как процесс достижения энергетического минимума совокупностью фрактальных элементов.
Монография предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, которые специализируются в области физики Солнца и солнечной активности, а также солнечно-земной физики.
Скачать (djvu (rar), 4,02 Mb) ifolder

В.В. Исаева, Ю.А. Каретин, А.В. Чернышев, Д.Ю. Шкуратов Фракталы и хаос в биологическом морфогенезе. - Владивосток, 2004. - 128 с.
Монография состоит из двух частей, первая представляет собой адаптированное для биологов и иллюстрированное изложение основных идей нелинейной науки (нередко называемой синергетикой), включающее фрактальную геометрию, теории детерминированного (динамического) хаоса, бифуркаций и катастроф, а также теорию самоорганизации. Во второй части эти идеи рассматриваются применительно к биологическим системам и биологическому формообразованию; представлены собственные данные о фрактальной структуре и проявлениях хаоса на уровне клеток, надклеточных систем и организма многоклеточных животных.
Предназначено для биологов, интересующихся применением подходов междисциплинарной нелинейной науки в биологии и общими закономерностями процессов самоорганизации в неживых и живых системах.
Скачать (pdf (rar), 8,12 Mb) ifolder

В нашем сообществе тема фракталов тоже уже поднималась.
Об этом можно почитать здесь.
Вся полезная информация там в комментариях, а в самой записи — красивые картинки.

@темы: фракталы, литература

---

[Amicus Plato]

Дублирую свою запись из сообщества Не решается алгебра/высшая математика? ... ПОМОЖЕМ!

Пишет  Дилетант:

Запись сделана по инициативе и при непосредственном участии  Robot
В ней мы собрали книги, автором которых является, на мой взгляд, один из величайших наших современников – Стивен Хокинг.

Вот что пишет о нем Википедия:
Стивен Хокинг родился в 1942 году. В 1962 году он закончил Оксфордский университет и начал занятия теоретической физикой. Тогда же у Хокинга стали проявляться признаки бокового амиотрофического склероза, которые привели к параличу. В 1965 году женился на Джейн Уайлд, позднее у них родились дочь и два сына. В 1974 году Хокинг стал членом Лондонского Королевского общества. После операции на горле в 1985 году он потерял способность говорить. Друзья подарили ему синтезатор речи, который был установлен на его кресле-коляске и с помощью которого Хокинг может общаться с людьми.
Сейчас он занимает должность Лукасовского профессора математики в Кембриджском университете, должность, которую три столетия назад занимал Исаак Ньютон. Несмотря на тяжёлую болезнь, он ведёт активную жизнь. В январе 2007 года он совершил полёт в невесомости (на специальном самолёте), а на 2009 год запланирован полёт в космос. Кроме того, Хокинг несколько раз появлялся в мультсериалах «Симпсоны», «Гриффины» и «Футурама», где озвучивал сам себя, и в сериале «Звёздный путь: Следующее поколение» (6-й сезон, 26-я серия).

А вот отрывок из замечательного послесловия к «Краткой истории времени» Я.А. Смородинского (1989 год).

<...>
«Моя цель добиться полного понимания Вселенной, почему она такая, какая она есть, и почему она вообще существует», — пишет он о своих исканиях.
Такие вопросы человек задавал себе давно. Варианты ответов есть в мифах почти всех народов. Может быть, и рассуждения ученых нашего века также когда-нибудь будут считать легендами. У новых мифов есть авторы, один из них Хокинг. Его жизнь уже сейчас представляется легендой. Это легенда о человеке, силой мысли побеждающем немощь.
Хокингу сейчас 48 лет. В начале 60-х годов, когда он уже кончал университет в Оксфорде, появились первые признаки грозной болезни — бокового амиотрофического склероза. Настроение становилось мрачным, да и научные успехи были в это время не слишком впечатляющими. Д. Сиама, известный физик, руководитель его дипломной работы, заметил, что «вокруг оказалось не так уж много проблем, достойных человека с такими способностями». К счастью, проблема все же нашлась — это была теория черных дыр, которую Хокинг увидел в новом свете после появления работы Р. Пенроуза об особенностях уравнений тяготения.
В это время изменилась и личная жизнь Хокинга. В 1965 г. он женился на студентке-филологе Джейн Уайлд. У них есть дочь и два сына.
1985 год принес новое несчастье. После операции на горле Хокинг потерял способность говорить. На помощь приходят друзья, и одна калифорнийская фирма преподносит ему коммуникационную систему компьютер + синтезатор. Об этом Хокинг сам рассказывает во введении к книге, желая выразить благодарность тем, кто помогает ему жить. «Эта система изменила все: мне даже стало легче общаться, чем до того, как я потерял голос», — пишет он.
Существование в таких условиях требует не только воли к жизни, но и чувства юмора. Хокинг рассказывает много историй. Так, занимаясь черными дырами, но не имея пока наблюдатель-ного доказательства их существования, Хокинг заключает пари с Торном. Условия пари подчинялись изысканной логике. Хокинг, веря, что во Вселенной должно быть много черных дыр, делает ставку против их существования. Если дыр не окажется, то в качестве компенсации за потерю смысла главной своей работы он получает четырехлетнюю подписку на английский юмористический журнал «Private Eye». Если же черные дыры есть, Торн получает годовую подписку на «Penthouse», а Хокинг (вполне вероятно) Нобелевскую премию.

Книжная подборка

Книги
Хокинг, С. Черные дыры и молодые вселенные: Амфора; СПб; 2001. - 189 c.(djvu) или 66 с.(doc)
Книга представляет собой сборник статей выдающегося физика современности Стивена Хокинга, написанных им в период с 1976 по 1992 год. Это и автобиографические очерки, и размышления автора о философии науки, о происхождении Вселенной и ее дальнейшей судьбе. Эссе написаны ярко и увлекательно, серьезнейшие проблемы науки, отраженные в них, в изложении Хокинга доступны пониманию каждого читателя.
Doc-вариант подготовлен по переизданию книги от 2004 года.
Скачать (djvu в архиве- качество плохое,1,3 Мб) rapidshare или ifolder
Скачать (doc в архиве, 0,13 mb) ifolder или Рапида



Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени. - Регулярная и хаотическая динамика, 2000. - 160 с.
В основу книги "Природа пространства и времени" легла дискуссия между всемирно известными учеными Стивеном Хокингом и Роджером Пенроузом. Эта полемика стала вершиной программы, проведенной в 1994 году в Институте математических наук имени Исаака Ньютона при Кембриджском университете. Она вылилась в обсуждение некоторых наиболее фундаментальных вопросов о природе Вселенной. К этим вопросам можно отнести `стрелу времени`, начальные условия рождения Вселенной, поглощение информации черными дырами и др. Дискуссия в значительной мере является продолжением сольвеевского спора Бора и Эйнштейна по основам квантовой механики.
Для широкой аудитории читателей, интересующихся проблемами современной физики и космологии.
Скачать (djvu в архиве, 1,03 mb) rapidshare или ifolder

Хокинг С. Краткая история времени: От большого взрыва до черных дыр / Пер. с англ. Н. Смородинской.— СПб.: Амфора, 2001. - 268 с.
Из предисловия: Я решил попробовать написать популярную книгу о пространстве и времени после того, как прочитал в 1982 г. курс Лёбовских лекций в Гарварде. Тогда уже было немало книг, посвященных ранней Вселенной и черным дырам, как очень хороших, например книга Стивена Вайнберга "Первые три минуты", так и очень плохих, которые здесь незачем называть. Но мне казалось, что ни в одной из них фактически не затрагиваются те вопросы, которые побудили меня заняться изучением космологии и квантовой теории: откуда взялась Вселенная? как и почему она возникла? придет ли ей конец, а если придет, то как? Эти вопросы интересуют всех нас. Но современная наука очень насыщена математикой, и лишь немногочисленные специалисты достаточно владеют последней, чтобы разобраться в этом. Однако основные представления о рождении и дальнейшей судьбе Вселенной можно изложить и без помощи математики так, что они станут понятны даже людям, не получившим научного образования. Это я и пытался сделать в моей книге. Читателю судить о том, насколько я преуспел.
Мне сказали, что каждая включенная в книгу формула вдвое уменьшит число покупателей. Тогда я решил вообще обходиться без формул. Правда, в конце я все-таки написал одно уравнение - знаменитое уравнение Эйнштейна Е=mc^2. Надеюсь, оно не отпугнет половину моих потенциальных читателей.
"Этo также книга о Боге, а может быть, об отсутствии Бога. Хокинг отправляется искать ответ на знаменитый вопрос Эйнштейна о том, был ли у Бога какой-нибудь выбор, когда он создавал Вселенную. Тем более неожиданным оказывается вывод, к которому приводят эти поиски: Вселенная без края в пространстве, без начала и конца во времени, без каких-либо дел для Создателя."
Карл Саган
Скачать (pdf в архиве, 1,6 mb) rapidshare или ifolder

Хокинг, С. Кратчайшая история времени / Стивен Хокинг, Леонард Млодинов ; [пер. с англ. Б. Оралбекова под ред. А. Г. Сергеева]. — СПб. : Амфора. ТИД Амфора, 2006. - 180 с. ISBN 5-367-00164-5 (рус.)
Природе пространства и времени, происхождению Вселенной посвящена эта научно-популярная книга знаменитого английского астрофизика Стивена Хокинга, написанная в соавторстве с популяризатором науки Леонардом Млодиновым. Это новая версия всемирно известной «Краткой истории времени», пополненная последними данными космологии, попытка еще проще и понятнее изложить самые сложные теории.
Из предисловия: Это и в самом деле кратчайшая история, поскольку некоторые сугубо технические аспекты нами опущены, однако, как нам представляется, данный пробел с лихвой восполнен более глубокой трактовкой материала, который поистине составляет сердцевину книги. Мы также воспользовались возможностью обновить сведения и включить в книгу новейшие теоретические и экспериментальные данные. «Кратчайшая история времени» описывает прогресс, который был достигнут на пути создания полной объединенной теории за последнее время. В частности, она касается новейших положений теории струн, корпускулярно-волнового дуализма и выявляет связь между различными физическими теориями, свидетельствующую, что объединенная теория существует. Что же касается практических исследований, книга содержит важные результаты последних наблюдений, полученных, в частности, с помощью спутника СОВЕ (Cosmic Background Explorer — «Исследователь фонового космического излучения») и космического телескопа Хаббла.
Скачать (pdf в архиве, 4,3 mb) rapidshare или ifolder или djvu (факсимиле) ifolder.ru
Скачать (doc в архиве, 1,2 mb) ifolder или onlinedisk.ru

Хокинг С. Мир в ореховой скорлупке. - СПб.:Амфора.ТИД Амфора, 2007. -218 с., илл.
Один из самых известных физиков-теоретиков нашего времени, Стивен Хокинг, возвращается с новой, блестяще иллюстрированной научно-популярной книгой о происхождении Вселенной и природе пространства и времени. Как и многие физики-теоретики, Хокинг жаждет отыскать священный грааль науки - Теорию всего, которая лежит в основании космоса. Он позволяет нам прикоснуться к тайнам мироздания: от супергравитации до суперсимметрии, от квантовой теории до М-теории, от голографии до дуальностей. Мы сопутствуем ему в необыкновенном путешествии через пространство-время, а великолепные цветные иллюстрации служат нам вехами в этом странствии по сюрреалистической Стране чудес, где частицы, мембраны и струны движутся в одиннадцати измерениях, где черные дыры испаряются, унося с собой свои секреты, и где космическое семя, из которого выросла наша Вселенная, было крохотным орешком.
Скачать (djvu , 5,62 Mb) rapidshare или ifolder или onlinedisk.ru

А в заключении хочу сказать еще вот о чем. Стивен Хокинг — человек беспримерного мужества. Человек, достойный не просто уважения, а искреннего восхищения; практически, человек-легенда. Как уже было сказано, он стал персонажем мультфильмов и фильмов. Но, кроме этого, уже написано множество художественных книг, авторы которых вплетают Хокинга в свои повествования.
Хочу процитировать отрывок из книги американского писателя Дж. С. Фоера "Жутко громко & запредельно близко". Книга об обыкновенном необыкновенном ребенке, маленьком мальчике — Оскаре Шелле. Мальчике, который изобретает; мальчике, который думает; мальчике, который, помимо всего прочего, пишет письма Стивену Хокингу.
Полагаю, среди читающих эти строки много обыкновенных необыкновенных детей.
И пусть это письмо будет отчасти адресовано каждому из нас.

письмо

Уважаемый Оскар Шелл!

Я читал все письма, которые Вы мне посылали в эти два года. В ответ я отправил Вам множество типовых писем с надеждой, что когда-нибудь сумею ответить так, как Вы того заслуживаете. Но чем больше Вы писали и чем больше я Вас узнавал, тем сложнее становилась моя задача.

Я сижу под грушевым деревом и надиктовываю это письмо, любуясь садами в усадьбе друга. Вот уже несколько дней я прихожу здесь в себя после очередного курса лечения, отнявшего у меня остатки физических и душевных сил. Утром в приступе жгучей жалости к самому себе я вдруг осознал, как осознают в минуты озарения простое решение неразрешимой задачи: дальше откладывать нельзя.

В своем первом письме Вы спрашивали, можете ли быть моим протеже. Не знаю про протеже, но с удовольствием приму Вас у себя в Кембридже в качестве гостя. Я мог бы представить Вас своим коллегам, угостить лучшим карри за пределами Индии и продемонстрировать, до чего скучной бывает жизнь астрофизика.

Вас ожидает большое будущее в науках, Оскар. Буду рад сделать все от меня зависящее, чтобы этому способствовать. Приятно представлять, что произойдет, когда зерна Вашего воображения упадут в научную почву.

Но Оскар, образованные люди обращаются ко мне постоянно. В своем пятом письме Вы спрашивали: «Что если я всю жизнь буду изобретать?» Мне не дает покоя этот вопрос.

Я мечтал быть поэтом. Не говорил об этом никогда и никому, но Вам признаюсь, потому что Вы представляетесь мне человеком, которому можно довериться. Всю жизнь я пытался постичь Вселенную, в основном, силой своего воображения. Я сумел многого добиться, познал успех. Изучал истоки времени и пространства вместе с величайшими мыслителями современности. Но всегда жалел, что я не поэт.

Альберт Эйнштейн, мой кумир, однажды написал: «Ситуация у нас следующая. Мы стоим перед закрытым ящиком и не можем его открыть».

Не мне Вам говорить, что значительную часть Вселенной составляет темное вещество. Непрочное равновесие зависит от вещей, которые нам никогда не удастся увидеть, услышать, понюхать, попробовать или потрогать. Сама жизнь зависит от них. Что реально? Что призрачно? Может, мы вообще задаем неправильные вопросы. От чего зависит жизнь?

Я так ничего и не сделал, чтобы ее защитить.

Что если Вы всю жизнь будете изобретать?

Может, тогда Вам суждено это сделать.

Меня зовут к завтраку, придется закруглиться. Я еще о многом хочу Вам сказать и о многом хочу от Вас услышать. Все-таки несправедливо, что мы живем по разные стороны океана. Как будто мало в мире несправедливостей.

Как же сейчас красиво. Солнце низко, тени продолговаты, воздух прохладен и свеж. Вам еще спать не меньше пяти часов, но мне почему-то кажется, что мы любуемся этим чистым и божественным утром вместе.

Ваш друг

Стивен Хокинг

@темы: литература, Люди

---

[Amicus Plato]

Не могу не поделиться)))

Пишет  Серебряный:

Библейские задачи по физике и математике.
Рассчитайте методом криволинейных интегралов общую площадь всех присутствовавших на Тайной Вечере.

На Древе Познания росло 4 плода Познания Добра и 3 плода Познания Зла. Адам и Ева съели по 2 плода каждый. Какова вероятность того, что Адам не познал Зла, если известно, что Ева познала и Добро, и Зло?

Иисус изгнал бесов из двух бесноватых и вселил их в 2000 свиней.
Вопрос – сколько бесов было в бесноватых, если известно, что в первую тысячу свиней вселялось по одному бесу, а потом бесы заторопились: в 1001 вселилось уже двое бесов, и в каждую следующую свинью бесов вселялось все больше по закону арифметической прогрессии?

Продолжение

У Иуды есть 33 сребреника, из которых один фальшивый. Известно, что фальшивые монеты весят меньше настоящих. Сколько взвешиваний монет придётся произвести Иуде для вычисления фальшивого сребреника, учитывая, что гирь к весам нет и Иуда может класть на обе чашки весов только сребреники?

Иисус превратил в вино 8 литров воды. Как разделить это вино поровну для двух семей, если в их распоряжении есть только кувшины на 3 и 5 литров? Какое минимальное количество переливаний нужно сделать?

После убийства 1000 человек ослиной челюстью Самсон измерил массу последней. В сухом остатке онa составилa 214 грамм. Сколько весила челюсть до начала экзекуции, если Самсон может махать рукой с дозвуковой скоростью, а на убийство одного человека достаточно 70 kJ и 15 секунд.
Коэффициент стирания челюсти возьмите в анатомическом справочнике. Рассчитайте то же самое, увеличив скорость руки Самсона до 2 Мах.

@темы: )))

---

Парадокс маляра

[Диана Шипилова]

Предлагаю вашему вниманию парадокс, который изложил в энциклопедии «Аванта+» Владимир Дубровский.

Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку (рис. 1), состоящую из прямоугольников: первый из них — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 × 2 см, а каждый следующий вдвое уже и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см², а общая площадь пластинки бесконечна. Разумеется, чтобы всю ее покрасить, потребуется бесконечное (по объему или массе) количество краски. Но представьте себе «сосуд» (рис. 2), получаемый при вращении пластинки вокруг ее прямого бесконечного края. Сосуд состоит из цилиндров. Высота k-го цилиндра равна 2^{k – 1} см, радиус — 2^{1 – k} см, а значит, его объем равен π∙2^{1 – k} см³. Таким образом, объемы цилиндров образуют убывающую геометрическую прогрессию, их сумма конечна и равна 2π см³. Заполним этот сосуд краской. Погрузим в него пластинку и вытащим ее; конечно, она вся будет окрашена с двух сторон.
Так все же, можно окрасить пластинку?!

@темы: Бесконечность, Парадоксы

---

[Amicus Plato]

Гляньте, как здорово!

Визуализация ряда Тейлора!

Визуализация ряда Тейлора!

Взято вот отсюда

Что-то я никогда не задумывалась, что остаточный член — это такая вещь!

@темы: Бесконечность, Интересные ссылки, Amicus Plato

---

Мозаики Пенроуза и Мартин Гарднер

[Amicus Plato]

Захотела написать о мозаиках Пенроуза.
Роджера Пеноруза я цитировала в сообществе не раз, но упоминался он тут в двух разных ипостасях:
1) как автор двух книг о сознании и его моделировании (а точнее, возможности, или, еще точнее, невозможности его моделирования))): "Новый ум короля" и "Тени разума";
и
2) как соавтор, сотоварищ, коллега, а также непримиримый оппонент Стивена Хокинга, — как исследователь законов Вселенной.
Однако же человек этот еще и выдающийся "алгебраический геометр".
И в частности, он изобрел так называемые мозаики Пенроуза — непериодическое (квазипериодическое) замощение плоскости.
Это очень интересно, во-первых, тем, что там присутствует симметрия пятого порядка, которая много позже была обнаружена и в природе — в некоторых кристаллах.
Во-вторых, решенная Пенроузом задача такого замощения плоскости, оказывается, алгоритмически неразрешима. Т.е. ни один компьютер решить ее не в состоянии. Это как раз еще один неоспоримый аргумент на чашу весов невозможности алгоритмического моделирования интеллекта.
В-третьих, фигуры, используемые Пенроузом "золотые". Там везде (или кое-где) присутствует золотое сечение, о котором в сообществе уже много чего написано (и даже тег такой имеется))
Так вот. Искала я материалы и картинки и наткнулась вот на какую книжку.
Теперь пока не прочту, ничего о мозаиках Пенроуза писать не буду )))
А ссылка — вам!
Вдруг не я одна не знала о ней!
www.koob.ru/gardner/from_penroses_mosaics_to_re...
А вот одна из очень немногих найденных мною картинок:

(с) Интернет

(с) Интернет

@темы: Поп-математика, Интересные ссылки, Amicus Plato

---

[Trotil]

@темы: )))

---

нахождение обратной матрицы методом Гаусса

[[Kiss]]

Здравствуйте, никак не получается нарыть материала по нахождению обратной матрицы методом Гаусса. Везде всё одно и тоже. Помогите, пожалуйста... Только теория нужна...